Правильные многогранники. Теорема Эйлера

Тип урока: урок – исследование с НРК.

Цель урока:

• дидактическая – рассмотреть практическую направленность знаний типов правильных многогранников;
• развивающая – развитие умений различать типы правильных многогранников; развитие умений применять полученные ЗН в решении задач путем исследования теоремы Эйлера;
• воспитательная – показать влияние правильных многогранников на возникновение филосовский теорий; установить связь между знаниями правильных многогранников и мировоззрением народов Севера.

Оборудование:

– чертежные инструменты,
– модели многогранников,
– иллюстрации к сообщениям учащихся:

1. модель солнечной системы Кеплера,
2. философская картина мира Платона,
3. многогранники в мировозрении народов Севера.

План урока:

1. Организационный момент – 1 мин.
2. Актуализация ЗУН – 4 мин.
3. Кубок Кеплера – 4 мин.
4. Философская картина мира Платона – 3 мин.
5. Мировоззрение народов Севера – 5 мин.
6. Формула Эйлера (исследовательская работа класса) – 6 мин.
7. Решение задачи – 9 мин.
8. Подведение итога – 2 мин.
9. Постановка Д/З – 1 мин.

Эпиграф:

 “Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.”
Л. Кэрролл.

Ход урока

1. Организационный момент.

Мир наш исполнен симметрии. С древнейших времен с ней связаны наши представления о красоте. Наверное, этим объясняется непроходящий интерес человека к многогранникам – удивительным символам симметрии, привлекшим внимание множества выдающихся мыслителей, от Платона и Евклида, до Эйлера и Коши.

Сегодня на уроке мы расширим ваши знания о правильных многогранниках.

2. Актуализация ЗУН.

Для того, чтобы двигаться дальше нам необходимо повторить то, что мы знаем о правильных многогранниках:

– определение правильного многогранника (выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер);
– сколько существует типов правильных многогранников (5);
– назовите их (показываются модели и называются: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр);
– откуда идет их название? (Из Древней Греции и в них указывается число граней: “эдра” – грань, “тетра” – 4, “гекса” – 6, “окта” – 8, “икоса” – 20, “додека” – 12).

Обращаю ваше внимание на слова Л.Кэрролла, которые стали эпиграфом сегодняшнего урока “Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук.” Именно данные слова я предлагаю положить в основу гипотезы этого урока, о том, что ученые в своих фантазиях и не очень пытались связать правильные многогранники с изучаемой наукой.

3. Кубок “Кеплера”.

Побываем в Европе XVI–XVII вв. Когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер (1571–1630).

Представим себя на месте Кеплера. Перед ним различные таблицы – столбики цифр. Это результаты наблюдений движения планет Солнечной системы – как его собственных, так и великих предшественников – астрономов. В этом мире вычислительной работы он хочет найти некоторые закономерности. Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы.

Рис. 1 Модель Солнечной системы И. Кеплера

Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, в который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия.

Такая модель Солнечной системы (рис. 1) получила название “Космического кубка” Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге “Тайна мироздания”. Он считал, что тайна Вселенной раскрыта.

Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца (Приложение 1) .

Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, думаю каждый из вас может доказать почему (планеты движутся по эллипсам и их 9, хотя Плутон с 2006 г. Перестал носить статус планеты), но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

Но название правильных многогранников к нам пришло из Древней Греции, значит интерес к ним возник еще тогда, давайте рассмотрим.

4. Правильные многогранники в философской картине мира Платона.

Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 – ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх “стихий” – огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих “стихий” имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр – как самый обтекаемый – воду; куб – самая устойчивая из фигур – землю, а октаэдр – воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества – твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник – додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим, символизировал мироздание, т.е. “все сущее”.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации (Приложение 2).

Поклонение таким стихиям можно найти и у народов Севера. Давайте рассмотрим мировоззрение эвенов и эвенков

5. Мировоззрение народов Севера.

Традиционные верования – анимизм, шаманство, магия, промысловые и родовые культы.

Вселенная существует в виде трех миров: небесный, средний и подземный.

Верхний мир населяли хозяева явлений и стихий природы: ветра, грома. Верховное божество было хозяином тепла и света: Солнце в небесной юрте коптило тепло. Духи среднего мира – хозяева родовых территорий, отдельных мест, гор, тайги и воды.

Религиозные представления включали культ природы, промысловые культы, шаманство.

Вселенная делится на верхний, средний и нижний миры.

Божества верхнего мира помогают людям, оберегают от болезней и бед. Средний мир принадлежит духам хозяевам: хозяин земли, хозяин пресной воды и хозяин моря. Особое место занимает – хранитель семейного очага, покровитель семьи. Нижний мир населяют различные духи и божества.

Итак, получается, все народы Севера связаны общей религией, которая разделяет вселенную на три мира, связь между которыми поддерживает шаман. Человек в своей вере представлял себя частью природы, поэтому и жил в нем культ природы: вера в помощь сил ветра, грома, огня, воды и земли. (Приложение 3.)

6. Исследовательская работа “Формула Эйлера”.

А сейчас перейдем от научных гипотез и философии жизни к научным фактам.

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов Платоновых тел и занесём результаты в таблицу № 1.

Анализируя таблицу № 1, возникает вопрос: “Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?” По-видимому, нет. Например, в столбце “грани” казалось бы, просматривается закономерность (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), но затем намеченная закономерность нарушается (8 + 2 ? 12, 12 + 2 ? 20). В столбце “вершины” нет даже стабильного возрастания.

Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12) . В столбце “рёбра” закономерности тоже не видно.

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В). Составим новую таблицу своих подсчётов (см. табл. № 2). Вот теперь закономерности может не заметить только “слепой”. Сформулируем её так: “Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 ”, т.е.

Г + В = Р + 2

Итак, мы вместе “открыли” формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Запомните эту формулу, она пригодится вам для решения некоторых задач.

7. Решение задач.

Задача. Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника. И найдите площадь полной поверхности этого многогранника, если все его ребра равны, ∟АВС = 90⁰ и ДВ = 4.

Итак, благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

Учёным достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, доказано, что существует всего пять видов таких многогранников, но сам ли человек их придумал. Скорее всего – нет, он “подсмотрел” их у природы.

Где конкретно, узнаем с вами на следующем уроке.

8. Подведение итога.

Подходит к концу урок, подведём итоги.

Что мы сегодня нового узнали о правильных многогранниках?

Смогли ли мы доказать правильность гипотезы выдвинутой в начале урока? (Применение в астрономии, философии, религии и геометрии.)

Почему Л. Кэрролл так высоко оценил значение этих многогранников?

Что общее характеризует правильные многогранники и любые выпуклые?

9. Постановка Д/З.

Посмотрите литературу, оглянитесь вокруг и найдите еще примеры, где нам встречаются куб и тетераэдр.