Конус. Площадь поверхности конуса. 11-й класс

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Класс: 11

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (685 кБ)

Тип урока: урок изучения нового материала с применением элементов проблемно-развивающего метода обучения.

Цели урока:

  • познавательные:
    • ознакомление с новым математическим понятием;
    • формирование новых ЗУН;
    • формирование практических навыков решения задач.
  • развивающие:
    • развитие самостоятельного мышления учащихся;
    • развитие навыков правильной речи школьников.
  • воспитательные:
    •      воспитание навыков работы в коллективе.

Оборудование урока: магнитная доска, компьютер, экран, мультимедийный проектор, модель конуса, презентация к уроку, раздаточный материал.

Задачи урока (для учащихся):

  • познакомиться с новым геометрическим понятием - конус;
  • вывести формулу для вычисления площади поверхности конуса;
  • научиться применять полученные знания при решении практических задач.

Ход урока

I этап. Организационный.

Сдача тетрадей с домашней проверочной работой по пройденной теме.

Учащимся предлагается узнать тему предстоящего урока, разгадав ребус (слайд 1):

рис.1

Рисунок 1.

Объявление учащимся темы и задач урока (слайд 2).

II этап. Объяснение нового материала.

1) Лекция учителя.

На доске – таблица с изображением конуса. Новый материал объясняется в сопровождении программного материала «Стереометрия». На экране появляется трёхмерное изображение конуса. Учитель даёт определение конуса, рассказывает о его элементах.(слайд 3). Говорится о том, что конус – это тело, образованное при вращении прямоугольного треугольника относительно катета. (слайды 4, 5). Появляется изображение развёртки боковой поверхности конуса. (слайд 6)

2) Практическая работа.

Актуализация опорных знаний: повторить формулы для вычисления площади круга, площади сектора, длины окружности, длины дуги окружности. (слайды 7–10)

Класс делится на группы. Каждая группа получает вырезанную из бумаги развёртку боковой поверхности конуса (сектор круга с присвоенным номером). Учащиеся выполняют необходимые измерения и вычисляют площадь полученного сектора. Инструкции по выполнению работы, вопросы – постановки проблем – появляются на экране (слайды 11–14). Результаты вычислений представитель каждой группы записывает в заготовленную на доске таблицу. Участники каждой группы склеивают модель конуса из имеющейся у них развёртки. (слайд 15)

3) Постановка и решение проблемы.

Как вычислить площадь боковой поверхности конуса, если известны только радиус основания и длина образующей конуса? (слайд 16)

Каждая группа производит необходимые измерения и пытается вывести формулу вычисления искомой площади с помощью имеющихся данных. При выполнении этой работы школьники должны заметить, что длина окружности основания конуса равна длине дуги сектора – развёртки боковой поверхности этого конуса. (слайды 17–21) Используя необходимые формулы, выводится искомая формула. Рассуждения учащихся должны выглядеть примерно таким образом:

Радиус сектора – развёртки равен l, градусная мера дуги – φ. Площадь сектора вычисляется по формуле формула1 длина дуги, ограничивающей этот сектор, равна формула2 Радиус основания конуса R. Длина окружности, лежащей в основании конуса, равна С = 2πR. Заметим, что формула3 Так как площадь боковой поверхности конуса равна площади развёртки его боковой поверхности, то формула4

Итак, площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле SБПК = πRl.

После вычисления площади боковой поверхности модели конуса по выведенной самостоятельно формуле представитель каждой группы записывает результат вычислений в таблицу на доске в соответствии с номерами моделей. Результаты вычислений в каждой строке должны быть равны. По этому признаку учитель определяет правильность выводов каждой группы. Таблица результатов должна выглядеть таким образом:

№ модели

I задание

II задание

1

48π

~ 48 π

2

(125/3)π ~ 41,67 π

~ 41,67 π

3

75π

~ 75 π

4

(425/9)π ~ 47,22 π

~ 47,22 π

5

(539/9)π ~ 59,89 π

~ 59,89 π

 Параметры моделей:

  1. l=12 см, φ =120°
  2. l=10 см, φ =150°
  3. l=15 см, φ =120°
  4. l=10 см, φ =170°
  5. l=14 см, φ =110°

Приближённость вычислений связана с погрешностями измерений.

После проверки результатов вывод формул площадей боковой и полной поверхностей конуса появляется на экране (слайды 22–26), ученики ведут записи в тетрадях.

III этап. Закрепление изученного материала.

1) Учащимся предлагаются задачи для устного решения на готовых чертежах.

Найти площади полных поверхностей конусов, изображённых на рисунках (слайды 27–32).

рис.2

2) Вопрос: равны ли площади поверхностей конусов, образованных вращением одного прямоугольного треугольника относительно разных катетов? Учащиеся выдвигают гипотезу и проверяют её. Проверка гипотезы осуществляется путём решения задач и записывается учеником на доске.

Дано: Δ АВС, ∠С=90°, АВ=с, АС=b, ВС=а;

ВАА', АВВ' – тела вращения.

Найти: SППК 1, SППК 2.

рис.3

Рисунок 5. (слайд 33)

Решение:

1) R=ВС= а ; SППК 1= SБПК 1+ Sосн 1= π а с+π а2 = π а (а + с).

2) R=АС= b ; SППК 2 = SБПК 2 + Sосн 2 = π b с+π b2= π b (b + с).

Если SППК 1 = SППК 2, то а2+ас = b2 + bc, a2 - b2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Т.к. a, b, c – положительные числа (длины сторон треугольника), торавенство верно только в случае, если a = b.

Вывод: Площади поверхностей двух конусов равны только в случае равенства катетов треугольника.(слайд 34)

3) Решение задачи из учебника: № 565.

IV этап. Подведение итогов урока.

Домашнее задание: п.55, 56; № 548, № 561. (слайд 35)

Объявление поставленных оценок.

Выводы по ходу урока, повторение основных сведений, полученных на уроке.

Литература (слайд 36)

  1. Геометрия 10–11 классы – Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., М., «Просвещение», 2008.
  2. «Математические ребусы и шарады» – Н.В. Удальцова, библиотечка «Первого сентября», серия «МАТЕМАТИКА», выпуск 35, М., Чистые пруды, 2010.