Квадратный корень из произведения и частного. 8-й класс

I. Мотивационный момент

Цель – настроить ребят на мыслительную деятельность, сосредоточить их внимание на усвоение действий с корнями, особое внимание обратить на условия, которые должны выполняться для существования формул; создать условия для дружеского диалога (учитель – ученик), (ученик – ученик).

II. Записывается в тетради выражение . Предлагается сократить эту дробь.

Ребята знают, что при    и что , и поэтому интуитивно приходят к такому решению:

.

III. Выписываются главные моменты решения:

a) ;    б);     в).

Всегда ли эти равенства верны? Истинность равенств б) и в) подсказала интуиция, но это еще надо доказать.

IV. Доказывается, что  при .

а) Выделите основные моменты доказательства:

1.  Подкоренное выражение неотрицательно.
2. Правая часть неотрицательна.
3. Квадрат правой части равен подкоренному выражению, стоящему в левой части.
б) Проведите это доказательство про себя.
в) Проведите это доказательство вслух соседу по парте.
г) Сформулируйте словами то, что доказали (корень из квадрата неотрицательного числа равен произведению корней из этого числа, а так как , то корень из произведения двух одинаковых неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел).
д) Прочитайте последнюю фразу и подумайте, верно ли аналогичное утверждение для разных множителей: , , .

Учащиеся записывают в тетрадь и доказывают.

V.

В тетради записывается пример, опровергающий утверждение: корень из произведения двух чисел равен произведению корней из этих чисел .
А как же поправить его, чтобы оно стало верным?

.

Учащиеся делают обобщения:

1. , если , ;
2. , если а и b одного знака.

VI.

Итак, доказано, что при ,         (*)
Но по аналогии с истинностью этого равенства можно предположить, что верно и такое равенство:    (**)

VII.

а) Вопрос: кто возьмется доказать равенство (**)?
б) Вводим ограничения:  ,  ,  .
в) Предлагается придумать способ доказательства, при котором используется равенство (*)  .

VIII. Рассматриваются еще раз  последовательно доказанные на уроке равенства:

1. ,  .
2.   ,  .
3.  ,  ,  .

Подводится итог: извлечение корня из произведения сначала распространили на случай, когда подкоренное выражение есть произведение двух не обязательно равных неотрицательных множителей, а затем и на случай трех различных неотрицательных множителей.
Предлагается сделать еще обобщение (это свойство распространяется на корни третьей, четвертой, n-й степени из произведения m чисел).

IX. Устно:

1. ;        2)   ;         3)   .

Каким теоретическим предложением вы здесь пользовались? (  ,   )
Как это доказать?

X. Определите, верны ли равенства, и если верны, то при каком условии:

а)   ;    б)   ;
в)   .

XI. Теперь докажем, что   >0, но сначала докажем более общее утверждение:  , если  ,  > 0.

XII. Это равенство доказывается традиционным способом, затем учитель предлагает такое доказательство:

 можно записать так:  , но .
Равенство  оказалось недоказанным. Учащиеся должны заметить это и доказать его: , так как .

XIII. На обложке тетради записывается:

   ;             ,
 ,  >0,                         .

XIV. В заключение урока дается задание: упростить выражение