Цель урока: Систематизация и углубление знаний по теме "Конус". Повысить интерес к геометрии, решая нестандартные, практические задачи.
- Образовательная: отрабатывать знания основных понятий, определений, теорем и умения применять эти знания при решении задач различных по содержанию и уровню сложности.
- Развивающая: развивать математически грамотную речь учащихся логическое мышление, сознательное восприятие учебного материала, умение сравнивать, обобщать, классифицировать; развивать и совершенствовать умения применять накопленные знания в измененной ситуации, делать выводы и обобщения.
- Воспитательная: воспитывать ответственность за результат своего труда.
Оборудование: мультимедиапроектор, экран, компьютер, карточки с к задачам
Ход урока
1. Организационный момент (Презентация. Слайд 1) – эпиграф
2. Термин (Слайд 2).
Установите связь между картиной Шишкина "Корабельная роща" и геометрическим телом, которое называется "конус".
3. Историческая справка:
С конусом люди знакомы с глубокой древности. (Слайд 3)
В книге Архимеда (287–212 до н.э.) “ О методе”(найденной в 1906 г) , дается решение задачи об объеме общей части пересекающихся цилиндров. Архимед приписывает честь открытия этого принципа Демокриту (470–380 г до н.э.) – древнегреческому философу-материалисту. С помощью этого принципа Демокрит получил формулу для вычисления объема конуса.
Большой трактат о конических сечениях был написан Аполлонием Пергским (260–170 г до н.э.) – учеником Евклида (III в. до н.э.) , который создал великий труд из 15 книг под названием “начала” . Эти книги издаются и по сей день, а в школах Англии по ним учатся до сих пор.
4. Повторение основных элементов и формул конуса. (Слайд 4)
5. Конусы в повседневной жизни. (Слайд 5) (Примеры учащихся.)
6. Дополнительная информация о конусе.
- По статистике на Земле ежегодно гибнет от разрядов молний 6 человек на 1 000 000 жителей (чаще в южных странах). Этого бы не случалось, если бы везде были громоотводы, так как образуется конус безопасности. (Слайд 6). Чем выше громоотвод, тем больше объем такого конуса. некоторые люди пытаются спрятаться от разрядов под деревом, но древо не проводник, на нем заряды накапливаются и дерево может быть источником напряжения.
- В физике встречается понятие “телесный угол”. (Слайд 7) Это конусообразный угол, вырезанный в шаре. Единица измерения телесного угла – 1 стерадиан. 1 стерадиан – это телесный угол, квадрат радиуса которого равен площади части сферы, которую он вырезает. Если в этот угол поместить источник света в 1 канделу (1 свечу), то получим световой поток в 1 люмен. Свет от киноаппарата, прожектора распространяется в виде конуса.
- В биологии есть понятие “конус нарастания” (Слайд 8). Это верхушка побега и корня растений, состоящая из клеток образовательной ткани.
- “Конусами ”(Слайд 9) называется семейство морских моллюсков подкласса переднежаберных. Раковина коническая (2-16 см), ярко окрашенная. Конусов свыше 500 видов. Некоторые улитки конусы – изощренные хищники. Они подстерегая рыб, закапываются в песок и выставляют длинные хоботки, похожие на червей. Хоботки – приманка для рыб. Конусы убивают жертву сильным ядом и переваривают добычу в глотке-воронке, натягивая ее на рыбу как чулок.
- Живут в тропиках и субтропиках. Укус конусов для человека очень болезнен. Известны смертельные случаи. Раковины используются как украшения, сувениры.
- В геологии существует понятие “конус выноса” (Слайд 10). Это форма рельефа, образованная скоплением обломочных пород (гальки, гравия, песка), вынесенными горными реками на предгорную равнину или в более плоскую широкую долину.
7. Решение практических задач (Закрепление, повторение)
Как вы сейчас узнали: конус очень часто можно встретить в нашей жизни.
А теперь нам предстоит решить задачи с практическим применением.
Задача 1.
“Сбор смолы с сосен” (Слайд 11)
(1
литр ≈1 дм3)
Смолу для промышленных нужд собирают, подвешивая конические воронки к соснам. Сколько воронок диаметром 10 см с образующей 13 см нужно собрать, чтобы заполнить 10-литровое ведро?
Ответ: примерно 32 воронки.
Задача 2. Прослушайте отрывок старинной легенды восточных народов , рассказанной А.С. Пушкиным в “Скупом рыцаре”. (Слайд 12)
"Читал я где-то,
Что царь однажды воинам своим
Велел снести земли по горсти в кучу, -
И гордый холм возвысился,
И царь мог с высоты с весельем озирать
И дол, покрытый белыми шатрами,
И море, где бежали корабли…”
- Какие ассоциации вызывают у Вас эти стихи? (Холм – конус).
- Какой высоты мог быть этот холм?
- На сколько километров может увеличиться панорама для наблюдения, поднявшегося с подножия холма к его вершине?
Это одна из немногих легенд, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды.
Попробуем доказать , что если бы какой-нибудь деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результатов. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный “горный холм”.
1 горсть ≈ 1/5 литра = 0,2 дм3
Войско в 100 000 воинов считалось очень внушительным
Угол откоса меньше или равен 45 º, иначе земля начнет осыпаться. Возьмем угол откоса. максимальным 45 º. (Учащиеся решают задачу)
Ответ : примерно 2,7 м.
Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу в 1,5 человеческих роста назвать “гордым холмом”. Сделав расчет для меньшего угла , мы получили бы еще более скромный результат.
Дополнительные сведения: У Аттилы (предводитель гуннов, кочевого народа, сложившегося в Приуралье из многих племен) было самое многочисленное войско , которое знал древний мир. Историки оценивают его в 700 000 человек.
Массовое передвижение гуннов на запад (с 70-х гг. IV в.) дало толчок “ великому переселению народов”. Наибольшего могущества гуннская держава достигла именно при Аттиле (? – 453гг.) , который возглавил опустошительные походы в Восточно-Римскую империю (413 г,. 447 г., 448 г., 451 г.)
Но в 451 году на Каталлунских полях (равнина в северо-восточной Франции к западу от города Труа) войска Западно-Римскогой империи в союзе с франками, вест-готами, бургундами, аланами и др. разгромила гуннов во главе с Аттилой , что привело к распаду гуннской державы.
Если бы все воины Аттилы участвовали в насыпании холма, образовалась бы куча повыше вычисленной нами, но не очень. Советую вам самим дома вычислить высоту кургана и подумать, удовлетворила бы такая высота честолюбие Аттилы или нет.
Слайд 13
Полуостров Ямал , где мы с вами живем и учимся расположен за полярным кругом.
Ненцы, коренные жители.
- Основными занятиями ненцев является оленеводство, рыболовство, охота.
- Ненцы ведут полукочевой образ жизни, совершая небольшие по протяженности сезонные перемещения. Во время перекочевок использовали переносное жилище – Чум.
- Жизнь в природе – это жизнь в гармонии с ней, с ее законами. Это актуально для людей, живущих в суровых климатических условиях. Для выживания и сосуществования человека в северной природе нужно чувствовать её гармоничные законы.
- Опыт проживания в суровых условиях Севера помог ненцам создать такое жилище, конструкция которого, его форма и функции, объясняются строгими научными законами.
Задача 3: (Слайд 14)
Чум имеет конусообразный каркас из нескольких шестов, соединенных вершинами, на которые натягивают чехол из оленьих шкур. В центре раскладывался костер.
Дверь делают из двух сшитых мездра к мездре (изнанка шкуры) оленьих шкур. Открывалась дверь в зависимости от направления ветра – справа или слева. Зимой снаружи чума насыпают завалинку, служившую заслоном от ветра.
В жилище обычно обитает 1–2 семьи. Напротив входа находится наиболее почетное, так называемое чистое место.
С точки зрения геометрии, чум-это конус.
Шест-главный элемент чума.
Выходит, что неграмотные, незнакомые с математикой люди изготавливали шест в строгом соответствии с законами сопротивления материалов.
Ненцы подстригают олений волос на покрышках-шкурах , оставляя лишь треть его длины.
По законам теплофизики, укорачивая мех, они уменьшали (сами того не подозревая)
теплозащитные свойства стенок, но увеличивали срок их использования.
Значит, ненцы использовали научный подход в использовании строительного материала (меха)
Рассчитайте, сколько примерно понадобится оленьих шкур, площадью 3,8 кв. м., для покрытия чума, если диаметр основания равен 16 м., а основной шест – √20 м.
(Учитывая, что шкуры укладываются вплотную, одна к одной)
Решение:
1. Найдем радиус основания: 16:2 = 4(м)
2. Найдем длину бокового шеста. Из прямоугольного ΔBOC по теореме Пифагора :
3. Найдем площадь боковой поверхности: (где L-образующая):S = πRL = 3?14 · 4· 6 = 75?36 (м2)
4. Рассчитаем кол-во шкурок: 75,36 : 3,8 ~ 20
Ответ: примерно 20 шкур.
Задача 4: (Слайд 15)
Для обогрева чума, в его центре располагался костер
Какова полезная площадь чума, если диаметр основания равен 10 м, а боковые шесты наклонены к основному под углом 60 º.
Если учитывать, что зона очага равна 1,5 м2?
Решение:
- Найдем радиус 10:5 = 5 (м) (рисунок тот же )
- Из прямоугольного ΔBOC найдем образующую (СВ). Т.к. Угол СВО = 60 градусов, то угол ОСВ = 30 градусам (180 – 60 – 90 = 30). Далее, по свойству прямоугольного треугольника с углом 30 градусов : СВ = 2 ОВ ; СВ = 2*5 = 10(м)
- Найдем площадь:
S = 3,14*5 (5 + 10) = 235,5 (кв.м.)
Полезная площадь:
S = 235,5 – 1,5 = 234 (кв.м.)
Ответ: 234 кв.м.
Дополнительная задача
“Задача на будущее”
“Все течет, все изменяется…” – объясните смысл высказывания.
“Водяные часы Египта”. Старинные египетские водяные часы представляли собой сосуд, наполненный водой, которая вытекала через отверстие в нижней его части. Уровень воды показывал время, истекшее с момента наполнения сосуда. Почему расстояние между горизонтальными отметками, соответствующими равным промежуткам времени, различны? (Обсуждаем и приходим к необходимости вычисления объема усеченного конуса, значит можно вернуться к этой задаче при изучении соответствующей темы).
8. Итог урока.
Итак, мы с вами расширили понятие и представление о конусе, научились еще раз применять основные формулы при решении задач. Вопрос о конусе важен, так как конические детали имеются во многих машинах и механизмах. В автомобилях, танках, бронетранспортерах – конические шестерни : носовая часть самолетов и ракет имеет коническую форму.
“Считайте несчастным тот день или тот час,
в который ты не усвоил ничего нового
и ничего не прибавил к своему образованию”
Я.А.Коменский
Домашнее задание: Составить или найти другие задачи связанные с жизнью.