Цели:
вывести правила умножения отрицательных
чисел и чисел с разными знаками;
I. Орг. момент.
- Сегодня на уроке давайте попробуем вывести правила умножения рациональных чисел.
II. Устно.
- Какие числа называются натуральными, целыми, рациональными?
- Где вы в жизни встречаетесь с отрицательными и положительными числами?
- Каким числом выражается увеличение величины, а каким уменьшение?
- Используя равенства: а – в = а +(- в) и а – (- в) а + в, а*в + а*с = а(в + с), а также правила сложения рациональных чисел, умножения десятичных дробей, вычислите:
3,7 – 4,8; - 5,2 – 4,7; - 5,6 – (-3,8); 0,3 * 0,6; 0,08 * 10; 15 * 0,01; 2 * 0,3 + 2 * 0,7; - 1,1 + 1,1.
III. Новая тема.
- Выполните умножение (задание, создающее ситуацию успеха).
2 * 3 = 6 (1)
- Докажите.
- Доказательство: 2+2+2=3+3
- Выполните умножение (задание, создающее ситуацию сбоя):
(- 2) * 3 =
(- 3) * 2 =
Дети предполагают, что в результате может быть число либо 6, либо -6 и “изобретают” нужное правило с помощью практических задач (о доходах и расходах, изменение температуры), замечая, что второй множитель – натуральное число, поэтому можно воспользоваться “старым” определением, известным еще из начальной школы:
(-2)*3 есть сумма трех слагаемых, каждое из которых равно (-2). Поэтому
(-2)*3=(-2)+(-2)+(-2)=-6, т.е.
(-2)*3 =-6 (2)
(-3)*2=-6 (3)
- При перестановке множителей произведение (3) не меняется, поэтому сохранится и правило: (-3)*2=-3+(-3)=-6.
Сформулируйте правило.
- Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным знаком знак минус.
Или: Произведение двух чисел разных знаков отрицательно.
Или: “Плюс на минус дает минус”.
Задача – ловушка.
- Выполните умножение (задание, создающее ситуацию сбоя): (- 2) * (-3) =
Дети предполагают, что ответ может быть либо 6, либо -6.
Применить предыдущее доказательство не могут, так как нельзя взять число -2 (-3) сомножителем -3 (-2) раза!
Представляют множитель (-2) в виде двух множителей: -1*2, получают:
(-1*2)*(-3)=-1*(2*(-3))=-1*(-6)=
Аналогично представляют множитель -3 как -1*3, получают:
(-1*3)*(-2)=-1*(3*(-2))=-1*(-6)=
Но все равно предыдущее доказательство применить не могут!
Тогда работая в группах, одни начинают сравнивать знаки у множителей в произведениях ((2), (3)) и (4) и делают вывод, что при изменении знака одного из множителей знак произведения тоже меняется, а его модуль остается тем же.
Другие говорят о том, что если произведение (- 2) * 3 равно -6, то произведение (-2)*(-3)
не может тоже равняться -6, значит будет в результате 6. Поэтому
(-2) * (-3) = 6 (4)
- Это предположения, а как можно вывести правило с более точных математических соображений?
В качестве доказательства используют распределительный закон умножения: при сложении двух чисел -2*3 и -2*(-3) в результате получается ноль, то есть данные числа противоположные, значит произведение двух чисел оказывается положительным!
(-2*(-3) + (-2)*3 = (-2)*(-3+3) = -2*0=0).
Выводят следующее правило: Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули.
Или: Произведение двух чисел одного знака положительно.
Или: “Минус на минус дает плюс”.
- А теперь давайте посмотрим по учебнику, как объяснил это правило в XVIII веке великий русский ученый Леонард Эйлер. (Ясно, что (-2)*3 = -6. Поэтому произведение (-2)*(-3) не может быть равно -6. Однако оно должно быть как-то связано с числом 6. Остается одна возможность: (-2)*(-3)=6).
- Теперь мы себя можем тоже считать маленькими учеными!
IV. Закрепление изученного материала.
№ 515.
8 * (-0,7) = - 5,6; - 0,5 * 40 = - 20; - 0,1 * (- 0,3) = 0,03;
- 0,125 * (-6,4) = 0,8; 2,4 * (-4 1/6) = - 10; - 9/28 * (-2 4/5) = 9/10;
6/7 *(-9 1/3) =- 8; -1 * 3,2 = - 3,2.
Решая примеры, замечают, что лучше вначале найти знак, а потом уже найти модуль произведения и пытаются составить схему (алгоритм) умножения рациональных чисел:
- Правила умножения можно истолковать и таким образом:
“Друг моего друга – мой друг”: + * + = +
“Враг моего врага – мой друг”: - * - = +
“Друг моего врага – мой враг”: + * - = -
“Враг моего друга – мой враг”: - * + = -
V. Подведение итогов урока.
- Сформулируйте правило умножения двух чисел с разными знаками.
- Как перемножаются два отрицательных числа?