Тип урока: урок применения знаний и умений.
Цели:
Обучающие:
- повторить все типы тригонометрических уравнений;
- отработать навыки решения различных типов уравнений;
- сформировать умение применять при решении уравнений нужный способ;
Методические: показать различные формы и методы контроля и самоконтроля качества усвоения знаний, умений и навыков учащимися;
Развивающие: развитие логического мышления через умение обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать;
Воспитательные: воспитание настойчивости в приобретении знаний и умений, умения принимать самостоятельные решения.
Оборудование: интерактивная доска.
Ход урока
I. Вступительное слово учителя:
Сегодня ребята мы повторим с вами различные виды тригонометрических уравнений, научимся проводить анализ заданий и способов их выполнения, будем находить наиболее рациональные способы решения уравнений и попытаемся самостоятельно оценить свои знания.
Прежде чем перейти непосредственно к нашей работе, мы сформируем экспертную группу (3-4 человека), участники которой на втором этапе нашего урока помогут мне оценить ваши знания, проверят домашние задания и решения примеров классной работы, подведут итоги предстоящей устной работы.
II. Устная работа.
1) На интерактивной доске появляется слайд со следующим текстом:
Задание: Назовите уравнения из второго столбца, решениями которых являются выражения из первого столбца. Отметьте на доске при помощи стрелок получившиеся соответствия.
При проверке на доске появляется слайд с тригонометрическим кругом, учащиеся объясняют свой выбор, опираясь на выведенное изображение.
2) На интерактивной доске появляется слайд со следующим текстом:
- arcsin (–1) arctg (–1)
- arcsin
arcos (
) - arcos
arcsin 
- arcos (–
) arcsin (–
) - arcsin
arcsin 
Задание: В тетради под номерами 1-5 впишите знаки сравнения, чтобы получились верные высказывания.
На доске появляется слайд с правильными ответами. Учащиеся отмечают, сколько заданий они выполнили правильно. При помощи тригонометрического круга дети обосновывают свой выбор.
3) На интерактивной доске появляется слайд со следующим текстом:
Задание: При помощи тригонометрического круга решите уравнения из 1-го столбца и установите соответствие с выражениями из второго столбца.
На доске появляется слайд с правильными ответами. Учащиеся отмечают, сколько заданий они выполнили правильно.
4) Так как при решении тригонометрических уравнений постоянно используются формулы и наша дальнейшая работа невозможна без знания некоторых их них, то предлагаю вам проверить свои знания при помощи диктанта.
Диктуем начало формул и предлагаем учащимся закончить их.
| I вар | II вар | |
| 1) sin 2x | 1) cos 2x | |
| 2) sin (α + β) | 2) cos (α + β) | |
| 3) cos α – cos β | 3) sin α – sin β | |
| 4) sin x = a | 4) cos x = a | |
5) cos2  |
5) sin2  |
На доске появляется слайд с правильными ответами и учащиеся, поменявшись тетрадями, проверяют работу соседа.
5) Учитель: Давайте вспомним, какие виды тригонометрических уравнений мы знаем. Называя каждый вид, придумайте пример уравнения, который ему соответствует.
- Уравнения, сводящиеся к квадратным.
- Уравнения, решаемые разложением на множители.
- Однородные уравнения.
- Уравнения, решаемые введением нового аргумента.
III. Решение тригонометрических уравнений.
1) Предлагаем учащимся уравнения, которые можно решить несколькими способами, и вместе разбираем эти способы. Дети, предложившие тот или иной способ, решают задания у доски.
1) cos x – cos 2x = 0
| I сп | cos x – 2cos2x + 1 = 0 x = 2π.n, x = ±  + 2.n, n є Z |
| II сп | –2sin (–  )sin  = 0x = 2π.n, x =  , n є Z |
2) 3sin x – 2cos x = 3
| I сп | 6sin .cos  – 2(cos2 – sin2 ) = 3(cos2 + sin2 )sin2  – 6sin  . cos  + 5cos2 = 0tg2  – 6tg  +5 = 0tg  = 1,x =  + 2π.k, k є Z tg  = 5, x = 2arctg 5 + 2π.n, n є Z |
| II сп |  sin (x – arctg ) = 3x – arctg  = (–1)k arcsin  + π.k, k є Z x = (–1)k arcsin  + π.k + arctg  , k є Z |
Обращаем внимание на то, что решая уравнение разными способами, мы можем получить различные ответы.
2) Учитель: Сейчас я прошу вас сдать тетради экспертной группе, которая приступит к проверке домашних заданий и подведет итоги проверки и самопроверки устной работы.
Следующие задания вы будете выполнять на листах.
Каждый из вас получил карточку с уравнением. Обдумайте способ, которым его можно решить. Проверьте, правильно ли вы выбрали способ. Для этого переверните карточку и посмотрите на цифру внизу (заранее дети не знают о том, что способ указан на карточке). После того как вы решите уравнение, обратитесь в экспертную комиссию, которая проверит правильность вашего решения. Обменяетесь карточкой со своим соседом, проверьте друг у друга решения. Затем объединитесь в четверку с учениками, сидящими за задней партой, решите уравнения, предложенные им, проверьте решения.
| 1 | 8 cos2 x + 6 sin x – 3 = 0 8 (1-sin2 x) + 6 sin x – 3 = 0 8 sin2 x – 6 sin x – 5 = 0 sin x = t 8t – 6t – 5 = 0 t =  ,t = –  sin x =  – нет решенийsin x = –  x = (–1)n+1  + π . n, n є Z |
|
| 2 | 3 sin2 x + sin x . cos x = 2 cos2 x / : cos2 x 3 tg2 x + tg x – 2 = 0 tg x = m 3m2 + m – 2 = 0 m = –1, m =  1) tg x = –1 x = arctg (–1) + π.n x = –  + π.n, n є Z2) tg x =  x = arctg  + π.k, k є Z |
|
| 3 | 1 + cos x = –cos2 x 1 + cos x = – (2 cos2x – 1) 2 cos2x + cos x = 0 cos x (2 cos x + 1) = 0 1) cos x = 0 x = π/2 + π.n, n є Z 2) cos x = –  x = ± 2  + 2π.k, k є Z |
|
| 4 | cos 2x –  sin 2x =  a2 + b2 =  2 = 2  cos 2x –  sin 2x =  sin Y cos 2x – cos Ysin 2x =  sin (Y – 2x) =  Y – 2x = (-1)n .  + π.n–2x = (–1)n  –  + π.nx = (–1)n+1  +  –  , n є Z |
sin Y=  Y =  |
Учитель: Вы увидели, что в каждой четверке представлены все виды тригонометрических уравнений, о которых мы сегодня говорили.
Итак, подведем итоги. Сегодня мы повторили способы решения простейших тригонометрических уравнений, вспомнили формулы и определения обратных тригонометрических функций и способы их сравнения, решали 4 вида тригонометрических уравнений разными способами и поняли, что при решении разными способами необязательно получаются одинаковые ответы. Кроме этого мы работали над своей самооценкой и оценивали своих одноклассников. Предоставим слово экспертной комиссии. Выставляем оценки за работу на уроке.
IV. Домашнее задание.
Учитель: Используя дополнительную литературу, учебник, свои знания, придумайте 5 заданий для своих одноклассников, напишите их на отдельном листе, не забыв предварительно решить. На следующем уроке мы проведем самостоятельную работу, используя ваш материал, и вы сами проверите работы своих товарищей.