Case–технологии на уроках математики

По сравнению с широко распространенными методами активного обучения школьников метод case - технологий не столь известен. Еще менее опробован он в применении к математике в школе, поскольку в отличие от таких дисциплин как экономика, гуманитарные дисциплины и даже физика он предполагает разрешение участниками учебных групп проблемы, по своей сути, не имеющей однозначного решения.

Однако его преимущества: коллективный характер познавательной деятельности, творческий подход к познанию, сочетание теоретического знания и практических навыков столь привлекательны, что привлечение его к работе, даже при наличии трудностей в реализации методики в рамках школы имеет очень много плюсов.

Особенностью метода case - технологий является создание проблемной ситуации на основе фактов из реальной жизни. А что сейчас волнует многих школьников, изучающих математику в старших классах? Помимо проблемы итоговой аттестации возникают вопросы и сомнения, в коей мере приобретаемые в этой области знания могут и будут востребованы в дальнейшем, насколько оправданы как затраты времени, так и здоровья на изучение столь сложного предмета.

В этом году на базе нашей гимназии стала работать городская педагогическая мастерская "Работа с одаренными детьми на базе основного и дополнительного образования с использованием кейс - технологий и технологии развития критического мышления". Руководителями её наряду со мной стали учителя математики и информатики Болотова Н.В. и Савенко Н.А. В рамках этой мастерской мною была проведена серия из трех занятий для учащихся 9-11 классов, часть материалов которых предлагается вашему вниманию в этой статье.

В начале первого занятия учащиеся 9-11 классов в составе 27 человек были случайным образом разбиты на 5 групп. Каждой группе в бумажном и электронном виде были предложены: текст мини- кейса, образцы задач, вызывавших затруднения, подсказки для аудитории, вспомогательные вопросы, а также ссылки на сайт Дениса Биге с советами как сделать хорошую презентацию.

Ниже приводится текст мини - кейса "Тяжкое бремя выбора".

Усилия всей семьи усердной ученицы 9 класса Алисы Старательной направлены на внедрение её в число студенток любого, но очень престижного, экономического вуза (поближе к большим деньгам, которых в данное время в самой семье не наблюдается). Хотя девочка учится еще только в 9 классе, её многочисленные родные изучили всевозможные сайты учебных заведений, прочитали все Положения о проведении ГИА. На семейном совете было принято стратегическое решение: создать условия для подготовки Алисы к итоговой аттестации, уделив особое внимание проблемным местам. Любая стратегическая цель достигается посредством решения многих тактических задач. В настоящий момент выявилась одна из жестких проблем: как показал обзор источников информации, зачастую вместо стандартно сформулированных математических задач на экзаменах появляются задания, отражающие "какие-то связи" с реальной жизнью. Ситуация усугубляется тем, что встреча с любыми величинами, напоминающими таковые в учебниках физики, приводит Алису в состояние стойкого оцепенения (ну не получается у неё полюбить физику). Успокаивающими поначалу казались слова учителя математики, что уже сейчас она может решить не менее 50% задач из итогового задания для выпускников 11 классов. Просмотрев задания первой части ЕГЭ для выпускников 11 класса, Алиса сразу узнала своего "противника" - задание В10. Алисе нельзя отказать в здравом смысле, но даже ей показалось сложным оценить величие и различие слов "доход", "прибыль", "выручка", мелькающих в текстовых задачах. Но ведь встречаются в этих задачах и худшие монстры: брошенные камни, перегревающиеся приборы, законы излучения звезд. Просмотрев учебник математики, который с таким трудом удалось заказать на класс в этом году, Алиса поняла, что "дело - веники". Она боится изотерм, а в учебнике обсуждаются изокванты (наверное, это их исследование уже на квантовом уровне), слава богу, в географии удалось пройти изобары, но впереди маячат изокосты: К счастью, Алиса - неисправимая оптимистка. И как у любого оптимиста у неё много друзей. И почему бы не сосредоточить их интеллектуальные ресурсы во времени и пространстве, на выработку поначалу подхода к этой мини ситуации: как одолеть задание В10? Может кто-то уже его победил? Может у кого-то есть верный способ, как обойти проблему? И как понять, нужно ли ей вообще волноваться по данному поводу?

Для успеха надо детально изучить будущего противника. Как выяснилось, не во всех вузах, которые присмотрели для будущего Алисы родственники, ограничиваются сдачей ЕГЭ: на экономические специальности в них проводится дополнительный экзамен по математике. И кто знает, что будет в стране через три года введено для выпускников?

Выбрали тогда родители заведение экономического профиля, рейтинг которого в нашей стране зашкаливает - ВШЭ, и чтобы оценить требования к подготовке отобрали три задачи из 30 заданий, которые предлагалось абитуриентам решить за 1,5 часа. Каждая из них была последней, самой трудной в наборе. К чести авторов, упомянем, что их интересовал только правильный ответ, без утомительных подробностей. Есть ли у этих вузовских заданий общие черты с заданиями ЕГЭ?

Итак - цель полезного использования нашего мини-кейса: разработать рекомендации к системе подготовки к решению подобных задач и убедить Алису в преимуществах выбранной методики. А, может быть, в процессе достижения данной цели удастся её переосмыслить и заменить другими, более значащими.

Хочу отметить, что предложение учащимся для изучения именно задания В10 было обусловлено несколькими причинами. Одной из них явился невысокий процент решивших задания этого типа на диагностических работах для 10 и 11 классов. Второй причиной стала принципиальная доступность заданий В10 уже для учащихся 9 классов. И, конечно же, интересным аспектом для изучения этого задания стали проблемы с интерпретацией физических формул учащимися и отказ по этой причине от решения подобных задач.

Подсказки для аудитории.

Case - технологии - метод ситуационного обучения

Метод CASE STUDIES предполагает:

• подготовленный в письменном виде пример кейса;
• самостоятельное изучение и обсуждение кейса учащимися;
• совместное обсуждение кейса в аудитории под руководством преподавателя;
• следование принципу "процесс обсуждения важнее самого решения".

Предполагаемый временной сценарий.

На работу с данным кейсом отводится 3 занятия. 1 занятие посвящено знакомству с ситуацией и первичному анализу информации. В ходе этого занятия формируется несколько групп из числа учащихся. 2 занятие посвящено обсуждению ситуации в группах и принятию коллективного решения. Предполагается предварительная домашняя обработка информации. 3 занятие посвящается представлению предложений, одобренных в группах и сопоставлению результатов.

Во время проведения первого занятия все его участники имели возможность, ознакомившись с представленными материалами, провести их обсуждение внутри группы, задать вопросы преподавателю и разработать начальный вариант подхода к разрешению проблемы. Группы учащихся формировались случайным образом, что имело как свои плюсы, так и свои минусы. С одной стороны внутри разновозрастных групп могут появиться многогранные решения, с другой стороны сложно организовать равноправное взаимодействие учащихся. Хочется отметить, что второе и третье занятия проходили в гораздо более раскрепощенной обстановке, так как совместное обсуждение и выработка общих подходов сблизили участников.

В ходе работы участникам различных групп было предложено выбрать модераторов ("успокоителей", "усмирителей", "козлов отпущения"). Так интерпретировали роль данных персонажей участники. В двух из 5 групп модераторов не стали ни избирать, ни назначать, разделив ответственность за принятие и представление решений между всеми членами группы. В трех группах, как впоследствии оказалось, функции модераторов оказались различными, например, "серый кардинал" и наиболее бойкий представитель сообщества на презентации проекта предложений.

Проводя занятие, мы хотели, чтобы учащиеся, заинтересовавшись, поближе познакомились с подтипами заданий В10 на примере открытого банка данных, online - тестирования, диагностических работ. Сразу отметим, что все предложенные задания были учащимися опознаны, даже с учетом имеющихся индивидуальных опечаток. Ниже приводятся варианты задач, "вызывавших" затруднения Алисы. В реальных вариантах у учащихся не были указаны источники текстов.

Образцы задач В10 из сборников, рекомендованных ФИПИ в 2011 году.

МИОО 2011 Типовые тестовые задания А.Л. Семенов, И.В. Ященко.

Тренировочная работа 1 Задание В10.

Задача №1. Зависимость объема спроса q(тыс. руб.?) на продукцию предприятия-монополиста от цены p(тыс. руб.) задается формулой q=160-10p. Выручка предприятия за месяц r(в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q*p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 280 тыс.руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Математика Подготовка к ЕГЭ - 2011 под редакцией Ф.Ф. Лысенко.

Вариант 9 Задание В10.

Задача №2. Камень брошен вертикально вверх. Пока камень не упал, высота , на которой он находится, описывается формулой h(t)= -5t²+39t, где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 28 метров.

Математика Подготовка к ЕГЭ - 2011 под редакцией Ф.Ф. Лысенко.

Вариант 11 Задание В10.

Задача №3. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задается выражением T(t) = T₀ +a·t +b·t² , где T₀ = 296 K, a = 5K/мин, b = -1/8 K/мин². Известно, что при нагреве прибора свыше 338 градусов он может выйти из строя, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое время в минутах после начала работы нужно отключать прибор?

А.А. Быков Сборник задач по математике ГУ ВШЭ.

Часть 2 Варианты вступительных испытаний по математике.

Задача №4. Доход нефтяной компании (в у. е.) равен численно произведению квадрата числа геологов на куб числа добытчиков. Наем одного геолога обходится в 4 у. е., одного добытчика - в 27 у. е. Найдите число t, равное отношению числа геологов x к числу добытчиков y, если доход заданной величины получен при наименьшем возможном расходе на наем.

Задача №5.

Предприниматель должен израсходовать 1440 у.е. на наем грузчиков (2 у.е. на каждого) и менеджеров (15 у.е. на каждого), причем ожидаемый доход (в у.е.) равен численно произведению числа грузчиков на квадрат числа менеджеров. Сколько всего сотрудников нужно нанять, чтобы получить максимальный доход?

Задача №6. Расстояние от Парижа до Марселя (по шоссе) равно 77 лье. В Париже квартирует 9000 мушкетеров, в Марселе - 16000. На каком расстоянии (в лье) от Парижа следует расположить винокуренный завод для обслуживания мушкетеров, чтобы минимизировать транспортные издержки, если затраты на перевозку P тонн бургундского на расстояние L лье составляют P·L³ бурбонов?

Оговорюсь, что при презентации найденных подходов к решению задания не предполагалось обсуждения и сравнения решений самих задач, однако, при подготовке к занятиям, участники групп рассмотрели все задачи. Мне представляется, что подходы к их решению могут быть интересны. Они представлены мною на фестиваль "Открытый урок" в отдельной статье.

В ходе работы возникало много вопросов, которые были заданы мною лично при формулировке задания, прозвучали со стороны учащихся, причем, некоторые из них прогнозировались заранее, а другие были для меня неожиданными. Их достаточно полный перечень приведен ниже. Он может быть полезен для оценки, как работы учащихся, так и проведения занятия.

Вспомогательные вопросы:

1. Попробуйте понять, для чего лично Вам может пригодиться сегодняшнее занятие?
2. Есть ли особенности при подготовке к экзамену по математике? Следует ли уделять одинаковое внимание всем учебным предметам или сосредотачиваться на изучении только некоторых?
3. Какие у Вас общие интересы, какие возможные выгоды от вашей совместной работы Вы способны почерпнуть?
4. Вы сами сталкивались когда-либо с подобной проблемой?
5. Воспользовались бы Вы сами подсказками и советами со стороны?
6. А можно ли определить склонность к будущей профессии в 9 классе?
7. Какая информация для нас является ценной, а полезной? Забываем ли мы с течением времени ценную или полезную информацию?
8. Что есть общего в представленных заданиях?
9. Что отличает эту группу заданий от других на выпускных экзаменах?
10. Есть ли такие задачи в наших учебниках?
11. Что хотят проверить составители подобных заданий? Какие наши умения и компетентности предполагается использовать?
12. Надо ли в ходе работы решить сами задания?
13. Можно ли задания так переформулировать, чтобы свести к известным вариантам?
14. Что такое КИМ? Что такое открытый сегмент КИМ? Где найти задания открытого сегмента КИМ?
15. Хватит ли времени решить предварительно все задачи открытого сегмента?
16. Стоит ли это делать?
17. Разве не является задачей школьного учителя подготовить нас к выпускным экзаменам?
18. Что означает находиться на высшей ступени рейтинга? Почему ВШЭ пользуется такой популярностью абитуриентов?
19. Непонимание физики подчеркивается в задании как фатальное условие?
20. Зачем нужна физика экономисту?
21. Какие возможные приемы подарит нам старшая школа для решения задач?
22. Чем отличаются задачи из вариантов ВШЭ от задач, предлагавшихся на ЕГЭ? Можно ли их перевести на стандартный язык школьной математики?
23. А существует ли стандартная школьная математика? Что под ней можно подразумевать?
24. Стоит ли при подготовке пользоваться компьютером как инструментом для получения, представления, обработки информации?
25. Где используется ситуативное обучение?
26. Являются ли задачи с практическим содержанием из практики ЕГЭ отражением реальных ситуаций?
27. В какой мере математическое моделирование отражает реальные ситуации?
28. Как распознать "бантики", развлекающие публику, привлеченную к решению задач и суть самой задачи? Надо убирать "бантики" или они помогают в работе?
29. Можно ли, проанализировав задачу, подготовиться к решению целого набора заданий?
30. Верны ли цитаты преподавателей высшей школы, что в средней школе единственно, что умеют хорошо делать выпускники, так это решать квадратные уравнения?
31. Какая связь между объемом информации и набором умений действовать?
32. Бывают ли ошибки в условиях задач на экзаменах и как поступать в этих случаях?
33. Экстремальные задачи? Их следует решать через производные?
34. Надо ли понимать смысл задания В10, если собираешься - не собираешься стать физиком? Собираешься - не собираешься стать экономистом?
35. Стоит ли задумываться о смысле входящих в уравнения и неравенства величин, если компьютер проверяет лишь численный результат?
36. Могу ли я сам найти информацию в сети Интернет, например, полезные ссылки на on-line тестирование? Все ли они помогут при подготовке к экзаменам?
37. Если это единый экзамен, зачем какая- то другая литература, кроме школьных учебников?
38. Живя в обществе, будучи просто потребителем, ты подходишь к оценке ситуации иначе, чем производители?
39. По предмету экономика нет ЕГЭ. Нужны ли уроки экономики в школе?
40. Для будущих экономистов: учитывают ли Ваши предложения соотношения цена - качество?

К анализу условия Задания 1.

Монополист?

Что выгоднее реализовывать: малый объем по большой цене или большие объемы по малой цене?

Что такое эксклюзивный товар? Может ли в условиях монополии рядовой товар стать эксклюзивным?

Выручка, доход, прибыль?

В реальных обстоятельствах: должно ли предприятие ориентироваться на максимальный объем выручки?

Какими способами можно увеличивать цену товара? Обязательно ли падает спрос с увеличением цены? Примеры?

Насколько усложняется модель, если заменить линейную зависимость между входящими величинами?

Спор, дискуссия, аргументация? Когда они важны?

Анализируете ли вы причины, почему вам хочется соглашаться с той или иной точкой зрения?

Прибегали Вы и считаете ли полезным обращение к психологу при подготовке к экзаменам?

Кто больше переживает по поводу результатов Вашей учебы: Вы или родители?

Используете ли Вы возможности дистанционного обучения?

Знаете ли Вы о возможностях поступления в Вузы через перечень олимпиад и конкурсов, утвержденных Советом ректоров вузов России?

Справляетесь ли Вы с заданиями ЗФТШ?

Видите ли Вы и какие преимущества коллективного и индивидуального обучения?

Хочется отметить, что данная форма проведения занятий была интересна мне, как организатору, и учащимся, как исполнителям "главных ролей". Самостоятельность и свободное изложение подходов участников к разрешению проблем проявились наиболее полно на третьем занятии, которое прошло в форме конкурса презентаций (одна из них приведена в Приложении 1.). К подобному формату защиты своих идей подталкивали участников групп полученные ими в электронной форме материалы, содержащие советы, рекомендации и примеры по подготовке удачных электронных презентаций. Но неожиданной и очень интересной оказалась театральная постановка басни одной из групп, которую по мотивам мини-кейса сочинила талантливая ученица 9 класса Давыдова Наталья. Текст басни можно увидеть в Приложении 2.