Графики функций у=ах²+n и у=а(х-m)². 9-й класс

(Приложение 1. Слайд 1)

Цели урока: ( Слайд 2)

• расширить сведения о свойствах квадратичной функции;
• ознакомить учащихся с графиками частных видов квадратичной функции – функций у = ах² + b, y = a (x – m)²;
• научить строить графики квадратичной функции.

Оборудование: компьютер.

1. Проверка домашнего задания (разбор нерешенных задач, если они есть).
2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Приведите основные свойства и график функции у = ах² при а > 0.

Постройте график функции:
а) y = – 2x²;

б)

Приведите основные свойства и график функции у = ах² при а < 0.

Постройте график функции:

а) у = х²;

б) .

Учитель: На предыдущем уроке мы рассмотрели два важнейших преобразования графика функции y = f(x).

1. График функции y = – f(x) получается из графика функции y = f(x) с помощью симметрии относительно оси абсцисс.

2. График функции y = аf(x) получается из графика функции y = f(x) растяжением вдоль оси ординат в а раз при а > 1 и сжатием в раз при
0 < а < 1.

Эти преобразования пригодны для любых функций.

Рассмотрим еще два важнейших преобразования графика функции y = f(x) + n и y = f(x – m).

3. График функции y = f(x) + n получается из графика функции y = f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат на |n| единиц: вверх при n > 0 и вниз при n < 0.

Построим график функции у = х² + 1.

В соответствии с приведенным алгоритмом график функции у = х² + 1 получается из графика функции у = х² параллельным переносом вдоль оси ординат на 1 единицу вверх, т.к. n = 1 >0. (Слайд 3.)

Построим график функции у = х² – 2.

В соответствии с приведенным алгоритмом график функции у = х² – 2 получается из графика функции у = х² параллельным переносом вдоль оси ординат на 2 единицы вниз, т.к. n = –2 < 0. (Слайд 4.)

4. График функции y = f(x – m) получается из графика функции y = f(х) с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс на |m| единиц: вправо при m > 0 и влево при m < 0.

Построим график функции у = (х – 3)².

В соответствии с изложенным алгоритмом график функции у = (х – 3)² получается из графика функции у = х² параллельным переносом вдоль оси абсцисс на 3 единицы вправо, т.к. m = 3 > 0

(Слайд 5.)

Построим график функции у = (х + 3)².

Запишем функцию в виде у = (х – (– 3))². Тогда в соответствии с изложенным ранее алгоритмом график функции у = (х + 3)² получается из графика функции у = х² параллельным переносом вдоль оси абсцисс на 3 единицы влево, т.к. m = – 3 < 0. (Слайд 6.)

5. Полученные выводы позволяют понять, что представляет собой график функции

у = а(х – m)² + n . Рассмотрим, например, функцию

Построить график функции у = (х – 3)² +1.

Ее график можно получить из графика функции у = х² с помощью двух параллельных переносов – сдвига параболы на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. (Слайд 7.)

Построить график функции у = (х + 3)² – 2.

Ее график можно получить из графика функции у = х² с помощью двух параллельных переносов – сдвига параболы на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз.

(Слайд 8.)

IV. Вывод

Учитель. График функции у = а(х – m)² + n является параболой, которую можно получить из графика функции у = ах² с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси х на т единиц вправо, если m > 0, или на – т единиц влево, если m < 0, и сдвига вдоль оси у на n единиц вверх, если n >0, или на – n единиц вниз, если n < 0.

Полученные нами выводы о преобразовании графиков применимы к любым функциям.

– График функции y = f(x) + n можно получить из графика функции y = f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси у на п единиц вверх, если n >0, или на – n единиц вниз, если n < 0.

– График функции y = f(x – т) можно получить из графика функции y = f(x) с помощью параллельного переноса вдоль оси х на т единиц вправо, если m > 0, или на – т единиц влево, если m < 0.

– График функции y = f(x – т) + п можно получить из графика функции y = f(x) с помощью двух соответствующих параллельных переносов.

Решить на уроке:

№ 106 (а,в), № 107 (а),
№ 109 (а,в,д) – устно,
№ 110 (б,в), № 114
№ 116 (а,в) – устно

Упражнения на повторение: № 117 (а), № 118 (а)

1. Как из графика функции у = ах² можно получить у = ах² + n? (Слайд 9.)

– График функции у = ах² + n является параболой, которую можно получить из графика функции у = ах² с помощью параллельного переноса вдоль оси у на п единиц вверх, если n >0, или на – n единиц вниз, если n < 0.

2. Как из графика функции у = ах² можно получить у = а(х – т)² ? (Слайд 10.)

– График функции у = а(х – т)² является параболой, которую можно получить из графика функции у = ах² с помощью параллельного переноса вдоль оси х на т единиц вправо, если m > 0, или на – т единиц влево, если m < 0.

3. Как из графика функции у = ах² можно получить у = а(х – m)² + n?

(Приложение. Слайд 11.)

– График функции у = а(х – m)² + n является параболой, которую можно получить из графика функции у = ах² с помощью двух параллельных переносов: сдвига вдоль оси х на т единиц вправо, если m > 0, или на – т единиц влево, если m < 0, и сдвига вдоль оси у на n единиц вверх, если n >0, или на – n единиц вниз, если n < 0.

VII. Домашнее задание (Слайд 12.) п. 6, № 106 (б, г), № 107 (б), № 110 (а, г), № 117 (б).