Систематизация материала для подготовки и проведения зачетов по геометрии по учебнику А.В. Погорелова

1. Определение параллелограмма.

2. Свойство противолежащих углов и сторон параллелограмма

3. Сумма двух углов параллелограмма равна 150^o. Найдите углы параллелограмма

4. В ромбе ABCD прямая KL параллельна стороне АВ. Определите виды четырёхугольников ABKL и KCDL

1. Определение прямоугольника.

2. Свойство диагоналей ромба.

3. Один из углов параллелограмма в 3 раза больше другого. Найдите углы параллелограмма

4. В окружности с центром в т.О проведены два диаметра AB и CD. Определите вид четырёхугольника ACBD.

1. Определение ромба.

2. Свойство диагоналей параллелограмма.

3. Периметр параллелограмма равен 36 см, одна из его сторон равна 8 см. Найдите остальные стороны параллелограмма.

4. В окружности с центром в т. О проведены два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD. Определите вид четырёхугольника ABCD.

1. Определение квадрата.

2. Признак параллелограмма.

3. Определите углы ромба, если один из них больше другого на 40^o .

4. В параллелограмме ABCD, О - точка пересечения диагоналей, а точки А и М принадлежат сторонам АВ и AD так, что ОМ параллельна ВС и ОК параллельна CD. Определите вид четырёхугольника ОМАК.

1. В ромбе ABCD =35^o. Найдите углы ромба.

2. В параллелограмме ABCD от точки 0 - пересечения диагоналей, на диагонали АС отложены отрезки ON= BO и ОМ=ВО

а) Докажите равенство треугольников АВМ и CDN.

б) Определите вид четырёхугольника MBND.

1. В ромбе АВСD, где О - точка пересечения диагоналей BD и АС,. Найдите углы треугольника АОВ

2. На продолжении диагонали BD прямоугольника ABCD отложены равные отрезки BM и DK.

а) Докажите равенство треугольников ABM и CDK.

б) Определите вид четырёхугольника АМСК.

1. Определение средней линии треугольника

2. Теорема о пропорциональных отрезках.

3. В равнобедренной трапеции ABCD через вершину В и меньшего основания ВС проведён отрезок ВМ , параллельный стороне CD (М . Известно, что AD=10 см, ВС=6см, АВ= 3,5см

а) Определите вид четырёхугольника BMDC.

б) Определите вид треугольника АВМ и найдите его периметр.

1. Сформулируйте теорему Фалеса.

2. Теорема о средней линии треугольника.

3. В параллелограмме ABCD ,биссектриса острого пересекает сторону ВС в точке М. Известно ,что AD=8см, ВМ=3см.

а) Определите вид четырёхугольника AMCD.

б) Найдите периметр ABCD и среднюю линию трапеции AMCD.

1.Определение средней линии трапеции.

2. Построение четвёртого пропорционального отрезка.

3. В ромбе ABCD точки M. K, L, N - середины сторон соответственно AB, BC, CD, AD.

а) Определите вид четырёхугольника BMDC

б) Определите вид треугольника АВМ и найдите его периметр.

1. Определение трапеции. Виды трапеции.

2. Теорема о средней линии треугольника

3. В параллелограмме ABCD точки M, K, L, N - середины соответственно сторон AB, BC, CD, и AD. BD=10см, АС=20см.

а) Определите вид четырёхугольника MBDN

б) Определите вид четырёхугольника MKLN и найдите его периметр.

1. В прямоугольнике ABCD биссектриса AL угла А делит сторону ВС на отрезки BL=6см , LC=3см. Найдите

а) периметр прямоугольника;

б) длину средней линии трапеции ALCD/

2. В трапеции ABCD, AD-большее основание. Через вершину С проведена прямая, параллельная АВ, до пересечения с AD в точке Е, DE=6см, АЕ=9см. Найдите

а) длину средней линии трапеции;

б) периметр трапеции, если периметр треугольника CDE равен 19см.

1. В параллелограмме ABCD биссектриса АМ острого угла А отсекает от стороны ВС отрезок ВМ=5см. Найдите: а) периметр параллелограмма, если AD=9см.; б) длину средней линии трапеции AMCD.

2. В трапеции ABCD через вершину С проведена прямая, параллельная боковой стороне АВ, до пересечения с большим основанием AD в точке Е. AD=12см, DE=4см, Р=33см. Найдите: а) длину средней линии трапеции ABCD;

б) периметр CDE.

1. Определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике.

2. Теорема Пифагора.

3. В параллелограмме ABCD высота ВК, проведённая из вершины тупого угла, делит сторону AD на отрезки AK и KD, причём ВК=6см, BD=10см, АК-4,5см. Найдите :

а) синус угла А

б) периметр ABCD

1. Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника.

2. Перпендикуляр и наклонная.

3. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 30см, меньшее основание-32см, высота-18см. Найдите:

а) большее основание

б) косинус острого угла трапеции.

1. Определение тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике.

2. Основные тригонометрические тождества.

3. В прямоугольнике одна сторона равна 8см, диагональ-10см. Найдите:

а) другую сторону прямоугольника;

б) синус и тангенс угла, который образует диагональ прямоугольника с большей стороной.

1. Египетский треугольник.

2. Неравенство треугольников.

3. К прямой m проведены наклонные АВ=17см, АС=10см по одну сторону от перпендикуляра AD=8см. Найдите:

а) длину проекций наклонных;

б) косинус и тангенс .

1. В равнобедренном треугольнике АВС, основание АС=24см и медиана BD=5см. Найдите:

а) боковые стороны;

б) синус угла при основании;

в) высоту треугольника ,проведённая к боковой стороне.

2. В равнобедренной трапеции с боковой стороной 15см, меньшим основанием 16см и высотой 9см, найдите большее основание.

1. В равнобедренном треугольнике АВС, боковая сторона АВ=17см, медиана ВМ=8см. Найдите:

а) основание;

б) синус угла при основании;

в) высоту треугольника, проведённую к боковой стороне.

2. Вравнобедренной трапеции с боковой стороной 10см, большим основанием 17см и высотой 8см, найдите меньшее основание.

1. Значение синуса и косинуса, тангенса угла 30^o.

2. Дано:

Найдите: АС; ВС; .

3. В окружности с центром О,АВ и CD-два не перпендикулярных диаметра, точка Е лежит на диаметре АВ, DE перпендикулярен АВ, СD=4, DE=.Найдите величину острого угла между диаметрами.

1. Значение синуса, косинуса и тангенса угла в 60^o.

2. Дано:

Найдите: АВ, ВС,

3.Сторона ромба 2, высота 2. Найдите:

А) острый угол ромба;

Б) длину отрезков, на которые высота делит сторону.

1. Значение синуса, косинуса и тангенса 45^o

2. Дано:

Найдите АС,

3. В прямоугольной трапеции ABCD,

Найдите .

1. З начение sin30^o, cos45^o, tg60^o

2. Дано:

Найдите: АВ,

3. В трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания ВС, а диагонали равны: BD=6 и взаимно перпендикулярны. Найдите углы, которые образуют диагонали с большим основанием.

1. Координаты середины отрезка.

2. Расположение прямой относительно системы координат.

3. Отрезок ВС задан координатами концов В(5;-3), С(-1; -5).

а) Найдите координаты точки А-середины ВС и длину ВС.

б)Составьте уравнение окружности с центром в точке В и радиусом ВС.

1. Выражение длины отрезка через координаты его концов.

2. Взаимное расположение прямой и окружности.

3. Трапеция ABCD задана координатами А(0;0), В(-2;-6), С(-5;-6), D(-9;0).

а) Найдите координаты середин боковых сторон АВ и CD и длину средней линии трапеции.

б) Составьте уравнение прямой ВС.

1. Уравнеие окружности.

2. Расположение прямой относительно системы координат.

3. В равнобедренном треугольнике АВС даны координаты вершин А(0;3), В(-2;-3), С(-6;1).

А) Определите, какая сторона является основанием. Найдите длину медианы ВМ.

Б) Составьте уравнение окружности с центром в точке М и радиусом ВМ.

1. Уравнение прямой.

2. Взаимное расположение прямой и окружности.

3. В треугольнике МКР М(1;4), Р(-3;-8), К(-7;4).

а) Найдите длину средней линии ВС, если ВМР, СМК.

б) Составьте уравнение окружности с центром в точке В и проходящей через точку М. Лежит ли на этой окружности т. Р.

1. Симметрия относительно точки и её свойства.

2. Начертите прямоугольный треугольник АВС ( .Постройте фигуру ,симметричную ему относительно:

а) прямой ВС;

б) точки С;

в) точки А.

3. Начертите параллелограмм KMLN. Возьмите точку А на стороне ML. Постройте точку В, в которую перейдёт точка N при параллельном переносе, переводящим точку К в точку А.

1. Симметрия относительно прямой и её свойства.

2. Укажите координаты и постройте точки, симметричные точки М(4;-3) относительно:

а) начала координат;

б) оси ОХ.

3. Дан треугольник АВС и АМ -его медиана. Постройте точку, в которую перейдёт точка С при параллельном переносе, переводящим точку А в точку М.

1. Параллельный перенос и его свойство.

2. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник. Постройте фигуру, в которую перейдёт данный треугольник при повороте на по часовой стрелке относительно вершины острого угла.

3. У параллелограммов ABCD и Докажите что, параллелограммы равны. (совмещаются движением).

1. Поворот и его свойство.

2. Треугольник АВС. При параллельном переносе точка А переходит в точку С. Постройте точку D , в которую переходит точка В при этом параллельном переносе. Определите вид четырёхугольника ABCD/

3. Дана трапеция ABCD и точка О - середина стороны CD. Постойте фигуру, в которую переходит трапеция ABCD при центральной симметрии относительно точки О.

1. Абсолютная величина и направление вектора.

2. Сложение векторов.

3. Найдите координаты и длину вектора если и

4. Перпендикулярны ли векторы ?

5.Найдите угол между векторами

1. Равенство векторов.

2. Разность векторов.

3. Найдите координаты и длину вектора если и

4. Перпендикулярны ли векторы и ?

5. Найдите угол между векторами ) и

1. Координаты вектора.

2. Умножение вектора на число.

3. Начертите два произвольных вектора и . Постройте вектор равный .

4. Перпендикулярны ли векторы .

5. Найдите угол между векторами .

1. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам и разложение вектора по координатным осям.

2. Скалярное произведение векторов.

3. Треугольник АВС задан координатами своих вершин А(0;-1),В(-1;4), С(-5;-2). Найдите координаты векторов , где D-середина ВС. Докажите, что

4. Даны векторы . Разложите вектор по векторам .