Проценты – традиционно одна из сложных тем школьного курса. При всём многообразии сегодняшних школьных учебников, проценты логичным образом изучаются после изучения правил нахождения части от числа, числа по его части и отношения двух чисел. Ещё бы! Это те же самые три вида задач на проценты: нахождение процента от числа, числа по его проценту и процентное отношение двух чисел. Однако в сознании большинства школьников это абсолютно разные задачи. Причём, вторые гораздо сложнее. Получается, что большинство школьников, даже выпускников, панически боится задач, связанных с понятием "проценты". Происходит это оттого, что способ решения задач данного типа через определение процента очень громоздок. Как убедительно показать, что 1% – это всего лишь сотая часть числа? Понятно, что в 5–6-ом классе обучение должно быть наглядным. Рисунок, модель, схема и т.п. Русский педагог К.Д. Ушинский указывал, что наглядность отвечает психологическим особенностям детей, мыслящих "формами, звуками, красками, ощущениями".
Вот естественное задание в начале изучения темы.
Заштрихуйте на рисунке указную часть прямоугольника:
Или, как продолжение, задание посложнее.
Закрасьте на рисунке 20% прямоугольника, затем другим цветом 25% оставшейся части, а третьим цветом 50% нового остатка. Сколько процентов от прямоугольника составляет незакрашенная часть?
В этих заданиях картинка-опора заложена в условии. Так давайте научимся составлять схему по условию задачи, а затем – читать ответ с начерченного рисунка. Начнём со второго – читаем ответ с рисунка.
Какую часть красной полоски составляют остальные полоски?
Сколько процентов от красной полоски составляют остальные полоски?
Сколько процентов от синей полоски составляют остальные полоски?
Почему ответы различны при одном и том же рисунке? Запомним это: важно с чем сравниваем, иными словами – что принимаем за целое или 100%.
Нарисуем задачу 1.
Задача 1. Двое работников получали одинаковую зарплату. С нового года первому работнику увеличили зарплату на 25%, второму – на 50%. На сколько процентов зарплата второго работника больше зарплаты первого?
Пусть зарплата каждого была 4 части (в условии упоминается повышение на 25%, то есть на четверть).
Тогда после повышения у первого она стала составлять 5 частей.
А у второго – 6 частей.
Видим, что зарплата второго работника больше зарплаты первого (ведь теперь эту величину принимаем за 100%) на 20%?
Особенно убедительно применение такого изображения при решении задач следующего типа.
Задача 2. Книга дороже альбома на 25%. На сколько процентов альбом дешевле книги?
Большинство не сомневается, что на 25%. Многолетний опыт решения задач подтверждает, что если одна величина больше другой на 25 единиц, то вторая меньше первой тоже на 25 единиц. Будем разрушать сложившийся стереотип.
Изобразим цену альбома отрезком из 4-х частей, тогда цена книги – 5 частей.
Если же принять цену книги за 100%, то видим, что цена альбома составляет 80% цены книги.
Ответ: альбом дешевле книги на 20% её стоимости.
Можно рассмотреть другую задачу, которая не позволяет давать опрометчивый ответ.
Задача 3. На сколько процентов 30 больше, чем 12? На сколько процентов 12 меньше, чем 30?
Наибольшим общим делителем чисел 30 и 12 является число 6. Причём в тридцати шесть содержится 5 раз, а в двенадцати – дважды. Поэтому изобразим 30 отрезком из пяти частей, а 12 – отрезком из двух частей.
Очевидно, что 30 больше 12 на 150%. И очевидно, что сказать: 12 меньше 30 на 150% слишком нелепо. Считываем ответ с рисунка.
Ответ: 12 меньше чем 30 на 60%.
Сложность предыдущих задач в том, что они не содержат именованных величин. Чаще всего в этом случае приходится слышать в качестве решения что-то типа: пусть альбом стоит 100 рублей… Причём рассуждение это вполне годится для получения верного ответа, что требуется, например при решении различных тестов. Но вот известная задача, относимая к задачам повышенной сложности, в которой говорится уже о трёх объектах.
Задача 3. Алик, Боря и Вася собирали грибы. Боря собрал грибов на 20% больше, чем Алик, но на 20% меньше, чем Вася. На сколько процентов больше, чем Алик, собрал грибов Вася?
Первая часть условия легко изображается.
Исходя из второго условия отрезок “Боря” нужно изобразить из четырёх частей, а “Вася” – из пяти.
А теперь совместим изображения. Так как отрезок “Боря” делится и на четыре, и на пять, то длина этого отрезка должна быть 12 частей.
Ответ: Вася собрал грибов на 50% больше, чем Алик.
Сделаем ещё один практичный вывод с помощью рисунка. Для начала заметим, что заштрихованная часть составляет 25% процентов площади прямоугольника.
Как изменилась площадь прямоугольника, если та же часть составляет теперь 50% всей площади?
Итак, фиксированная часть в процентном отношении увеличилась в два раза, площадь прямоугольника при этом уменьшилась в два раза.
Есть тип текстовых задач на проценты, в которых какая-то величина остаётся неизменной: количество сухого вещества, соли, меди и т.д. В таких задачах что-то испаряется, разбавляется, высушивается. Тогда, во сколько раз в процентном соотношении увеличилась (или уменьшилась) неизменяемая величина, во столько раз уменьшилось (увеличилось) целое. Иными словами : процентное содержание неизменяемой по массе величины и масса данного вещества обратно пропорциональны.
Задача 4. Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного хранения влажность снизилась до 98%. Как изменилась масса арбуза?
Решение. Свежий арбуз на 99% состоит из жидкости и на 1% – из сухой массы.
В результате усушки количество жидкости уменьшилось и составило 98% от новой, также уменьшившейся массы арбуза. Количество же сухого вещества, оставаясь неизменным, составило 2% от новой массы арбуза. Процентное содержание в арбузе сухого вещества (при неизменной его массе) увеличилось вдвое. Следовательно, масса арбуза в результате усушки уменьшилась вдвое.
Задача 5. В свежих ягодах содержится 90% воды. После сушки ягоды стали легче в 8 раз. Какова влажность сухих ягод?
Решение. Так как масса ягод при неизменном количестве сухого вещества уменьшилась в восемь раз, то процентное содержание сухого вещества увеличилось в 8 раз – с 10% до 80%. Тогда влажность сухих ягод – 20%.
Задача 6. До просушки влажность зерна была равна 23%, а после просушки – 12%. На сколько процентов зерно убыло в весе после просушки?
Решение. Процентное содержание сухого вещества в зерне (при неизменной его массе) изменилось с 77% до 88%, то есть увеличилось в 8/7 раза, тогда масса зерна уменьшилось в 8/7 раза – составила 7/8 от первоначальной массы. 7/8 < 1 на 12,5%.
Задача 7. В колбе имеется раствор поваренной соли. Из колбы в пробирку отливают 1/5 часть раствора и выпаривают до тех пор, пока процентное содержание соли в пробирке не повысится вдвое. После этого выпаренный раствор выливают обратно в колбу. В результате содержание соли в колбе повышается на 3%. Определить исходное процентное содержание соли.
Решение. Процентное содержание соли (при неизменной массе) в пробирке увеличилось вдвое, значит, масса раствора уменьшилась в два раза, то есть составила десятую часть первоначального раствора. После того, как выпаренный раствор вылили обратно в пробирку, его масса уменьшилась в 10/9 раза, а процентное содержание увеличилось соответственно в 10/9 раза. Причём, по условию задачи 1/9 часть соли составляет 3%. Следовательно, вся соль или 10/9части – 30%. А исходное процентное содержание соли – 27%.
Задача 8. Раствор спирта, содержащий 20% примесей, подожгли. Спирт выгорает, а примеси — нет. Смесь перестала гореть, когда содержание спирта стало равняться 40%. В сколько раз уменьшился объем смеси?
Решение. Процентное содержание примесей в спирте увеличилось в три раза: с 20% до 60%. Значит, объём смеси при неизменной массе примесей, уменьшился в три раза.
Задача 9. Вода Тихого Океана содержит 3,5% соли (по весу). Сколько пресной воды надо прибавить к 40 кг такой воды, чтобы содержание соли в смеси составило 0,5%?
Решение. Процентное содержание в воде соли (при неизменной её массе) уменьшилось в 7 раз: с 3,5% до 0,5%. Следовательно, масса воды увеличилась в 7 раз: с 40 кг до 280 кг. То есть воды надо прибавить 240 кг.
В случае, если именованные величины заданы явно, достаточно просто составить пропорцию.
Задача 10. Влажность свежей травы 75%, влажность сухой – 40%. Необходимо получить 10 кг сухой травы. Сколько свежей травы нужно для этого собрать?
Решение. Так как процентное содержание сухого вещества и масса травы обратно пропорциональны, то имеем пропорцию 
. Откуда получаем ответ: необходимо собрать 24 кг свежей травы.
Задача 11. Концентрация соли в растворе составляет 5%. На сколько процентов нужно увеличить массу раствора, добавив чистой воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%? Решение. Так как концентрация соли в растворе есть отношение массы соли (она постоянна) к массе раствора, то уменьшить концентрацию в 5 : 1,5 = 10/3 раза (при неизменном первом члене отношения) можно, увеличив второй член отношения в 10/3 раза, или на. 
.
Задачи для самостоятельного решения.
- В драмкружке число мальчиков составляет 80% от числа девочек. Сколько процентов составляет число девочек от числа мальчиков в этом кружке?
- Скорость лодки по течению в … раза больше скорости лодки в стоячей воде. Сколько процентов скорости лодки в стоячей воде составляет скорость течения?
- Брату исполнилось 15 лет, а сестре – 12. “Я на …% старше тебя!” – хвастается брат. “Не очень-то задавайся! – отвечает сестра. – Я только на …% моложе тебя.” Какие числа надо вписать вместо многоточий?
- Несла Варя ведро воды из колодца. Видит, ребятишки на санках катаются. Оставила ношу и – к ним. Накаталась вдоволь, вспомнила ведре, а оно лопнуло, и лед в нем вместо воды. Дома дед объяснил: “Вода замерзшая увеличивается в объеме на 10%.” Стала Варя соображать: “На сколько процентов уменьшается объем льда при таянии?” Посчитайте и вы.
- Свежие грибы содержат 98% воды и весят 100 кг. При хранении они усохли и воды оказалось 96%. Найдите массу грибов после высыхания.
- В траве содержится 60% воды, а в сене 20% воды. Сколько сена получится из тонны травы?
- Товар подешевел на 20%. На сколько процентов больше можно купить товара за те же деньги?
- Свежие фрукты содержали 72% воды, а сухие – 20%. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих?
- Кусок сплава меди и олова весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько олова надо добавить к этому куску, чтобы в новом сплаве было 40% меди?
- Сколько чистого спирта надо добавить к 735 г 16%-ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10%-ный раствор?
- Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу сплава и какую массу чистого золота нужно взять для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота?
- Кусок железа с медью массой в 30 кг содержит 45% железа. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 30% железа.
- Сплав олова и свинца содержит 40% олова. Какую массу сплава и какую массу чистого свинца нужно взять для получения 40 кг нового сплава, содержащего 10% олова?
- Сколько граммов 25% -го сахарного сиропа нужно добавить к 200 г воды, чтобы концентрация сахара в растворе была 5%.
- Сколько граммов воды надо добавить к 180 г сиропа, концентрация сахара в котором 25%, чтобы получить сироп с концентрацией сахара 20%?
- В лесу было 99% дубов. После того как несколько дубов вырубили, их осталось 98%. Какая часть леса осталась?