Справочный материал
Понятия
- Разносторонний треугольник – все стороны разной длины.
- Равнобедренный треугольник – две стороны равны (равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием)
- Равносторонний треугольник (правильный) – все стороны равны.
- Прямоугольный треугольник – один угол прямой(стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу – гипотенузой).
Тупоугольный треугольник – один угол тупой. - Остроугольный треугольник – все углы острые.
- Внешний угол треугольника при данной вершине – угол, смежный с его внутренним углом при этой вершине.
- Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
- Биссектриса треугольника – отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой на противолежащей стороне и делит внутренний угол пополам.
- Высота треугольника – перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника.
- Средняя линия треугольника – отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
- Периметр треугольника – сумма всех сторон треугольника.
Свойства треугольника
В любом треугольнике
- Сумма углов треугольника равна 180°.
- Средняя линия параллельна одной из сторон треугольника и равна ее половине.
- Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к ней.
В равнобедренном треугольнике
- Углы при основании равны.
- Медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.
В равностороннем треугольнике
- Все углы равны.
В прямоугольном треугольнике
- Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
- Площадь равна половине произведения катетов.
- Высота равна отношению произведения катетов на гипотенузу.
- Сумма острых углов равна 900.
Задачи
-
Периметр треугольника равен 36 см, стороны относятся, как 2:3:4. Найти его стороны.
-
Периметр треугольника равен 39 см, стороны относятся, как 0,5: :. Найти его стороны.
-
Периметр равнобедренного треугольника равен 42 см, боковая сторона составляет периметра. Найти основание треугольника.
-
Периметр равнобедренного треугольника равен 95 см, основание составляет 40 % периметра. Найти боковую сторону треугольника.
-
Сумма основания и боковой стороны равнобедренного треугольника равна 1,4 м. Боковая сторона составляет основания. Найти периметр треугольника.
-
Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см, боковая сторона больше основания на 4 см. Найти стороны треугольника.
-
Отрезок АС – общее основание равностороннего треугольника АВС и равнобедренного треугольника ADC. Периметр треугольника АВС равен 36 см, периметр треугольника ADC – 40 см. Найти стороны этих треугольников.
-
Боковая сторона АВ равнобедренного треугольника АВС служит стороной равностороннего треугольника ABD. Зная, что периметр треугольника АВС равен 42 см и основание- 12 см, найти периметр треугольника ABD.
-
Основание равнобедренного треугольника равно 8 см; медиана, проведенная из вершины основания, делит его периметр на две части, одна из которых больше другой на 2 см. Найти боковую сторону треугольника.
-
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 12мм; медиана, проведенная к боковой стороне треугольника, делит его периметр на две части, одна из которых меньше другой на 3 мм. Найти основание треугольника.
-
Углы треугольника относятся, как 2:3:4. Найти углы треугольника и определить его вид.
-
Углы треугольника относятся, как 0,3 : :. Найти углы треугольника и определить его вид.
-
Один острый угол прямоугольного треугольника составляет другого острого угла. Найти эти углы.
-
Один острый угол прямоугольного треугольника больше другого в 1 раза. Найти эти углы.
-
Один острый угол прямоугольного треугольника больше другого на 320. Найти эти углы.
-
Один острый угол прямоугольного треугольника меньше другого на 250. Найти эти углы.
-
Доказать, что если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то и третьи углы их равны между собой.
-
Доказать, что 1+ 2= 3+ 4.
-
Доказать, что 1 – 2= 3 – 4.
-
В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка D так, что DАС=АВС. Доказать, что ADC=ВАС.
-
В треугольнике АВС биссектрисы внутренних углов В и С пересекаются под углом в 128°. Найти угол А.
-
В треугольнике биссектрисы двух углов пересеклись под углом 140°. Какой это треугольник?
-
Внешний угол треугольника равен 92°24', внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 2:5. Найти эти углы.
-
В треугольнике внешний угол равен 43°, один из внутренних углов, не смежных с ним, составляет другого. Найти эти углы.
-
В треугольнике внешний угол равен 112°30', из внутренних углов, не смежных с ним, один больше другого на 37°12'. Найти эти углы.
-
Один из углов треугольника меньше другого на 5°42', а внешний угол, не смежный с ним, равен 17°38'. Найти эти углы.
-
Доказать, что сумма трех внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, равен 360°.
-
Сумма угла при основании равнобедренного треугольника с углом при вершине равна 123°12'. Найти углы треугольника.
-
Угол при основании равнобедренного треугольника на 25°30' больше угла при вершине. Найти углы треугольника.
-
Угол при вершине равнобедренного треугольника в 3 раза больше угла при его основании. Найти углы треугольника.
-
Угол при основании равнобедренного треугольника равен 0,4 угла при вершине. Найти углы треугольника.
-
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 51°. Найти угол между основанием и высотой, проведенной к боковой стороне.
-
В равнобедренном треугольнике угол между основанием и высотой, проведенной к боковой стороне, равен 37°40'. Найти углы равнобедренного треугольника.
-
Доказать, что внешний угол при вершине равнобедренного треугольника в два раза больше внутреннего угла при основании.
-
Найти угол х:
1) по рисунку
2) по рисунку
-
Какой треугольник надо взять, чтобы после проведения в нем одного отрезка получить все известные виды треугольников: разносторонний, равнобедренный, равносторонний, прямоугольный, остроугольный, тупоугольный?
-
Из листа бумаги вырезали произвольный треугольник. Можно ли так загнуть три его угла, чтобы оставшаяся часть треугольника оказалась накрытой без просветов и наложений?
-
Разрежьте треугольник на два треугольника, четырехугольник и пятиугольник, проведя две прямые линии.
-
Можно ли разделить равносторонний треугольник на 1998 равносторонних треугольников? Если да, то как? Если нет, то почему?
-
У звезды ACEBD равны углы при вершинах А и В, углы при вершинах Е и С, а также длины отрезков АС и ВЕ. Докажите, что AD=BD.
-
На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС взяты соответственно точки D, E, F так, что AD=BE=CF. Каков вид треугольника DEF? Докажите.
-
Какие треугольники можно разрезать на два равнобедренных треугольника?
-
На стороне АВ правильного треугольника АВС взяли точку М и на отрезке МС по ту же сторону от него, что и точка В, построили правильный треугольник МКС. Докажите, что АС и ВК параллельны.
-
Каждая сторона одного треугольника больше каждой стороны другого треугольника. Верно ли, что площадь первого обязательно больше площади второго?
-
Деревни А, В и С расположены в вершинах треугольника. Водонапорная башня находится внутри треугольника, причем известно, что она равноудалена от деревень А и В и находится ближе к деревне С, чем к деревне В. Укажи, где может находиться башня?
-
Через точку В проведены четыре прямые так, что АВ ВD, ВЕВС , и проведена прямая АС, пересекающая данные прямые так, что АВ= ВС. АС пересекает ВD в точке D, АС пересекает ВЕ в точке Е. Докажите, что ∆ АВС = ∆ ВСD.
-
Существуют два таких равнобедренных треугольника, из которых можно составить:
1) квадрат;
2) прямоугольник, но не квадрат;
3) ромб;
4) трапецию;
5) четырехугольник (не параллелограмм и не трапецию), имеющий ось симметрии. -
О данном треугольнике высказаны такие утверждения:
A. Этот треугольник – тупоугольный.
B. Центр его описанной окружности лежит вне его.
C. Одна из медиан меньше половины стороны, к которой она проведена.
Верны такие следования:
1) (A)→ (B);
2) (B) → (A);
3) (C) → (A);
4) (C) → (B);
5) если не B и не C, то не A.
Р.S.:
- Задачи 36-48 решать по выбору на дополнительную оценку.
- Составить кроссворд на тему «Треугольник» или сочинить сказку о треугольниках. Работу представить в электронном и распечатанном виде.