«Великая книга природы написана на языке математики»
Галилей
Вид занятия: сдвоенный урок.
Тип занятия: урок обобщения и систематизации знаний.
Формы занятия: индивидуальная, групповая, фронтальная.
Продолжительность занятия: 90 мин.
Цель занятия: обобщить и систематизировать знания по теме «Дифференциальные уравнения», провести диагностику усвоения системы знаний и умений выполнять задания стандартного уровня.
Учебно-методическое обеспечение: тест, презентация преподавателя <Приложение 1>, задачи для индивидуального решения, уравнения для группового решения, задания для самостоятельной работы, лист оценки знаний студента <Приложение 2>.
Хронокарта занятия:
1. Оргмомент (5 мин).
2. Мотивационная беседа с последующей
постановкой цели (5 мин).
3. Актуализация опорных знаний:
3.1. Тестирование (5 мин);
3.2. Фронтальный опрос (8 мин).
4. Систематизация умений решать задания
стандартного уровня, повторение алгоритмов:
4.1. Коллективное решение
задач, составление алгоритмов; (25 мин);
4.2. Разноуровневая
самостоятельная работа. (20 мин).Приложение
2
5. Задачи прикладного характера:
5.1 историческая справка по
применению дифференциальных уравнений (5 мин);
5.2 презентации (10 мин).
6. Домашнее задание (2 мин).
7. Рефлексия (5 мин).
ХОД УРОКА
1. Оргмомент
Студенты разделились на 6 групп. В каждой группе
есть консультант – студент, который помогает
ребятам своей группы, оценивает их работу.
Здравствуйте, студенты и гости, присутствующие
на нашем занятии.
Цель нашего занятия: обобщить и систематизировать знания по теме «Дифференциальные уравнения». Для достижения этой цели мы проведем предварительное тестирование с самооценкой, чтобы увидеть свои пробелы в знаниях; фронтальный опрос по тем вопросам, которые были выданы для подготовки к занятию; групповое решение уравнений с проверкой на доске и создание алгоритмов решения каждого типа уравнения (поэтому мы разделились с вами на 6 групп). Увидим презентации задач прикладного характера, которые студенты подготовили дома.
И в заключение, выполним разноуровневую самостоятельную работу. Результаты оценивания знаний на разных этапах заносятся в лист оценки знаний каждого студента. В процессе занятия учитывается и индивидуальная, и групповая формы работы.
2. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели
Теория дифференциальных уравнений является
заключительной темой после изучения
дифференциально–интегрального исчисления. Тема
эта очень сложная. Она является важной для
получения фундаментального естественно –
научного образования. Для формирования
представлений о математике, как о необходимой
для каждого человека составляющей общих знаний о
мире и понимания значимости этой науки для
общественного прогресса
<Приложение 1>.
«Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой», – писал А.Н.Колмогоров (выдающийся математик современности). Сегодня мы с вами должны обобщить и систематизировать материал по теме дифференциальных уравнений, совершенствовать свои умения и навыки, которые обязательно пригодятся, если мы продолжим потом свое обучение в высших учебных заведениях.
3. Актуализация опорных знаний
«Скажи мне – и я забуду.
Покажи мне – и я запомню.
Вовлеки меня – и я научусь»
Древняя китайская пословица
3.1 Тестирование
Итак, каков смысл данного выражения? Чтобы овладеть знаниями и умениями мы информацию должны не только услышать и увидеть, но и вовлечь себя в работу. Я предлагаю для начала вам тест на 5 минут с самопроверкой, который оценивается по количеству правильных ответов. С его помощью мы проверяем свои знания.
Тест по теме «Дифференциальные уравнения»
1 вариант
1) Примеры дифференциальных уравнений:
а) 2у – x = 1
б) y' = 3x
в) 3dy = 2xdx
г) 3y'' = 5x2
2) Вид дифференциального уравнения у' = х + 1:
а) линейное 1-го порядка;
б) однородное;
в) 2-го порядка с постоянными коэффициентами;
г) с разделяющимися переменными.
3) Решить задачу Коши – это найти
а) общее решение дифференциального уравнения;
б) начальные условия;
в) произвольную постоянную С;
г) частное решение дифференциального уравнения.
4) Решением дифференциального уравнения у'' – 9 у = 0 является функция…
а) y = e3x
б) y = x9
в) y = 9x
г) y = cos x
5) Разделение переменных в дифференциальном уравнении exlnydx + xydy = 0 приведет его к виду…
а)
б)
в)
г)
2 вариант
1) Примеры дифференциальных уравнений 2-го порядка:
а) dy = 3dx
б) y' = 4x
в) y2 = 2x
г) y'' – 3y = 0
2) Вид дифференциального уравнения y' + 4y – 2 = 0:
а) линейное 1-го порядка;
б) однородное;
в) 2-го порядка с постоянными коэффициентами;
г) с разделяющимися переменными.
3) Дифференциальное уравнение вида 
решается путем…
а) введения новой переменной y = z . x
б) разделения переменных
в) непосредственного интегрирования
г) введения новой переменной y = u . v
4) Решением дифференциального уравнения у'' – 8y' + 16у = 0 является функция…
а) y = e4x + xe4x
б) y = e4x + e– 4x
в) y = e4x(cos4x + sinx)
г) y = 4x
5) Разделение переменных в дифференциальном уравнении приведет его к виду…
а)
б)
в)
г)
Проведем самопроверку теста. Сравните ответы,
отметьте знаком + или – ответы. Оцените свою
работу. Ответы на слайде <Приложение
1>.
Оценка: за 5 правильных ответов – «5», за 4
правильных ответа – «4», за 3 правильных ответа –
«3», за 1, 2 правильных ответа – «2».
(Проверить результаты и выставить оценку в свой лист учета знаний)
3.2 Фронтальный опрос
А сейчас проведем фронтальный опрос по теории для того, чтобы частично подкорректировать знания тем, кто не совсем добросовестно повторял дома контрольные вопросы и имеет пробелы в знаниях. <Приложение 1>
- Какое уравнение называется дифференциальным? (Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции).
- Как определить порядок ДУ? (Порядок ДУ определяется наивысшим порядком производной, содержащейся в этом уравнении).
- Какого порядка ДУ мы изучили? (Первого и второго порядка).
- Какие ДУ первого порядка вы знаете? (С разделяющимися переменными, однородные, линейные).
- Какие ДУ второго порядка мы изучили? (Сводящиеся к понижению степени и ОЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами).
- Составить схему классификации ДУ на доске с помощью магнитов и названий ДУ, написанных на плакатах. (Проверяется с помощью соответствующего слайда презентации)
- Может ли ЛДУ быть одновременно ЛДУ с разделяющимися переменным? Как решать такое уравнение? (Да. Решается как ЛДУ с разделяющимися переменными).
- Какие методы решения ЛДУ 1-го порядка вы знаете? (Метод Бернулли и метод вариации произвольной постоянной).
4. Систематизация умений решать задания
стандартного уровня. Повторение алгоритмов.
Для проверки своих сил в решении конкретных
уравнений я предлагаю каждой группе по одному
или два уравнения на 10 минут. Решаем вместе,
обмениваемся опытом. Когда группа справится с
заданием, представитель выходит к доске и
демонстрирует свои основные выкладки. После
чего, мы еще раз сформулируем алгоритм решения
каждого типа уравнения.
Итак, задание: определить вид уравнения, решить
его, сформулировать алгоритм решения такого типа
уравнения.
Примеры уравнений:
Алгоритмы <Приложение 1>
За участие в групповом решении консультанты
должны выставить каждому оценку в лист учета
знаний.
После такого повторения предлагается выполнить
каждому студенту индивидуальную разноуровневую
самостоятельную работу. Порядковый номер
каждого задания дает количество набираемых
баллов. Каждый выбирает задания для себя
самостоятельно.
Самостоятельная работа (разноуровневая)
1) Определить вид дифференциального уравнения:
2) Составить характеристическое уравнение:
3) Зная и , записать общее решение дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами:
4) Решить задачу Коши, если:
Система оценки:
Если сумма баллов порядковых номеров решаемых примеров находится в пределах:
от 4 до 9 ,то оценка «3»;
от 10 до 15, то оценка «4»;
от 16 и выше, то оценка «5».
5. Задачи прикладного характера
«Три пути ведут к знанию:
Путь размышления – это путь самый благородный,
Путь подражания – это путь самый легкий
И путь опыта – это путь самый горький»
Конфуций
5.1. Историческая справка по применению дифференциальных уравнений
При изучении тех или иных физических,
биологических процессов, механических явлений,
ученым удается составить дифференциальные
уравнения этого процесса или явления. А затем,
решая это уравнение, удается вывести
функциональный закон описания изучаемого
вопроса. Дифференциальные уравнения играют
большую роль в деле изучения природы и различных
физических, химических и других процессов.
Существует много процессов в природе, которые
описываются дифференциальными уравнениями.
Например, процесс размножения бактерий, явление
органического роста, изменение давления при
подъеме над уровнем моря, ток самоиндукции,
протекающий в катушке после выключения
постоянного напряжения.
Можно так же написать дифференциальные
уравнение движения планеты вокруг Солнца,
искусственного спутника вокруг земли. Решая
дифференциальные уравнения движения планет и их
спутников (эти уравнения весьма сложны, т.к.
планеты притягиваются не только к Солнцу, но и
друг к другу), ученые предсказывают их будущее
движение, узнают моменты солнечного и лунного
затмений. Когда однажды оказалось, что планета
Уран отклоняется от заранее вычисленной орбиты,
ученые нисколько не сомневались в
«правильности» математики. В середине 19 века
французский астроном Леверье и английский
астроном Джон Адамс одновременно и независимо
один от другого сделали смелое предположение,
что отклонение Урана вызывается притяжением к
нему новой, до сих пор неизвестной планеты. С
помощью дифференциальных уравнений они
вычислили положение этой новой планеты и
указали, где нужно искать на небе. Точно в
указанном месте эта планета / её назвали НЕПТУН /
была затем обнаружена. О ней говорят, что она
открыта « на кончике пера» / путем вычислений/.
Тот факт, что самые различные явления
описываются одинаковыми дифференциальными
уравнениями, часто используется на практике.
5.2. Презентации
А сейчас мы посмотрим домашние презентации решения ряда прикладных задач.
Задачи:
- Найти кривую, проходящую через точку (2;3) и обладающую тем свойством, что отрезок любой её касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания.
- В теории резания возникает следующая задача: найти кривую, касательная к которой в каждой точке образует постоянный угол с радиусом вектором этой точки.
Демонстрация презентаций и пояснение к работе выполняются студентами <Приложение 3>, <Приложение 4>
6. Домашнее задание:
Задача: Ускорение «a» материальной точки, движущейся прямолинейно в зависимости от времени «t», выражается формулой a=2t+3. Найти закон движения, если v=0, s=0 при t=0.
7. Рефлексия
Давайте подведем итог нашему занятию. Какие разделы математики мы сегодня с вами повторяли? (Степени и корни, логарифмы, функции и графики, тригонометрию, комплексные числа). Какие межпредметные связи были использованы? (Литература, физика, техническая механика). Таким образом, мы видим, что в теории дифференциальных уравнений математика, прежде всего, выступает как неотъемлемая часть естествознания, на которой основывается вывод и понимание количественных и качественных закономерностей, составляющих содержание наук о природе. Второй особенностью теории ДУ является ее связь с другими разделами математики. Она как бы находится на перекрестке математических дорог. Некоторые большие и важные разделы математики были вызваны к жизни задачами теории ДУ. Классическим примером такого взаимодействия являются исследования колебаний струны, проводившиеся в середине 18 века.
А что вы мне скажите по поводу нашего урока?
«Мы в такие ходили дали,
Что не очень-то и дойдешь.
Математику изучали,
Не взирая на снег и дождь.
Математика – вот наука,
Развивает она умы.
Не страшна никакая скука –
Коль задачи все решены!»
8. Подведение итогов: самооценка
Литература:
- Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика: Учебное пособие: В 2 кн. – М.: ООО «Издательство Новая волна», 2004.
- Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков, В.М. Поркшеян «Практикум по высшей математике». – Ростов-на-Дону, Феникс, 2004.
- Н.В. Богомолов. Практические занятия по математике. – Москва, Высшая школа, 1990.