Задачи на экстремум

План урока.

1. Повторение изученного материала.
2. Решение практических задач
   • Вступительное слово преподавателя о роли задач на наименьшее и наибольшее значение функции в развитии математического анализа
   • Сообщение студента о задаче Дидоны и решение этой задачи
   • Решение задачи на изготовление коробки наибольшего объема
   • Решение задачи на расчет наибольшей мощности в цепи постоянного тока
   • Сообщение студента о расчете наименьшего сопротивления полной цепи переменного тока
   • Сообщение студента о явлении резонанса в цепи переменного тока и демонстрация резонанса в цепи переменного тока
3. Подведение итогов урока

Повторение изученного материала

1. Исследовать функцию у = х³ – 12х – 4 на экстремум с помощью первой производной.
2. Исследовать функцию у = – х³ + 12х + 2 на экстремум с помощью второй производной.

• Вступительное слово преподавателя

Задачи, решение которых привело к понятию производной функции, ставились с давних пор. Здесь выделяются два круга, казалось бы, совершенно не связанных между собой задач. Первый – нахождение наибольших и наименьших значений, или как сейчас говорят, экстремумов различных величин. Второй – проведение касательных к кривым и вычисление скорости. Задачи на экстремум постоянно возникали в практической деятельности, поскольку люди всегда интересовались вопросами: Что больше? Кто быстрее? Что длиннее?

В Древней Греции задачи на отыскание наибольших и наименьших значений были достаточно популярны. Задачи такого типа содержатся в трудах Евклида и Архимеда. Но в древности и в средние века такие задачи решались геометрическими и механическими способами, не связанными общей идеей. И только в 17 веке было обнаружено, что все эти задачи можно решить единым методом, используя бесконечно малые величины. Развитие этого метода в трудах Ньютона и Лейбница привело к созданию математического анализа, появление которого широко раздвинуло границы применения математики.

В 1638 году Пьер Ферма, используя алгебраические методы, сформулировал необходимое условие существования в точке экстремума. На современном языке оно звучит так: если производная в точке равна нулю или не существует, то в этой точке функция имеет экстремум. В 1683 году Лейбниц печатает статью «Новый метод максимумов и минимумов», в которой содержится достаточный признак экстремума функции: если в точке Х первая производная функции равна нулю, а вторая отлична от нуля, то Х – точка экстремума функции, причем, если вторая производная в этой точке положительна, то Х – точка минимума; если отрицательна, то Х – точка максимума.

Работы Лейбница составляют фундамент математического анализа. В основу новой науки он положил понятие дифференциала. Лейбниц дал правила вычисления дифференциала суммы, разности, произведения, дроби, степени. Разработанными Лейбницем алгоритмами и обозначениями мы пользуемся и поныне, как и большинством введенных им математических терминов: функция, переменная, постоянная, координаты, абсцисса, алгоритм, дифференциал. Многие из этих терминов употреблялись и раньше, но не имели того конкретного значения, которое придал им Лейбниц. После его работ и трудов его ближайших сподвижников не только появился математический анализ, но вся математика вступила в новую эпоху.

Замечательный русский поэт Валерий Брюсов посвятил ученому такие строки:

О Лейбниц, о мудрец, создатель вещих книг!
Ты выше мира был, как древние пророки.
Твой век, дивясь тебе, пророчеств не достиг
И с лестью смешивал безумные упреки.

Обратимся к экстремальным задачам, для решения которых применяется теорема, сформулированная Лейбницем.

• Сообщение студента

Уже в глубокой древности возникали ситуации, когда требовалось решать задачи на экстремум. Одна из первых, дошедших до нас, задач подобного рода связана с легендой об основании города Карфагена. Как повествует в «Энеиде» римский поэт Вергилий, давным-давно финикийская царевна Дидона с небольшим отрядом преданных ей людей покинула родной город Тир, спасаясь от преследований своего брата тирана Пигмалиона. Ее корабли отправились на запад по Средиземному морю и плыли, пока Дидона не облюбовала удобное для поселения место на африканском побережье, в нынешнем Тунисском заливе.

Высадившиеся финикийцы были встречены не очень гостеприимно местными жителями, нумидийцами. Король нубидийцев Ярб воинственно и презрительно разговаривал с непрошеной гостьей. Он принял драгоценности, предложенные Дидоной для покупки земли, но решительно заявил, что взамен он согласен уступить ей лишь клочок земли, «который можно окружить бычьей шкурой». Царевна безропотно согласилась. Ярб понял хитрость и коварство финикиянки слишком поздно: Дидона приказала разрезать шкуру на очень тонкие ремни и сшить их. Получив, таким образом, тонкий, но очень длинный ремень, она отгородила им от берега значительную территорию. Простодушный, но честный Ярб не стал отказываться от данного слова. А Дидона на этом месте основала город Карфаген. В память об этой истории карфагенская крепость была названа «Бирса», что на языке обитателей Карфагена означает «бычья шкура».

Легенда относит события к 825 году до н.э. и нам, конечно, судить об их достоверности трудно. Но для нас интересна математическая задача, которую, видимо, пришлось решать Дидоне. Предположим, что длина изготовленного тонкого ремня равна 600м. Тогда на современном языке задача Дидоны формулируется так:

Задача. Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу моря, а три другие огораживаются ремнем, длина которого 600м. Каковы должны быть стороны этого участка, чтобы его площадь была наибольшей?

Решение. Пусть одна сторона прямоугольника равна х м, тогда другая сторона равна (600 – 2х)м. Площадь прямоугольника будет функцией от переменной х: у = х(600 – 2х) = 600х – 2х², область определения которой (0; 300).

Найдем наибольшее значение этой функции на промежутке (0; 300).
Производная этой функции у' = 600 – 4х.
Критическая точка найдется из уравнения 600 – 4х = 0 х = 150.
Исследуем знак производной на каждом интервале

(0; 150) у' > 0
(150; 300) у' < 0

Так как при переходе через точку х = 150 производная меняет знак с плюса на минус, то при х = 150 функция имеет максимум. Значит, наибольшую площадь имеет прямоугольник со сторонами 150 м и 300 м.
Найдем площадь огороженного участка земли S = 45000 м².

Мы решили задачу Дидоны, считая, что участок имеет форму прямоугольника. Решение подобных задач, если форма границы – кривая линия вызвало к жизни новый важный раздел математики – вариационное исчисление, в котором основным понятием является не функция, а функционал. В настоящее время этот раздел плодотворно используется во многих областях математики, физики, техники, экономики.

• В повседневной жизни, в практических задачах часто возникает необходимость определения условий, при которых мы получаем наилучшие результаты труда.

Задача. Из прямоугольного листа жести размером 25 х 40 см надо изготовить открытую коробку наибольшего объема.
Для изготовления коробки надо вырезать квадратные уголки. В зависимости от длины вырезаемого квадрата получаются коробки, имеющие различные объемы. (Преподаватель демонстрирует три коробки, полученные при вырезании квадратов разных размеров и их развертки.) Поэтому необходимо рассчитать размеры вырезаемых квадратов, при которых коробка имеет наибольший объем.

Решение. Обозначим сторону вырезаемых по углам квадратов через х. Дном коробки является прямоугольник, стороны которого равны а = 25 – 2х и в = 40 – 2х. Высота коробки равна х. Следовательно, объем коробки равен V = (25 – 2х)(40 – 2х)х, т.е. является функцией от переменной х.

у = (25 – 2х)(40 – 2х)х = 4х³ – 130х² + 1000х

Область определения этой функции промежуток (0; 12,5). Найдем экстремумы этой функции.

у' = (4х³ – 130х² + 1000х)' = 12х² – 260х + 1000

12х² – 260х + 1000 = 0

Критические точки функции х1 16,7 – не входит в область определения функции.

х² = 5

Определим знак производной в промежутках

(0; 5) у' > 0
(5; 12,5) у' < 0

Так как при переходе через точку х = 5 производная меняет знак с плюса на минус, то при х = 5 функция у = (25 – 2х)(40 – 2х)х = 4х³ – 130х² + 1000х имеет максимум.

Следовательно, коробка будет иметь наибольший объем при вырезании квадратов со стороной 5 см. Найдем объем полученной при этом коробки: V(5) = 2250см³.

• Специальность, по которой вы обучаетесь, называется «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования (по отраслям)».

В электротехнике большое значение имеют задачи на поиск оптимального решения: расчет параметров электротехнических приборов, при которых в цепи будет наименьшее сопротивление или наибольшая мощность.

Задача. Электронагревательный прибор потребляет мощность от источника тока, ЭДС которого равна 3В, а внутреннее сопротивление равно 2Ом. Какое сопротивление должен иметь прибор, чтобы в нем выделялась максимальная мощность?

Мощность, потребляемая электронагревательным прибором, сопротивление которого равно R, находится по формуле . Обозначим сопротивление прибора R = х. С учетом данных задачи составим функцию . Область определения этой функции промежуток (0; + ). Исследуем полученную функцию на экстремум.

Критические точки найдутся из уравнения .

х₁ = – 2 точка не входит в область определения функции.
х₂ = 2
Найдем знак производной на каждом промежутке

(0; 2) > 0
(2; +) < 0

Так как при переходе через точку х = 2 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум. Значит, мощность, потребляемая прибором, будет наибольшей, если сопротивление его равно 2 Ом.

• Сообщение студента

Рассмотрим цепь переменного тока, состоящую из источника переменного напряжения, активного сопротивления R, конденсатора емкостью C и катушки с индуктивностью L.
Полное сопротивление этой цепи находят по формуле , где – циклическая частота – частота переменного тока.

Задача. При какой частоте переменного тока полное сопротивление цепи будет наименьшим?

Обозначим = х. Рассмотрим функцию .

Область определения функции (0; +

Найдем производную функцию.

.

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки.

; ; ; – критическая точка.

Для ответа на вопрос: Что будет иметь функция в этой точке – наибольшее или наименьшее значение?– найдем вторую производную.

Найдем значение второй производной при

.

Вторая производная при положительная, значит, функция в точкепринимает наибольшее значение. Следовательно, полное сопротивление цепи переменного тока, содержащей активное сопротивление, конденсатор и катушку индуктивности наименьшее при .Найдем это сопротивление .

• Сообщениестудента

Любой теоретический вывод в физике должен пройти экспериментальную проверку. Составим электрическую цепь из:

• источника переменного напряжения регулируемой частоты, диапазон генерируемых частот у него от 20 Гц до 20000 Гц. Для удобства наблюдения за изменением частоты переменного напряжения воспользуемся динамиком (демонстрирует изменение высоты звука при изменении частоты переменного напряжения);
• конденсатора емкостью 4 мкФ;
• катушки с индуктивностью 0,32мГн;
• электрической лампочки от карманного фонаря.

Полное сопротивление этой цепи принимает наибольшее значение, равное ее активному сопротивлению при .

Сила тока при этом, согласно закону Ома, достигает наибольшего значения Значит при частоте переменного тока 4500Гц яркость лампочки будет максимальная (демонстрирует опыт).

Определение. Явление резкого возрастания силы тока в цепи переменного тока при частоте называется резонансом в электрической цепи.

Одновременно с ростом силы тока при резонансе резко возрастают напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности. Эти напряжения при малом активном сопротивлении во много раз превосходят внешнее напряжение. В некоторых случаях резонанс в электрической цепи может принести большой вред. Если цепь не рассчитана на работу в условиях резонанса, то возникновение резонанса приведет к аварии. Чрезмерно большие токи могут нагреть провода. Большие напряжения приведут к пробою изоляции. Такого рода аварии нередко случались в 19 веке, когда плохо представляли себе законы электрических колебаний и не умели правильно рассчитывать электрические цепи.