Изучение темы рассчитано на 6 часов в 10-х классах.
При объяснении нового материала используется презентация (Приложение 1).
Основные цели:
- Познакомить учащихся с основными понятиями алгебры логики: логические константы, переменные, функции, элементарные логические операции, логические выражения.
- Научить строить таблицу истинности по заданному логическому выражению.
- Изучить законы алгебры логики.
- Логика – наука о формах и способах мышления
- Логика изучает внутреннюю структуру процесса мышления
- Алгебра логики – булева алгебра. Цель алгебры логики – описание поведения и структуры логических схем
Формы мышления
Понятие |
Суждение |
Умозаключение |
Доказательство |
||
| Отражает наиболее существенные свойства предмета | Высказывание строится на основе понятий | На основе известных фактов делается вывод | Мыслительный существенные
процесс, направленный на подтверждение или
опровержение кого-либо положения |
||
Содержание |
Объем |
Истинное | Ложные | ||
| Совокупность существенных признаков предметов | Совокупность предметов, на которые данное понятие распространяется | Простое, сложное | |||
Истинные высказывания правильно отражают свойства и отношения реальных вещей.
Ложные высказывания не соответствуют реальной действительности.
Алгебра высказываний
- Объекты алгебры логики – высказывания.
- Высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами.
- Каждому логическому высказыванию ставится в соответствие логическая переменная, которое принимает значение “истина” или “ложь”. А=1 – истина, В=0 – ложь.
- Составные высказывания образуются из простых с помощью союзов “и”, “или”, которые в алгебре логики заменяются на логические операции.
Высказывания:
- Истинное высказывание правильно отражает свойства и отношение реальных вещей (2*2=4).
- Ложное высказывание не соответствует реальной действительности (2*2=5).
Виды высказываний:
- Простые и сложные.
- Истинные и ложные.
Логические операции
- Логическое умножение – И – коньюнкция – AND.
- Логическое сложение – ИЛИ – дизъюнкция –OR.
- Логическое отрицание – НЕ – NOT.
Логические операции задаются таблицами истинности.
Операция “ИЛИ” – “OR” – операция логического сложения:
A |
B |
A OR B |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Операция “И” – “AND” – операция логического умножения:
A |
B |
A AND B |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Операция “НЕ” – “NOT” – операция логического отрицания:
A |
Not A |
0 |
1 |
1 |
0 |
Импликация – логическое следование:
A |
B |
A -> B |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликации) ложно тогда и только тогда, когда из истинной посылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание)
Эквиваленция – равнозначность:
A |
B |
A <-> B |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Составное высказывание, образованное с помощью логической операции эквивалентности, истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны.
Логические выражения и таблицы истинности
- Логическое выражение – это выражение, которое включает в себя логические переменные, объединенные логическими операциями
- Таблица истинности определяет истинность или ложность составного высказывания
Пример
Определить истинность или ложность логического высказывания:
A AND B OR C AND A
A & B OR C & A
A ^ B OR C ^ A
Алгоритм построения таблицы истинности, по логическому выражению:
- Посчитать кол-во переменных в лог. Выражении n=
- Определить число строк в таблице, которое равно m=2n
- Посчитать кол-во логических операций k=
- Определить кол-во столбцов в таблице k 2=n+k=
- Заполнить столбцы входными переменными.
- Ввести название столбцов, с учётом порядка действий:
Инверсия, логическое умножение, логическое сложение.
| A | B | C | A and B | C and A | A and B or C and A |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Логическая функция.
Любое логическое выражение можно рассматривать как логическую функцию.
Логической функцией называют функцию F(x1, x2, …xn) – функция от логических переменных, которая может принимать значения либо логического “0”, либо логической “1”. Для каждой логической функции имеется таблица истинности логической функции.
Логическая функция может быть задана табличным способом или в виде соответствующих формул.
Каждая логическая функция 2-х аргументов имеет 4 возможных набора значений аргументов: 00, 01, 10, 11.
N = 24 = 16 различных логических функций.
Законы алгебры логики:
Закон тождества
A = A
Закон непротиворечия
A & not A = 0
Закон исключения третьего
A and not A = 1
Закон двойного отрицания
Not (not A) =1
Закон Де Моргана
- Not (A & B) = not A or not B
- Not (A or B) = not A & not B
Правила коммутативности:
- A & B = B & A
- A or B = B or A
Правила ассоциативности
- (A & B) & C = A & (B & C)
- (A or B) or C = A or (B or C)
Правила дистрибутивности
- (A & B) OR (A & C) = A & (B OR C)
- (A or B) & (A or C) = A or (B & C)
Правила равносильности
- A or A = A
- A & A = A
Правила исключения констант
- A or 1 = 1
- A or 0 = A
- A & 1 = A
- A & 0 = 0
Вопросы по теме: “Основы логики и логические основы компьютера”:
- Что такое логика?
- Основные формы мышления.
- Что такое высказывание. Какие высказывания существуют?
- Какие значения могут принимать логические переменные?
- Что такое логическое выражение?
- Перечислить основные логические операции и таблицы истинности.
- При построении таблицы истинности чему равно а) количество строк, б) количество столбцов?
- Что такое логическая функция?
- Какие значения может принимать логическая функция?
- Каким образом может быть задана логическая функция?
Практические задания по теме
Построить таблицу истинности по булеву выражению:
1. F(x1, x2, x3) = x3 \/ (
2 & x1 & x3)
2. F(x1, x2, x3) = 
1
& 
2 \/ x2 \/ x1 &
x3
3. F(x1, x2, x3) = 
1
& x2 & x3 \/ 
1 \/
x2 \/ x3
Используемая литература:
1. Информатика и ИКТ. Профильный уровень: учебник для 10 класса / Н.Д. Угринович.