Цели:
- Познакомить с определением рациональных чисел и с логической схемой развития понятия числа.
- Усвоить понятия:
- конечная десятичная дробь;
- бесконечная десятичная дробь;
- периодическая бесконечная десятичная дробь.
- Научить определять по виду обыкновенной дроби, какой десятичной дробью (конечной или бесконечной) она является.
Задачи:
- Развивать умения составлять алгоритм действий и действовать по алгоритму.
- Развивать умения анализировать полученные результаты, делать выводы и ставить новые вопросы.
- Развивать умение использовать сформулированные правила при решении задач.
- Развивать умения составлять и читать схемы.
Тип урока: изучение нового материала.
Метод: проблемно-исследовательский.
Форма: групповая.
Ход урока
Первая часть урока.
Цель первой части урока (теоретическая): выяснить и усвоить, какие числа называются и являются рациональными и есть ли числа, какие таковыми не являются.
1. В начале урока коротко повторить определения натуральных, дробных, целых чисел.
2. Объявляется тема урока: Рациональные числа. Обыкновенные и десятичные дроби. (Слайд 2). Формулируется цель первой части урока.
3. Формулируется определение рациональных чисел: Рациональным называют число, которое можно записать в виде отношения a/n, где a – целое число, а n – натуральное число. (Слайд 3). Рассматриваем примеры (Слайд 4).4. Естественно возникает вопрос, какие же из известных нам чисел являются рациональными? В ходе беседы на экране составляется логическая схема развития понятия числа (Рисунок 1 и Слайд 5). Приводим примеры и доказываем, что каждое из известных нам чисел является рациональным.
Рис. 1
5. Подробнее останавливаемся на десятичных дробях. Вспоминаем правило перевода десятичной дроби в обыкновенную (Слайд 6) и выполняем устно упражнение по переводу десятичной дроби в обыкновенную (Слайды 7–12).
(Устно) Переведите десятичную дробь в обыкновенную: 0,7; 0,75; 0,2; 0,16; 0,125; 0,375.
Дробь высвечивается на экране, дети поднимают карточку с верным ответом. Комплект карточек подготовлен заранее (Приложение 1) и лежит на столе у каждой группы; на карточках следующие числа 7/10, 75/100, 15/20, 3/4, 2/10, 1/5, 8/50, 4/25, 25/200, 1/8, 3/8, 5/8. Ответы комментируем, при необходимости выполняем пошаговую проверку (Слайды 7–12).
6. Приходим к выводу, что если десятичная дробь «получена» из обыкновенной, то эта десятичная дробь является рациональным числом.
Формулируется проблема: какими могут быть десятичные дроби и все ли десятичные дроби являются рациональными числами.
7. Для решения поставленных вопросов группы выполняют задание № 1 (Слайды 13–14), (Приложение 2).
Задание № 1.1 (для группы 1)
Представьте обыкновенные дроби 1/4, 1/3, 1/6 в виде десятичных дробей.
Проанализируйте полученные результаты.
Задание № 1.2 (для группы 2)
Представьте обыкновенные дроби 2/5, 4/11, 7/15 в виде десятичных дробей.
Проанализируйте полученные результаты.
Задание № 1.3 (для группы 3)
Представьте обыкновенные дроби 3/25, 1/37, 9/44 в виде десятичных дробей.
Проанализируйте полученные результаты.
Проанализировав результаты (Слайд 15), а при необходимости, проверив вычисления (Слайды 16–18), приходим к выводу, что десятичные дроби бывают а) конечные; б) бесконечные. А бесконечные обладают некоторым свойством: начиная с какого-то десятичного знака, один или несколько десятичных знаков повторяются. За это свойство такие бесконечные десятичные дроби назвали периодическими.
По ходу беседы на доске составляется схема. Таблички с надписями заготовлены заранее (Приложение 3) и крепятся магнитами к доске, а стрелочки можно нарисовать мелом.
Рис. 2
Дети делают вывод, что конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби являются рациональными числами. Однако, учитель комментирует, что на данном этапе знаний этот вывод только предположение и, что требуется еще доказать, что любая периодическая десятичная дробь может быть представлена в виде обыкновенной, а значит, является рациональным числом, и мы докажем это позже, в 9 классе. А пока будем пользоваться этим положением как фактом.
8. Далее детям предлагается проанализировать составленную схему и подумать, могут ли быть еще какими-нибудь десятичные дроби (или можно предложить придумать такую десятичную дробь, которая не будет являться ни конечной, ни бесконечной периодической). Приходим к выводу, что существуют еще бесконечные непериодические дроби. Приводим примеры таких дробей (0,01001000100001…; 0,12123123412345123456… и т.п.), и говорим о том, что они не будут являться рациональными числами (и опять-таки это наше предположение, которое мы сможем доказать, но только позднее, а пока будем пользоваться только как фактом).
На доске дополняем схему (Приложение 3):
Рис. 3
Вторая часть урока.
Цель второй части урока (практическая): выяснить, как, по виду обыкновенной дроби понять, можно ли представить ее в виде конечной десятичной дроби, или получится бесконечная дробь.
9. Формулируем проблему: как по виду обыкновенной дроби понять, можно ли представить ее в виде конечной десятичной дроби, или получится бесконечная дробь.
Для решения этой проблемы выполним задания. Каждое из заданий № 2-4 выполняется по группам. После выполнения каждого задания обсуждаются результаты. Каждая группа формулирует свои выводы.
10. Задание №2 (Слайд 20, Приложение 2)
Переведите обыкновенные дроби в десятичные и ответьте на вопросы.
1/20, 1/25, 4/50, 3/125, 5/8, 17/100.
- Разложите знаменатели данных дробей на множители.
- Каким общим свойством обладают знаменатели данных дробей?
Анализируем результаты (Слайд 20), при необходимости проверив вычисления (Слайд 21). Каждая группа сообщает о своих наблюдениях и делает предположительные выводы.
11. Задание №3 (Слайд 22, Приложение 2)
Переведите обыкновенные дроби в десятичные и ответьте на вопросы.
1/30, 3/110, 7/9, 8/55, 5/111, 7/82.
- Разложите знаменатели данных дробей на множители
- Каким общим свойством обладают знаменатели данных дробей?
Анализируем результаты (Слайд 23), при необходимости проверив вычисления (Слайды 24–27). Каждая группа сообщает о своих наблюдениях и делает предположительные выводы.
12. Задание №4 (Слайд 28, Приложение 2)
Проанализируйте результаты предыдущих трех заданий и ответьте на вопросы:
- Какие десятичные дроби «получаются» из обыкновенных дробей?
- При каком условии обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби?
- При каком условии обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби?
Обсудив выступление представителя каждой группы по результатам задания № 4, переходим к выводам.
13. Выводы (Схема 2, Слайды 29–31):
- Десятичные дроби бывают конечные и бесконечные.
- Конечную десятичную дробь всегда можно представить в виде обыкновенной дроби и одна является рациональным числом.
- Бесконечную периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби – это рациональное число.
- Любую обыкновенную дробь можно представить в виде десятичной дроби конечной или бесконечной периодической.
- Конечная десятичная дробь получится, если в разложении знаменателя соответствующей обыкновенной несократимой дроби нет других простых множителей кроме 2 и 5 (Слайд 30).
- Бесконечная периодическая десятичная дробь получится, если в разложении знаменателя соответствующей обыкновенной несократимой дроби присутствует любой другой простой множитель, кроме 2 и 5 (Слайд 31).
14. Применение правила (Слайды 32–33):
Задание №5
- Какие из обыкновенных дробей 1/2, 1/3, 7/15, 6/25, 5/16 можно представить в виде конечной десятичной дроби?
- В каких дробях (обыкновенных или десятичных) «удобнее» выполнить вычисления: а) 3/8 + 0, 567; б) 2,378 – 3/14 ?
- В каких дробях (обыкновенных или десятичных) вы запишите решение уравнения:
- 3х = 8;
- 5у = 12;
- 16а = –7?
Проверяем задание и подводим итоги:
15. Подведение итогов и постановка новых вопросов. (Рисунок 4, Слайды 34–35). Теперь мы знаем, что положительные и отрицательные обыкновенные дроби могут быть представлены в виде конечных или периодических десятичных дробей. Значит, последние являются рациональными числами. А бесконечные непериодические десятичные дроби таковыми не являются. По всей видимости, они входят в область каких-то других, не известных вам пока, чисел (по секрету скажу, что они называются иррациональными). Эти иррациональные числа вместе с рациональными тоже составляют свою область чисел, объединенных своими свойствами (действительные числа). А если, к области действительных чисел «добавить» еще какие-то числа, то,… Но это предмет будущих ваших исследований.
Рис. 4
16. Заключение урока (Слайд 36)
Урок заканчиваем цитатой Л.Н. Толстого: «Знание только тогда знание, когда оно добыто усилием собственной мысли, а не памятью». В этом ключе даем оценку работы каждой группы.
Домашнее задание:
- Прочитать пункт 37 учебника. Какие вопросы, изложенные в тексте, мы не обсудили на уроке?
- Придумать пять обыкновенных дробей, из которых «получаются» конечные десятичные дроби и пять обыкновенных дробей, из которых «получаются» бесконечные десятичные дроби (Приложение 4) и перевести эти дроби в десятичные.
Литература:
- Шварцбурд С.И., Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С. Математика 6, Мнемозина, 2006.
- Мордкович А.Г. Алгебра. 8 класс: Учебник для классов с углубленным изучением математики, Мнемозина, 2004.