Решение уравнений, содержащих знак модуля, методом промежутков

Цели урока:  научить применять для решения уравнений, содержащих несколько знаков модуля, метод промежутков.

Тип урока: комбинированный с использованием ИКТ.

Оборудование: доска, мел, ТСО.

Ход урока

Слайд №1.

Вопросы для повторения темы “Модуль”, “Решение уравнений с модулем”.

• Происхождение слова “модуль”
• Дать определение модуля: алгебраическую и геометрическую его интерпретацию.
• Перечислить известные методы решения уравнений, содержащих знак абсолютной величины.

Слайд № 2.

Ответы на вопросы к слайду № 1.

1.Слово “модуль” произошло от латинского слова “modulus”, что в переводе означает “мера”. Это многозначное слово, которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках.

2.1. Определение (алгебраическое).Модуль числа а или абсолютная величина числа а равна а, если а больше или равно нулю и равна -а, если а меньше нуля:

Из определения следует, что для любого действительного числа а, |а|>=0.

2.2. Определение (геометрическое). Модуль – абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой. Любое число можно изобразить точкой на координатной прямой. Расстояние этой точкой от начала отсчёта на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом отсчёта числовой прямой.

3. а) Если f(х) проще, чем g(х), то уравнение | f(х)| = g(х) принимает вид

| f(х) > 0
| f(х) = g(х)
|f(х)| = g(х) == > | f(х) < 0
| f(х) = – g(х).

При этом не надо решать неравенства, а надо только подставить в них полученные решения соответствующих уравнений.

Можно поступить и так: решить совокупность уравнений

| f(х) = g(х)
| f(х) = – g(х), а затем просто сделать проверку.

3. б) Если g(х) проще, чем f(х), то уравнение | f(х)| = g(х) решается так:

g(х) > 0
| f(х) = g(х)
|f(х)| = g(х) == > | f(х) = – g(х).

Учитель. Если левая часть уравнения F(х)=0 содержит модули некоторых функций, то для решения таких уравнений обычно применяют метод промежутков, суть которого заключается в следующем. По определенным соображениям координатная ось разбивается на некоторое количество промежутков, а затем на каждом из них исследуется рассматриваемая задача.

Запишем алгоритм решения уравнений, содержащих несколько модулей, затем на примере его применим.

1. Найти нули подмодульных выражений, то есть выражения в каждом модуле приравнять к нулю; решить каждое уравнение.
2. Отметить корни каждого уравнения на координатной оси. Таким образом, вся координатная ось разбивается на некоторое число промежутков ( каждый из концов промежутков включают в один из двух соседних промежутков).
3. Решать исходное уравнение в каждом промежутке, раскрывая все модули в уравнении для данного промежутка.
4. На каждом промежутке отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается, и затем отбираются те из них, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке.
5. Объединить все корни, найденные на промежутках: они и есть корни исходного уравнения F(х)=0.

Решим уравнение | Х – 1| + | Х – 2| + | Х – 3| = 6 , используя данный алгоритм.

1. Найдем нули подмодульных выражений.

Х – 1=0,	Х – 2 = 0,	Х – 3 = 0
Х = 1,	х = 2,	х =3.

2. Отметим нули подмодульных выражений на координатной оси, разделив его на промежутки.

Получилось 4 промежутка: а) (- ; 1] б) (1; 2 ] в) (2; 3 ] г) (3; + ).

3. 4. Решим исходное уравнение на каждом из промежутков, раскрывая модули для данного промежутка.

а)( -; 1] | х – 1| = – (х – 1) ; |х – 2| = – (х – 2) | Х – 3| = – (х – 3 ). На данном промежутке

уравнение | х – 1| + | х – 2| + |х – 3| = 6 равносильно уравнению – (х – 1) – (х – 2) – (х – 3) = 6. Решая это уравнение, получаем корень: х = 0. Этот корень принадлежит промежутку а)( – ; 1], следовательно на рассматриваемом промежутке исходное уравнение имеет единственный корень х = 0.

б) (1; 2] |х – 1| = х – 1; |х – 2| = – (х – 2) |х – 3| = – (х – 3). На данном промежутке

уравнение |х – 1| + |х – 2| + |х – 3| = 6 равносильно уравнению х – 1 – (х – 2) – (х – 3) = 6. Решая это уравнение, получаем корень: х = -2. Этот корень не принадлежит промежутку б) (1; 2] следовательно, на рассматриваемом промежутке исходное уравнение не имеет корней.

в) (2; 3] | х – 1| = х – 1 ; | х – 2| = х – 2 | х – 3| = -(х – 3). На данном промежутке

уравнение | Х – 1| + | Х – 2| + | Х – 3| = 6 равносильно уравнению Х – 1 + Х – 2 – ( Х – 3 ) = 6. Решая это уравнение, получаем корень: х = 6. Этот корень не принадлежит промежутку в) ( 2; 3] следовательно, на рассматриваемом промежутке исходное уравнение не имеет корней.

г) ( 3; + ] | Х – 1| = Х – 1; | Х – 2| = Х – 2 | Х – 3| = Х – 3 . На данном промежутке

уравнение | Х – 1| + | Х – 2| + | Х – 3| = 6 равносильно уравнению Х – 1 + Х – 2 + Х – 3 = 6. Решая это уравнение , получаем корень: х = 4 Этот корень принадлежит промежутку г) (3; + ), следовательно на рассматриваемом промежутке исходное уравнение имеет единственный корень х= 4.

4. Таким образом, исходное уравнение | Х – 1| + | Х – 2| + | Х – 3| = 6 имеет два корня: х = 0 и х = 4.

Ответ: 0 ; 4.

Учитель. (к доске вызывает сильного ученика для решения уравнения ).

Решим еще одно уравнение с помощью образца, но решать будет один из учеников на основной доске с подробным комментированием. Класс будет помогать и записывать решение в тетради с нами вместе.

1. |Х – 3| + |х + 3| = 8

(ученик решает на доске с комментированием и оформлением поэтапно).

Учитель подводит итоги решения ученика и вызывает еще одного менее сильного для решения другого уравнения.

(ученик решает на доске с комментированием и оформлением поэтапно).

2.| Х – 6| – |х + 6| = 8

3. Уравнение | Х– 10| – |х + 10| = 2 класс решает самостоятельно по образцам на доске, затем учитель показывает верное решение на экране.

Слайд № 4.

Решите уравнение | Х – 10| – |х + 10| = 2

1.Найдем нули подмодульных выражений: х – 10 =0 и х + 10 = 0

Х = 10 и х = -10.

2. Отметим нули подмодульных выражений на координатной оси, разделив его на промежутки. Получается три промежутка: а) (– ; – 10 ] и б) (-10; 10 ] в) ( 10; +).
3. 4. Решим исходное уравнение на каждом из промежутков, раскрывая модули для данного промежутка.

а) (-; – 10 ] | Х– 10| =-(Х – 10) и |х + 10|= – (х + 10)

уравнение | Х– 10| – | х + 10| = 2 равносильно уравнению –(Х – 10) + (х + 10) =2.

Данное уравнение не имеет корней, следовательно, на рассматриваемом промежутке исходное уравнение не имеет корней.

б) (-10; 10 ] | Х– 10| =-(Х – 10) и |х + 10|= х + 10

уравнение | Х– 10| – | х + 10| = 2 равносильно уравнению –(Х – 10) – (х + 10) =2.

Корень этого уравнения х= 1 Этот корень принадлежит промежутку б) ( – 10; 10] следовательно, на рассматриваемом промежутке исходное уравнение имеет корень х=1

в) (10; +). | Х– 10| = Х – 10 и |х + 10|= х + 10

уравнение | Х– 10| – | х + 10| = 2 равносильно уравнению (Х – 10) – (х + 10) =2.

Данное уравнение не имеет корней, следовательно, на рассматриваемом промежутке исходное уравнение не имеет корней.

5. Объединить все корни, найденные на промежутках: они и есть корни исходного уравнения: х=1 Ответ: х = 1.

Подведение итогов урока.

На данном уроке научились решать уравнения с несколькими модулями методом промежутков.

Домашнее задание: решить уравнение |х + 1| + |х – 3| + | х – 5| = 7.