Самые простые наблюдения подчас приводят к очень важным выводам. Ход истории показал, что выводы из наблюдений за различными процессами сыграли фундаментальную роль в развитии науки и техники.
Тема «Функция» в школьной программе обширна и многогранна в своих приложениях. Эта тема является одной из важнейших для всего курса математики.Она вплотную связана с решением уравнений, неравенств, текстовых задач и др. Мы не думаем, что все выпускники школы в будущем станут математиками, но мы уверены, что будущие абитуриенты высших учебных заведенийдолжны уверенно владеть понятием функциональной зависимости, свободно строить графики функций, находить области определения и т.д. Поэтому так важно сформировать основные понятия,связанные с данной темой у семиклассников уже на первых этапах ее изучения.
Урок «Что такое функция или функции вокруг нас» - первый в изучении темы «Функция». Необходимо заинтересовать и замотивировать ребят к дальнейшей плодотворной работе. Поэтому наглядность играет большую роль. Вследствие этого – презентация к уроку, плакаты с основными понятиями, раздаточный материал.
В подготовке уроков мне всегда является огромным методическим подспорьем личный, систематизированный по темам, архив Приложения Математика газеты «Первое сентября». В данном случае есть целая подборка материала по теме «Функция», откуда взят материал [8]. К сожалению, некоторые статьи, из которых тоже заимствована часть материала к уроку, отксерокопированы давно без указания номера газеты или журнала и года издания.Полный список использованных источников указан в конце статьи.
Цели и задачи:
- Привести учащихся к пониманию самого понятия функции и ее значения в жизни человека.
- Развитие умения решения задач по теме.
- Содействовать развитию у учащихся умений исследовать познавательные объекты, сравнивать, находить соответствия и делать выводы.
Сценарий урока (2 часа) (форма урока – ЛЕКЦИЯ с практической работой)
Техническое оснащение урока: компьютер, проектор, экран, магнитная дока.
Дидактические материалы:
- Раздаточная папка «Функции и их графики»
- Плакаты формата А4 с эпиграфом к уроку, с основными определениями, с формулами функций для устной работы.
- Тетрадь с пропечатанной основой (ТПО) «Задания для обучения и развития учащихся, Алгебра, 7 класс», Лебединцева Е.А., Беленкова Е.Ю. [9].
- Карточки с домашним заданием.
Рисунок 1
Лекционная часть
Учитель: Если мы будем рисовать ряд окружностей, все более и более увеличивая радиус, то и сама окружность будет увеличиваться. Следовательно, длина окружности зависит от радиуса. В математике всякое правило, устанавливающее подобное соответствие, называется функцией.
Большинство математических понятий прошли долгий путь развития. Сложный путь прошло и понятие функции. Оно уходит корнями в ту далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что чем больше оленей удастся убить на охоте, тем дольше племя будет избавлено от голода; чем сильнее натянута тетива лука, тем дальше полетит стрела; чем дольше горит костер, тем теплее будет в пещере.
С развитием скотоводства, земледелия, ремесел и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами.
Мы тоже являемся функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы, и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов. И поэтому тему нашего с вами УРОКА я обозначила так:
«Что же такое функция или функции рядом с нами».
Эпиграфом предлагаю взять следующие слова:
«Математическими портретами закономерностей природы служат функции»
Презентация – 1 часть: ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ (слайды 2-10)
Работа с раздаточным материалом «Что такое функция?»:
ЧТО ТАКОЕ ФУНКЦИЯ?
Общее определение функции, которое мы называем теперь «классическим», сформировалось в математике не очень давно – лишь в начале прошлого века. И хотя математики имели дело с различными конкретными функциями почти на каждом шагу многовекового развития науки, все же должен был быть пройден долгий путь постепенной кристаллизации элементарных понятий и их обобщений, пока ученые пришли к необходимости общего определения функции и нашли его.
Впервые в печати формулировка определения функции как аналитического выражения или «функции вообще» появилась в одной работе ученика и сотрудника Готфрида Вильгельма Лейбница, Иоганна Бернулли в 1718 году.
С проблемой общего определения функции в середине XVIII века столкнулись крупнейшие математики того времени, Жан ле Рон Даламбер и Леонард Эйлер, в решении задачи о колебаниях струны. В спор с ними ввязался молодой математик, сын Иоганна Бернулли, Даниил Бернулли. Но в их формулировках еще ничего не говорилось о допустимом характере зависимости «первых» величин от «вторых», они оставались достаточно расплывчатыми, так что каждый из последующих математиков был волен истолковывать их на свой лад. Свою лепту внесли Сильвестр Франсуа Лакруа, Жозеф Фурье, Коши, Николай Иванович Лобачевский, Петер Лежен Дирихле. Математики даже разбились на два лагеря – сторонников определения функции «по Дирихле», не требующих обязательного правила, и сторонников определения функции «по Лобачевскому», требующих обязательного правила из конечного числа слов.
В конце двадцатых годов прошлого века над определением функции возникла новая угроза, теперь уже со стороны физиков. Теория явлений в физике микромира, новая эпоха в развитии новой физики, потребовала введения нового объекта – «дельта-функции». Здесь возникли очень серьезные разногласия между физиками и математиками, и тем значительнее представляется заслуга советского математика С.Л. Соболева, который открыл класс объектов, удовлетворяющих всем выдвинутым требованиям; впоследствии они были названы «обобщенными функциями».
Последняя форма определения функции еще не означает конца ее истории. Можно не сомневаться, что в дальнейшем под воздействием новых требований как самой математики, так и других наук – физики, биологии, науки об обществе, определение функции будет изменяться и каждое следующее изменение будет открывать новые горизонты науки и приводить к важным открытиям.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ
Функция переменной величины есть аналитическое выражение, составленное из этой величины и постоянных. И. Бернулли, 1718.
Функция есть кривая, начертанная свободным влечением руки. Л. Эйлер, 1748.
Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних изменяются и первые, то первые называются функциями вторых. Л. Эйлер, 1755.
Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних, независимо от того, известно или нет, какие операции нужно произвести, чтобы перейти от них к первому.
С. Лакруа, 1797.
Функция от x есть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа. Зависимость может существовать и оставаться неизвестной. Н.И. Лобачевский, 1834.
Y есть функция от x, если всякому значению x соответствует вполне определенное значение y, причем совершенно неважно, каким именно способом установлено указанное соответствие. П. Дирихле, 1837.
Презентация – 2 часть: ФУНКЦИИ РЯДОМ С НАМИ (слайды 11-19)
Слайд 13 «Знание законов природы…» - в продолжении рассказ русского математика Игнатьева:
«Как-то проездом через некий уездный городок он узнал, что в городе есть своего рода чудо-математик. Тот решал всякую предложенную ему задачу чрезвычайно быстро, почти не думая, при помощи всего-навсего обыкновенной шахматной доски. Удивительно! Но, быть может, секрет этого доморощенного математика окажется не столь уж загадочным, если сообразить, на что похожа шахматная доска? Это та же бумага в клетку, удобная для построения графиков!»
Слайды 14-16.
Давайте теперь рассмотрим еще один интересный вопрос. Этот вопрос обсуждают персонажи знаменитого трактата Галилея «Беседы и математические доказательства, касающихся двух новых отраслей науки»:
«Почему не бывает животных какой угодно величины? Почему, например, нет слонов в три раза большего роста, чем существуют, но тех же пропорций?
Ответ таков: стань слон в три раза больше, вес его бы увеличился в 27 раз, как куб размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их прочность – только в 9 раз, как квадрат размера. Прочности костей не хватило бы выдержать увеличившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собственной тяжестью. Рассуждение вполне строгое и убедительное.
Строгость и убедительность ему придало знание собеседниками двух функциональных зависимостей: первая устанавливает соответствие между размерами подобных тел и их объемами – объем изменяется как куб размера; вторая связывает размеры подобных фигур и их площади – площадь изменяется как квадрат размера.
Говоря на математическом языке, линейный размер играет роль независимой переменной или аргумента, а объем и площадь являются зависимыми переменными или функциями.»
Запишем в тетради определения функции и графика функции.
(Слайды 10 и 16)
Практическая часть
1. Слайд 17 «Чтобы наглядно проиллюстрировать…»
Третий лист раздаточной папки «Функции рядом с нами» - обсуждение с классом.
Функции рядом с нами.
Знание законов природы дало человеку возможность объяснять и предсказывать ее разнообразнейшие явления. «Математическими портретами» закономерностей природы и служит функция. Чтобы наглядно проиллюстрировать характерные свойства функции, обратимся к пословицам. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом народа.
- «Чем дальше в лес, тем больше дров». Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушки (S), где давным-давно все собрано, до чащобы, куда еще не ступала нога заготовителя.
- «Каши маслом не испортишь». Количество каши можно рассматривать, как функцию количества масла в ней. Согласно пословице, качество каши не понижается с добавкой масла. Подобного рода функции называются монотонно не убывающими.
- «Дальше от кумы – меньше греха». Функция, которая показывает, как изменяется мера греха по мере удаления от кумы, – монотонно убывающая функция.
- «Выше меры конь не скачет». Если изобразить траекторию скачущего коня, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой».
- «Пересев хуже недосева». Вековой опыт свидетельствует: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, а далее он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают «глушить» друг друга. В виде графика урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум – это наибольшее значение функции по сравнению с ее значениями во всех соседних точках. Это как бы «вершина горы», с которой все дороги ведут вниз, куда ни шагни.
- «Не круто начиная, круто кончай». Эта пословица может быть включена в правила научной организации труда. Повелительное звучание пословицы явно рассчитано на борьбу с противоположной, весьма распространенной манерой работы. На нее есть тоже своя пословица: «Горяч на почине, да скоро остыл». Обе функции, зависимы от времени, возрастающие. Но, как свидетельствуют кривые, «расти» можно по-разному.
- Сказка «про белого бычка». Если изобразить на графике эту сказку, мы получим периодическую функцию. Еще одним примером периодической функции является прибаутка: «У попа была собака – он ее любил…» и т.п. Что такое периодичность? Периодичностью в обычной речи называют чуть ли не всякую повторяемость. Однако повторяемость может быть более или менее строгой, достаточно сравнить между собой приведенные тексты.
2. Разминка (устная работа):
ТПО, стр. 30-31, № 38-39
3. Первая – вторая страница раздаточной папки (Приложение 1 и Приложение 2).
Ну, а теперь попробуем найти вот такие соответствия:
Каждой из следующих ситуаций соотнесите график функции, который описывает ее.
1 – н
2 – г
3 – ж
4 – а
5 – б
6 – з
7 – е
8 – д
9 – м
10 – и
11 – к
12 – л
Перемена.
4. ТПО стр. 29, №37
Функция задана таблицей. Заполним пропуски. Обратить внимание учащихся как обозначается область определения и область значений функции. Построим график, из чего он состоит – обратить внимание учащихся на определение графика и определение самой функции.
5. Работа с учебником (Макарычев Ю.Н. Алгебра. 7 класс : для углубленного изучения алгебры). Стр. 196-198[10]
Разбор определений функции, зависимой переменной, независимой переменной или аргумента, области определения функции и области значения функции, числовой функции.
6. Работа с классом – обобщение.
Пример соответствия двух множеств: множество действительных чисел и множество натуральных чисел, являющихся их квадратами. Запись формулы, таблицы значений.
Вопрос: Как можно задать функцию? – исходим из того, что делали, какие задания были. Запись способов задания функции.
7. У меня есть три каточки с формулами функций и три карточки с графиками. Кто попробует установить соответствие между ними?
(Карточки на магнитах на доске – функции у=x, y= х2, y= х3 и их графики.)
Проверяем работу ученика и обсуждаем.
Объясняю, что аналогичная работа будет и дома в ТПО№168, надо упростить формулы функций, преобразовав выражения в правой стороне заданных функций и найти соответствие на предложенных графиках, определив, какая из данных линий может быть использована для создания графика каждой из них. К тому же, надо еще и достроить оси координат. Обратить внимание на карточки с формулами и графиками на доске, для которых искали соответствие.
8. Дома я предлагаю продолжить работу по данной тематике (раздаю отпечатанные карточки):
Домашнее задание:
а) глава 7 учебника, § 14 – прочитать, внимательно рассмотреть примеры: будем обсуждать, № 980
б) ТПО №168, стр. 140
в) предлагаю на выбор следующие творческие задания:
- составить практическую задачу, решение которой можно иллюстрировать с помощью графика функций;
- самим найти пословицы, которые можно интерпретировать с помощью графиков функций.
- с помощью графиков функций проиллюстрировать смысл найденных пословиц и пословиц, предложенных на уроке.
9. Итог урока.
Учитель: Итог нашего урока я выразила с помощью презентации «Функции в нашей жизни».
Слайды 20-32.
Учитель: Любоваться природой можно и не зная математики. Но понять ее, увидеть ее, то, что скрыто за внешними образами явлений можно лишь с помощью точной науки. Только она позволяет заметить, что в явлениях природы есть формы и ритмы, недоступные глазу созерцателя, но открытые глазу аналитика.
Урок закончен, спасибо за урок.
Использованная литература и интернет-ресурсы:
- Глейзер Г.И. История математики в школе: 7-8 класс. / Г.И. Глейзер. - М.: Просвещение. - 1982.
- Чистяков В.Д. Исторические экскурсы на уроках математики в средней школе. / В.Д. Чистяков. – Минск: “Народная освета”. - 1969.
- Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. / К.А. Малыгин. - М.:Учпедгиз. - 1958.
- Математический энциклопедический словарь. - М.: Сов.энциклопедия. - 1988.
- Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика. - 1989.
- https://urok.1sept.ru/authors/103-256-737/Нагоева Эльвира Германовна, учитель информатики
- Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. / В.С. Крамор. – М. : Просвещение, 1990.
- Григорьева В. Лекция «Функции рядом с нами». // Приложение Математика, №4. – М. : из-во Первое сентября, 2003. – с. 1-4, 6.
- Лебединцева Е.А., Беленкова Е.Ю. Алгебра 7 класс.Задания для обучения и развития учащихся. / Е.А.Лебединцева, Е.Ю.Беленкова.– М. : Интеллект-центр, 2005.
- Макарычев Ю.Н. Алгебра. 7 класс : для углубленного изучения алгебры. / Ю.Н. Макарычев, Г.Н. Миднюк, И.Е. Феоктистов. – 8-е изд. – М. : Мнемозина, 2008.