Модульное занятие "Определение производной"

Разделы: Математика

Класс: 10

Цели и задачи:

1. Усвоить:

  • определение производной, ее обозначение;
  • физический и геометрический смысл производной.

2. Научится:

  • применять алгоритм отыскания производной для функции f(х);
  • по графику определять дифференцируема ли функция.

Необходимые знания:

  1. Физический смысл производной.
  2. Геометрический смысл производной.
  3. Производная с точки зрения приближенных равенств.
  4. Дифференцируемая функция.

Необходимые умения:

  1. Читать и записывать производные функций.
  2. Вычислять производные элементарных функций, применяя правила вычисления производных (важно знать при решении экономических, физических и химических задач).
  3. Применять физический и геометрический смысл производной при решении задач.
  4. Определять по графику функции ее дифференцируемость.

Ход урока

1. Входной контроль.

1.1. Цель: проверить умения:

  • вычисления предела функции на бесконечности и в точке,
  • вычисления приращения функции и приращения аргумента.

Запишите дату и тему урока.

1.2. Выполните самостоятельно задания входного контроля.

Вариант 1

1. Вычислите: а) ; б) . (2 балла)

2. Вычислите: а) ; б) . (2 балла)

3. Найдите приращение функции у = 2х –3 при переходе от точки х0 = 3 к точке х1, если: а) х1 = 3,2; б) х1 = 2,9. (2 балла)

Вариант 2

1. Вычислите: а) ; б) . (2 балла)

2. Вычислите: а) ; б) . (2 балла)

3. Найдите приращение функции у = 2х –3 при переходе от точки х0 = 3 к точке х1, если: а) х1 = 3,5; б) х1 = 2,5. (2 балла)

Работайте в тетрадях. После выполнения работы, проверьте свои результаты по контрольному листу (см. Приложение 1). Если вы набрали 4 и более балла переходите к следующему учебному элементу. Если нет, проанализируйте свои ошибки. Полученный результат занесите в оценочный лист (см. Приложение 2).

2. Теоретическая часть.

2.1. Цель: усвоить понятие производная, ее физический и геометрический смысл, познакомиться с понятием производной с точки зрения приближенного равенства.

Работайте с учебником.

  1. Прочитайте задачи, приводящие к понятию производной. Кратко оформите эти задачи в тетради (стр. 158-161).
  2. Изучите и запишите определение производной, и запомните ее обозначение (стр. 161).
  3. Изучите и зафиксируйте в тетрадях физический и геометрический смысл производной (стр. 162).
  4. Изучите и запишите понятие производной с точки зрения приближенных равенств (стр. 163).

Практическая часть.

2.2. Цель: закрепить изученный материал на практике.

2.3. Выполните задания из учебника:

  • письменно № 715 (а, б), № 722(а, б);
  • устно № 716;
  • письменно № 718 (а, б), №725.

Указания. Для того чтобы выполнить №725, вам необходимо познакомиться с некоторым свойством производной: Если на промежутке функция убывает, то производная этой функции принимает отрицательное значение, если же функция возрастает, то положительное значение. Запишите в тетрадь.

Если при выполнении заданий у Вас возникнут вопросы, можете обратиться за помощью к учителю. Проверьте свои ответы с контрольным листом, проведите анализ ошибок. Отметьте в оценочном листе, что у вас вызвало затруднение, что не получилось.

2.4. Промежуточный контроль.

Цель: проверить умения:

  • находить мгновенную скорость движения точки;
  • находить среднюю скорость движения точки;
  • находить скорость изменения функции в указанной точке;
  • сравнивать значения производных по графику.

Выполните самостоятельно задания:

Вариант 1   Вариант 2
№ 715 (в) (1 балл)

№ 722 (в) (1 балл)

№ 718 (в) (1 балл)

№ 724 (а) (2 балла)

   № 715 (г) (1 балл)

№ 722 (г) (1 балл)

№ 718 (г) (1 балл)

№ 724 (б) (2 балла)

После выполнения работы, проверьте по контрольному листу. Если вы набрали 3 и более баллов переходите к следующему УЭ. Внесите баллы в оценочный лист.

3. Теоретическая часть.

3.1. Цель: по результатам работы над учебным элементом вы должны: усвоить алгоритм отыскания производной функции, изучить условие дифференцируемости функции в точке, научиться по графику определять дифференцируемость функции.

Работайте с учебником.

  1. Изучите и запишите алгоритм отыскания производной (стр. 163).
  2. Разберите примеры 1 и 2, оформите их в тетради (стр. 163-164).
  3. Изучите и запишите в тетрадь в условие дифференцируемости функции в точке, выясните, что такое дифференцирование функции (стр. 164).
  4. Изучите взаимосвязь непрерывности и дифференцируемости функции в точке (стр. 164).
  5. Изучите и запишите, как по графику функции определять дифференцируемость функции (стр. 164-165).

Практическая часть.

3.2. Цель: применить полученные знания на практике.

3.3. Выполните задания в тетради.

  1. Найдите производные функций: а) у = х3, б) у = , в) у = 3 – 2х, г) у = .
  2. Найдите среднюю скорость изменения функции у = х2 – 6 при изменении х от х1 = 3 до х2 = 3,5.
  3. № 720 (а, б)
  4. Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции через точки с абсциссами х1, х2, х3, х4 (если касательная существует). Какой угол (острый или тупой) образует эта касательная с осью абсцисс? В окрестности, каких точек графика функция дифференцируема?

Если при выполнении у вас возникнут вопросы, обратитесь за помощью к учителю. Проверьте результаты по контрольному листу.

3.4. Промежуточный контроль.

Цель: проверить умения:

  • определять по графику дифференцируемость функции;
  • находить производные функций в точке, применяя определение производной.

Выполните самостоятельно задания.

Вариант 1

1. Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции через точки с абсциссами х1, х2, х3, х4 (если касательная существует). Какой угол (острый или тупой) образует эта касательная с осью абсцисс? В окрестности, каких точек графика функция дифференцируема? (2 балла)

Пользуясь определением производной, найдите производную функции в точке х, если: а) f(х) = 4 –7х, б) f(х) = . (3 балла)

Вариант 2

1. Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции через точки с абсциссами х1, х2, х3, х4 (если касательная существует). Какой угол (острый или тупой) образует эта касательная с осью абсцисс? В окрестности, каких точек графика функция дифференцируема? (2 балла)

Пользуясь определением производной, найдите производную функции в точке х, если: а) f (х) = 5 –6х, б) f (х) = . (3 балла).

После выполнения заданий, проверьте полученные результаты по контрольному листу, если вы набрали 3 и более балла переходите к следующему учебному элементу. Внесите баллы в оценочный лист.

4. Обобщение и систематизация знаний.

4.1. Цель: повторить теоретический материал, изученный в ходе работы над модулем.

Поучаствуйте в беседе о производной. Обсудите с классом весь теоретический материал сегодняшнего занятия.

Послушайте рассказ учителя о производной в физике, в экономике.

5. Выходной контроль.

5.1. Цель: проверить умения:

  • находить мгновенную скорость движения в точке;
  • находить скорость изменения функции в указанной точке;
  • вычислять производные функций по алгоритму;
  • определять по графику дифференцируемость функции в точке.

5.2. Выполните самостоятельно задания.

Вариант 1

Задания базового уровня.

1. №723 (б) (1 балл)

2. № 719 (а) (1 балл)

3. Найдите производные функций и вычислите ее значение в точке х0:

а) у = , х0 = –3;

б) у = х3 + 1, х0 = 5;

в) у = , х0 = 7. (3 балла)

Задания повышенного уровня.

4. Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции через точки с абсциссами х1, х2, х3, х4 (если касательная существует). Какой угол (острый или тупой) образует эта касательная с осью абсцисс? В окрестности, каких точек графика функция дифференцируема? (2 балла)

5. Найдите производные функций: у = . (3 балла)

Вариант 2

Задания базового уровня.

1. №723 (г) (1 балл)

2. № 719 (в) (1 балл)

3. Найдите производные функций и вычислите ее значение в точке х0: 

а) у = , х0 = –3;

б) у = х3 + 5, х0 = 5;

в) у = , х0 = 7. (3 балла)

Задания повышенного уровня.

4. Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции через точки с абсциссами х1, х2, х3, х4 (если касательная существует). Какой угол (острый или тупой) образует эта касательная с осью абсцисс? В окрестности, каких точек графика функция дифференцируема? (2 балла)

5. Найдите производные функций: у = . (3 балла)

После выполнения заданий, проверьте полученные результаты по контрольному листу, если вы набрали 5 и более баллов переходите к следующему учебному элементу. Внесите баллы в оценочный лист.

6. Рефлексия.

6.1. Цель: подведение итогов.

Посчитайте по оценочному листу количество набранных вами баллов, если вы набрали:

  • от 15-17 баллов, то ваша оценка «3».
  • от 18-21 баллов – «4».
  • от 22-26 баллов – «5».

6.2. Ответьте на вопросы анкеты в оценочных листах.

  1. Прочитайте еще раз цели и задачи модуля. Какие из них вам удалось достичь, а какие нет?
  2. Что интереснее: самому открывать новые знания или слушать объяснения учителя?
  3. Было ли у вас время на уроке на посторонние занятия?
  4. Хотелось бы вам чаще проводить уроки самообучения?

6.3. Запишите задание на дом.

Найдите производные функций:

а) у = х,

б) у = х2 + 2х,

в) у = ,

г) у = .

№723, №726, №727.

Спасибо за работу!