Тренировочная работа. 1 Задание В10.
Задача №1. Зависимость объема спроса q(тыс. руб.?) на продукцию предприятия-монополиста от цены p(тыс. руб.) задается формулой q=160-10p. Выручка предприятия за месяц r(в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q*p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 280 тыс.руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Математика Подготовка к ЕГЭ - 2011 под редакцией Ф.Ф. Лысенко.
Вариант 9 Задание В10
Задача №2. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота , на которой он находится, описывается формулой h(t)= -5t2+39t, где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 28 метров.
Математика Подготовка к ЕГЭ - 2011 под редакцией Ф.Ф. Лысенко.
Вариант 11 Задание В10
Задача №3. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задается выражением T(t) = T0 +a*t +b*t2 , где T0 = 296 K, a = 5K/мин, b = -1/8 K/мин2. Известно, что при нагреве прибора свыше 338 градусов он может выйти из строя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое время в минутах после начала работы нужно отключать прибор?
А.А. Быков Сборник задач по математике ГУ ВШЭ.
Часть 2 Варианты вступительных испытаний по математике
Задача №4. Доход нефтяной компании (в у. е.) равен численно произведению квадрата числа геологов на куб числа добытчиков. Наем одного геолога обходится в 4 у. е., одного добытчика - в 27 у. е. Найдите число t, равное отношению числа геологов x к числу добытчиков y, если доход заданной величины получен при наименьшем возможном расходе на наем.
Задача №5.
Предприниматель должен израсходовать 1440 у.е. на наем грузчиков (2 у.е. на каждого) и менеджеров (15 у.е. на каждого), причем ожидаемый доход (в у.е.) равен численно произведению числа грузчиков на квадрат числа менеджеров. Сколько всего сотрудников нужно нанять, чтобы получить максимальный доход?
Задача №6.
Расстояние от Парижа до Марселя (по шоссе) равно 77 лье. В Париже квартирует 9000 мушкетеров, в Марселе - 16000. На каком расстоянии (в лье) от Парижа следует расположить винокуренный завод для обслуживания мушкетеров, чтобы минимизировать транспортные издержки, если затраты на перевозку P тонн бургундского на расстояние L лье составляют P*L3 бурбонов?
Оговорюсь, что при презентации найденных подходов к решению проблемы не предполагалось обсуждения и сравнения решений самих задач, однако, при подготовке к занятиям, участники групп рассмотрели и решения конкретных задач. Мне представляется, что сравнительный анализ подходов к их решению может быть интересен тем, что решая задачи, ученики столкнулись с широким набором дополнительных вопросов.
Решение 1 задачи. Стараемся свести задачу к известной модели и минимизировать временные и интеллектуальные затраты на её решение. Выручка предприятия от цены изделия есть квадратичная функция r(p)=(160-10p)p. Тогда мы, очевидно, должны решить неравенство (160-10p)p ? 280, p2 - 16p + 28 ? 0. Спасибо составителям за подбор числовых значений и великому Франсуа Виету (1540-1603). За что? За его теорему, позволяющую подобрать нули квадратного трехчлена и решить квадратичное неравенство 2 ? p ? 14. Кстати, спасибо великому французскому математику намного серьезнее: ведь до него не было в математике формул, он ввел в алгебру буквенные обозначения и разработал почти всю элементарную алгебру.
Ответ на вопрос задания готов: нет сомневающихся в том, что наибольшее число на промежутке, задаваемом полученным неравенством, равно 14.
Еще раз оглянулись на условие задачи и вспомнили, в каких единицах хотят авторы видеть ответ. В тысячах рублей. Значит, все нормально, в ответ помещаем число 14.
Если бы все проблемы так легко решались!!! А была ли проблема вообще?
А попадется ли точно такая же задача на экзамене?
Что делать, если на экзамене будет ошибка в формулировке условия?
Спросить могут то же самое? Какие вопросы можно было бы сформулировать по данному условию?
А помимо успешной сдачи экзамена что может и должно нас волновать?
Кто-то думает о блистательном будущем в роли финансового аналитика?
А все ли понимают, что роль клиента - покупателя - неизбежная составляющая при жизни в условиях современного общества?
Давайте проанализируем заданную ситуацию с этих позиций.
Что означают краевые точки в удовлетворяющем нас промежутке?
Возможный ответ: выручка в 280 тыс. рублей может быть получена в двух случаях: цена изделия 2 тыс. руб. и мы продаем 140 изделий или цена изделия 14 тыс. руб. и мы продаем 20 изделий.
Давайте представим себя в роли финансового аналитика. Что вы посоветуете: реализовать много единиц товара по малой цене или небольшую партию изделий по эксклюзивной цене?
Возможные варианты ответов:
1) если найдутся богатые "Буратино", то почему бы не обуть их? Тем более, что ты являешься монополистом;
2) существуют антимонопольные законы, они должны преследовать завышение цен и получение сверхприбыли;
3) выручка еще не означает доход или прибыль, возможно, что существуют другие ограничения, которые стоит учитывать. Например, транспортные расходы, расходы на аренду помещений, расходы на наем сотрудников. Тогда можно говорить о наиболее благоприятных условиях;
4) важно ведь и кому продавать товар, скорее всего в нашей ситуации слишком простые приближения: если есть большая прибыль, то долго в состоянии монополии без сохранения секрета производства быть не удастся;
5) рекламные компании требуют больших затрат;
6) в этой модели естественно задать вопрос, какой может быть максимальная выручка или какой в этих условиях должна быть оптимальная цена?
Легко увидеть, что оптимальная цена для максимальной выручки равна 8 тыс. рублей, причем выручка тогда составляет 640 тыс. рублей;
7) по цене 16 тысяч рублей не удастся продать ни одного изделия;
8) на самом деле, для исследования непрерывной функции у нас нет, мы имеем в случае штучного товара дискретный набор значений. Если мы продадим одно изделие, то его цена в нашей модели будет 15,9 тыс. рублей. Больше 160 изделий продать нельзя, да и 160 можно только раздарить. Минимальная выручка возможна при продаже 159 изделий по цене 0,1 тыс рублей.
Решение задачи №2.
А здесь совсем неприятная для многих ситуация. Физическая задача, точнее задача с физическим содержанием. А кто из собравшихся учеников понимает физику? Любит физику? Кто её боится?
Давайте будем анализировать задание с точки зрения математики, забыв, что скрывается за обозначениями. h(t)<28. -5t2+39t < 28, 5t2 - 39t +28>0. Спасибо составителям уже не скажем. D = 392 -4*5*28 = 961. Мы позиционируем себя в качестве любителей математики, умеющих решать квадратичные неравенства. Получаем 0,8 < t < 7. А что вписывать в ответ? Приходится вернуться к физическому смыслу задачи. Очевидно, разность граничных значений промежутка и есть время, когда мы находимся на высоте не менее 28 м. Ответ: 6,2 (не забываем, что в бланк ответа размерность величины входить не должна).
А какие проблемы с нашим моделированием? Что можно еще спросить? На какую максимальную высоту мы можем подняться? Можно увидеть, что время t, отвечающее максимальной высоте подъема, равно 4 с, тогда h(4) = 76 м. И время полета найти легко - оно равно 8 с. Если построить график h(t) , то на построенном графике все точки с отрицательными ординатами надо убрать. Ведь тогда по смыслу задачи мы уже не летим в воздухе, а пробираемся под землей как кроты. Пределы использования нашей модели:
t 
[0 ; 8].
Решение задачи №3.
Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задается выражением T(t) = T0 +a*t +b*t2 , где T0 = 296 K, a = 5K/мин, b = -1/8 K/мин2. Известно, что при нагреве прибора свыше 338 градусов он может выйти из строя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое максимальное время в минутах после начала работы нужно отключать прибор? А вот здесь физики хотят взять реванш. Они решили ввести в формулу две буковки t. Конечно, любящие физику ребята, легко составят неравенство T(t) < 338. 296+5t-t2/8 < 338, t2 -40t + 336 > 0. С точки зрения математики нас устраивают значения t < 12 или t > 28. А в ответ нужно вписать одно число? Здесь стоит задуматься (на самом деле не очень глубоко) над физическим смыслом задачи. В решении нашего неравенства нет самого большого числа, из двух границ промежутков, казалось бы, 28 больше, давайте его и поместим в ответ. (К сожалению, эти рассуждения взяты из воспоминаний неудачного решения тренировочной работы сильными учащимися).
А ведь здравый смысл подсказывает: прибор
должен нагреваться при включении, через 12 минут
он достигает критической температуры и
нуждается в выключении, в противном случае он
перегорит. С точки зрения области определения
функции из физического смысла задачи t[0;12]. Бесполезно задавать
вопрос, какой будет температура прибора в момент
времени t = 28 минут, ориентируясь на имеющуюся
формулу для квадратичной функции, так как
пользоваться нашей моделью в этот момент времени
нельзя: если мы допустим перегрев прибора, и он
перегорит, то дальше он может только остывать до
комнатной температуры.
Решение задачи №4.
Данная задача предлагалась в качестве одной из самых трудных (30 из 30 за 1,5 часа) в 2006 году на вступительных экзаменах в ВШЭ.
Как быстро решать подобные задачи? А надо ли их решать быстро?
Если хочешь учиться в этом вузе на бюджете, то нужно. А будешь ли ты получать удовольствие от работы, тем самым увеличивая возможность обретения счастья в жизни?
Тогда надо интересоваться делом. А хочешь ли ты быть успешным в работе? Тогда надо понимать замыслы противника (в данном случае составителя задания).
Пробуем быть просто математиками. Надо максимально быстро решить задание.
Пусть x - число геологов в компании, y- число добытчиков в компании, D - доход в компании. D = x2y3. Пусть N - расход на наем. N = 4x + 27y. Мы учились исследовать функции одной переменной. Доход - фиксированный, мы не полагаем, что он равен нулю, тогда x и y - натуральные числа. x =(D/y3)1/2. N(y) = 4(D/y3)1/2 +27y. Строго говоря, полученная функция задана на множестве натуральных чисел, для исследования таких последовательностей у нас меньше возможностей. Давайте предположим, что y - просто действительное положительное число. Тогда мы видим две предельные ситуации: y стремится к нулю - N уходит в бесконечность, y стремится к бесконечности - N опять же бесконечно велико. У нашей непрерывной функции есть наименьшее значение.
Найдем производную N'(t)=-6(k)1/2y-5/2 +27. Для нахождения нулей производной решим уравнение 2(k)1/2y-5/2 = 9, откуда y5 = 4D/81. При этом условии x/y = (D/y5)1/2. Получаем x/y =4,5.
Какие предварительные выводы можно сделать? Наем добытчиков более затратный, затраты на наем 1 добытчика превышают затраты на наем 1 геолога в 6,75 раза. Однако доход пропорционален кубу числа добытчиков, а потому в целом оплата добытчиков обходится компании дороже, чем геологов.
Решение задачи №5.
Пусть x - число грузчиков в компании, y- число менеджеров в компании, D - доход в компании. D = xy2. Пусть N - расход на наем. N = 2x + 15y. N = 1440. x = 720 - 15y/2. Мы учились исследовать функции одной переменной. D = D(y) = (720 - 15y/2)y2. Очевидно, компания не собирается делать долги, тогда D > 0. Значит, 0< y < 96. Квадратный трехчлен будем исследовать с помощью производной. А лучше исследовать функцию g(x) = (96-y)y2 = 96y2 - y3. g'(x) =192y - 3y2=3y(64-y). При y =64 имеем максимальный доход. (А почему, кстати?) Тогда x = 240, а общее число работников компании равно 304.
Что общего и чем отличаются условия задач №4 и №5?
1) В задании 4 мы хотим как можно меньше тратить на наем, в задании 5 мы хотим получить как можно больший доход. А нельзя ли постараться догнать сразу двух зайцев? Что ограничивает деятельность компании? Доход компании, казалось бы, может неограниченно возрастать, если возрастает число, как грузчиков, так и менеджеров. Причем работа менеджера существеннее сказывается на доходе компании, но и наем менеджера требует больших расходов.
Спрос на продукцию компании не может быть неограниченным.
Важна структура расходов, в частности транспортные расходы.
Число работников не может быть больше числа, проживающих в том или ином регионе.
А занятия людей должны быть разносторонними, обеспечивающими разные аспекта жизни человека. Отсюда возникают проблемы городов - монополий.
2) Какие дополнительные ограничения мы должны учитывать?
По крайней мере, расход на наем должен быть меньше дохода компании.
Оплата персонала не должна быть меньше прожиточного минимума.
Понятно, что решение задачи с учетом даже лежащих на поверхности вопросов становится, хотя и много более интересным, но и явно выходящим за рамки экзаменационного задания.
Задача №6. Расстояние от Парижа до Марселя (по шоссе) равно 77 лье. В Париже квартирует 9000 мушкетеров, в Марселе - 16000. На каком расстоянии (в лье) от Парижа следует расположить винокуренный завод для обслуживания мушкетеров, чтобы минимизировать транспортные издержки, если затраты на перевозку P тонн бургундского на расстояние L лье составляют P*L3 бурбонов?
Еще одна задача на оптимальность принимаемого решения.
Для чего "серьезные дяди" вместо пунктов А и В вводят географические уточнения, зачем нам знать название вина и валюты, используемой при оплате, а также единицу измерения длины, принятую во Франции? Нам веселее, интереснее, сложнее решать задачу, формулируемую в данных терминах?
Что меняется в условии задачи, если вместо числа мушкетеров, квартирующих в городах, мы введем число жителей городов?
Особенности математической модели, которые подразумеваются автоматически: все мушкетеры пьют, причем потребление алкоголя в столице и портовом городе одинаково; дороги во Франции одинаково хороши в любом направлении; винокуренный завод способен обеспечить любимым вином мушкетеров в неограниченном количестве.
Итак, предполагаем, что мушкетер потребляет k тонн (кг, г) вина в год (месяц, день) (k>0).
В Париж поставляется 9000k тонн (кг, г) в год (месяц, день), в Марсель, соответственно, 16000k.
Пусть расстояние до Парижа от винокуренного завода x лье, тогда до Марселя (77-x) лье.
Общие транспортные расходы производителя y(x)= 9000k*x3 +16000k*(77-x)3.
Чтобы упростить задачу на нахождение минимума транспортных расходов, будем исследовать функцию g(x)=9x3 +16(77-x)3.
Для исследования кубического многочлена используем производную функции g(x).
g'(x)=27x2 - 48(77-x)2=3((3x+4(77-x))(3x-4(77-x)) = 3 (308-x)(7x-308). x<77. При x<44 g(x) убывает, при x>44 возрастает. Принимаем решение: Завод строим на расстоянии 44 лье от Парижа. Транспортные расходы на перевозку вина будут минимальными.
Как будущие экономисты мы понимаем: существует масса неучтенных факторов: а есть ли соответствующая инфраструктура в месте расположения заводика? А каковы транспортные расходы на перевозку сырья? Есть ли желающие трудиться на этом заводе? Каковы затраты на аренду пунктов распития напитков в двух городах?
Но если нам это интересно, то в выборе профессии есть существенное продвижение. А, значит, мы на верном пути.