В раннем детстве все мы играли кубиками, пирамидками, с интересом разглядывали мамины и бабушкины серьги и кольца с камушками. Придя в школу, с удивлением узнали, что держали в руках правильные многогранники, а камушки, не что иное как октаэдры.
Многогранники имеют не только значение при геометрических исследованиях по геометрии, но и для практических приложений в других разделах математики. Формы многогранников находят широкое применение в конструировании сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах. Идёт это с глубокой древности. "Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса - немой трактат по геометрии, а греческая архитектура - внешнее выражение геометрии Евклида. Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остаётся грамматикой архитектора" - это высказывание принадлежит великому французскому архитектору Ле Корбюзье. Поэтому мне захотелось, чтобы вы больше узнали о многогранниках и научились изготавливать их различные модели.
Цель работы: Раскрыть тайны моделирования звёздчатых многогранников. (слайд 1)
Задачи:
- Проследить историю развития многогранников.
- Расширить знания о звёздчатых многогранниках.
- Исследовать способы изготовления различных моделей звёздчатых многогранников.
- Доказать, что многогранники - слагаемые прекрасного. (слайд 2)
Объект исследования: (слайд 3)
- Звёздчатые многогранники.
- Моделирование многогранников.
Что такое многогранник? (слайд 4)
1. Многогранник - это тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.
2. Многогранник - это тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.
Сколько правильных многогранников существует?
Существует бесконечно много различных правильных многоугольников, но лишь пять различных правильных многогранников: тетраэдр, куб (гексаэдр), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются Начала Евклида.
Следующий серьезный шаг в науке о многогранниках был сделан в XVIII веке Леонардом Эйлером (1707-1783), (слайд 5)который без преувеличения "проверил алгеброй гармонию". Теорема Эйлера о соотношении между числом вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, доказательство которой Эйлер опубликовал в 1758 г. в "Записках Петербургской академии наук", окончательно навела математический порядок в многообразном мире многогранников.
Почему же правильные многогранники получили такие имена? (слайд 6)
Это связано с числом их граней. Так, тетраэдр имеет четыре грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань, вот и получается четырёхугольник - тетраэдр. Гексаэдр (куб) имеет шесть граней, "гекса" - шесть. Октаэдр - восьмигранник, "окто"- восемь. Додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать; наконец, икосаэдр имеет двадцать граней, "икоси" - двадцать. Правильные многогранники иногда называют Платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 - ок. 348 до н.э.). Платон считал, что мир строится из четырёх "стихий": огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих "стихий" имеют форму четырёх правильных многогранников.
Существует семейство тел, родственных платоновым - это полуправильные выпуклые многогранники, или Архимедовы тела. (слайд 7) .У них все многогранные углы равны, все грани - правильные многоугольники, но нескольких различных типов. Существует 13 или 14 архимедовых тел (число неточное, поскольку псевдоромбокубоктаэдр иногда не причисляют к этому семейству). Кроме того, имеют равные многогранные углы и правильные грани нескольких типов тела из двух бесконечных семейств - призмы и антипризмы (последние также называют скошенными призмами).
Иоганн Кеплер,(слайд 8) для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Такая модель Солнечной системы получила название "Космического кубка" Кеплера. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы бредовых, не может существовать наука.
Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли (слайд 9). Существует много данных о сравнении структур и процессов Земли с правильными многогранниками.
Существует гипотеза, по которой ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. "Лучи" этого кристалла, а точнее его силовое поле, обусловливают то, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. 62 их вершины и середины ребер, называемые узлами, оказывается, обладают рядом специфичecких свойств, позволяющих объяснить многие непонятные явления.
Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки.
Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой красивой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.
Советские инженеры В. Макаров и В. Морозов потратили десятилетия на исследование данного вопроса. Они пришли к выводу, что развитие Земли шло поэтапно, и в настоящее время процессы, происходящие на поверхности Земли, привели к появлению залежей с икосаэдро-додекаэдровым узором. Еще в 1929 году С.Н. Кислицин в своих работах сопоставлял структуру додекаэдра-икосаэдра с залежами нефти и алмазов.
Двадцать районов планеты (вершины додекаэдра) - центры поясов выходящего вещества, основывающих биологическую жизнь (флора, фауна, человек). Центры всех магнитных аномалий и магнитного поля планеты расположены в узлах системы треугольников. К тому же согласно исследованиям авторов, в настоящую эпоху все ближайшие небесные тела свои процессы располагают согласно додекаэдро-икосаэдрной системе, что замечено у Марса, Венеры, Солнца. Аналогичные энергетические каркасы присущи всем элементам Космоса (Галактики, звезды и т. д.). Нечто похожее наблюдается и в микроструктурах. Например, строение аденовирусов имеет форму икосаэдра.
Правильные многогранники привлекают совершенством своих форм, полной симметричностью. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие - в виде вирусов, простейших микроорганизмов. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (слайд 10) по форме напоминает икосаэдр. Из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.
В процессе деления яйцеклетки сначала образуется тетраэдр из четырех клеток, затем октаэдр, куб и, наконец, додекаэдро-икосаэдрическая структура гаструлы. И наконец, самое, пожалуй, главное - структура ДНК генетического кода жизни - представляет собой четырехмерную развертку (по оси времени) вращающегося додекаэдра! Таким образом, оказывается, что вся Вселенная - от Метагалактики и до живой клетки - построена по одному принципу - бесконечно вписываемых друг в друга додекаэдра и икосаэдра, находящихся между собой в пропорции золотого сечения!
Вирусы, построенные только из нуклеиновой кислоты и белка, могут походить на жесткую палочкообразную или гибкую нитевидную спираль, точнее на правильный двадцатигранник, или икосаэдр. Есть вирусы, размножающиеся в клетках животных (позвоночных и беспозвоночных), другие облюбовали растения, третьи (их называют бактериофагами или просто фагами) паразитируют в микробах, но икосаэдрическая форма встречается у вирусов всех этих трех групп.
Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. А ведь кристаллы поваренной соли имеют форму куба. Кристалл пирита (сернистый колчедан) - природная модель додекаэдра, кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра, кристаллы бора- икосаэдр ,углерод характеризуется структурой октаэдра, кристаллы алмаза обычно имеют форму октаэдров, ромбододекаэдров, реже - кубов или тетраэдров.
Исторически первой формой огранки, появившейся в середине XIV века, стал "октаэдр". Впрочем, многогранники - отнюдь не только объект научных исследований.
Звездчатые многогранники.
Термин "звёздчатый" имеет общий корень со словом "звезда", и это указывает на его происхождение. Существуют звездчатые многоугольники и звездчатые многогранники. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Применяются они и в архитектуре. Многие формы звездчатых многогранников подсказывает сама природа. Снежинки - это звездчатые многогранники. С древности люди пытались описать все возможные типы снежинок, составляли специальные атласы. Сейчас известно несколько тысяч различных типов снежинок.
Чтобы разобраться в существе дела, обратимся к чертежам и моделям.
(слайд 11). Звёздчатый октаэдр.
Был открыт Леонардо Да Винчи, затем спустя почти 100 лет переоткрыт И.Кеплером, и назван им " стелла октангула " - звезда восьмиугольная. Отсюда октаэдр имеет и второе название " стелла октангула Кеплера".
У октаэдра есть только одна звёздчатая форма. Её можно рассматривать как соединение двух тетраэдров. Она встречается и в природе: это так называемый двойной кристалл. Для изготовления модели вам потребуются заготовки лишь одного типа - одинаковые равносторонние треугольники. На слайде приведена таблица раскраски для первых четырёх треугольных пирамид, каждая из которых имеет в основании правильный треугольник. Они подклеиваются друг к другу таким образом, чтобы отсутствующие нижние основания образовывали как бы верхушку октаэдра. При этом грани октаэдра на самом деле будут заменены этими пирамидами. Сделав половину модели, вы заметите, что каждая её грань окрашена в собственный цвет. Вы также обнаружите, что параллельные грани имеют одну расцветку. Остающиеся четыре пирамиды энантиоморфны первым. Таблицу раскраски для них можно получить, переставив в приводимой таблице первый и третий. "Стелла октангулу" - правильный многогранник: ведь все ее грани - правильные треугольники одинакового размера и все углы между ними равны!
(слайд 12). Малый звёздчатый додекаэдр.
Икосаэдр и додекаэдр дарят миру сразу четыре "почти правильных многогранника". Один из них - малый звездчатый додекаэдр, полученный впервые Иоганном Кеплером.
В качестве трафарета вам необходим всего лишь равнобедренный треугольник с углами 72°, 72° и 36°. Такой треугольник образует любой луч пятиконечной звезды - пентаграммы. Пять склеенных треугольников образуют часть модели, примыкающую к любой вершине. На слайде указаны порядок склеивания и распределение раскраски.
Рекомендую подклеивать не отдельные треугольники, а сразу же заранее заготовленные пятиугольные пирамиды одна к одной. Назовём такую пирамиду верхушкой. Начать нужно с верхушки (0) и подклеивать к ней наклейками подряд все пять остальных белых (Б) треугольников. Вы увидите, что образовалась белая звезда. В этом-то и заключался наш основной принцип: все части звёздчатых многоугольников должны иметь одну раскраску.
Кроме того, теперь видны и остальные звёздчатые грани - подклеены две из пяти частей каждой из них. Следующие шесть верхушек энантиоморфны исходным, и их следует приклеивать сразу же после изготовления. Каждая должна занимать место, диаметрально противоположное тому, которое занимает её двойник.
(слайд 13). Большой додекаэдр.
Кеплер не додумался, что у полученной им фигуры есть двойник. Многогранник, который называется "большой додекаэдр" - построил французский геометр Луи Пуансон спустя двести лет после кеплеровских звездчатых фигур.
Этот многогранник составлен из 12 пересекающихся пятиугольных граней. Если выполнить модель в шести цветах, то очень заметны выступающие над плоскими гранями пятиугольные звёзды. При этом каждый луч будет принадлежать в точности двум соседним звёздам. Для этой модели нужен трафарет в виде равнобедренного треугольника с углами 36°, 36° и 108°. Проще всего соединить заготовки между собой таким образом, чтобы получить 20 треугольных пирамид (вершинами вниз!), а затем склеить пирамиды вместе способом, напоминающим тот, что мы применяли при склейке 20 треугольников, образующих икосаэдр. Порядок склейки и таблица раскраски приводятся на слайде. Треугольники 5 склеиваем с треугольниками 2 и получаем половину модели. Остальные её части энантиоморфны полученным и расположены на диаметрально противоположных местах.
(слайд 14). Большой звездчатый додекаэдр.
Большой звездчатый додекаэдр был впервые описан Кеплером в 1619 г. Это последняя звёздчатая форма правильного додекаэдра. Модель многогранника можно изготовить, подклеивая треугольные пирамиды к граням икосаэдра. Но я не рекомендую этот способ: получится неаккуратная и потому не удовлетворяющая вас модель. Не составит большого труда выполнить модель целиком полой; она окажется достаточно жёсткой. Это объясняется тем, что треугольные пирамиды даже без оснований обладают удовлетворительной прочностью. В качестве заготовок вам потребуются равнобедренные треугольники с углами 36°, 72° и 72° - лучи пятиконечной звезды. Их надо склеить между собой так, как показано на слайде и в соответствии с таблицей раскраски. Первые пять пирамид (1, 2, 3) склеиваются между собой в кольцо таким образом, чтобы внешние рёбра образовали треугольники 1. Их стороны дадут нам пятиугольник. Сюда белыми (Б) треугольниками подклеиваются остальные пирамиды (4, 5, 6). Обратите внимание, что лучи звёзд, лежащих в одной плоскости, одинакового цвета. Остающиеся части энантиоморфны полученным и располагаются на диаметрально противоположных двойникам местах.
(слайд 15). Большой икосаэдр.
Большой икосаэдр был впервые описан Луи Пуансон в 1809 году. И опять Кеплер, "увидев" большой звездчатый додекаэдр, честь открытия второй фигуры оставил Луи Пуансону. Из рассмотренных до сих пор многогранников, пожалуй, самым красивым и декоративным является большой икосаэдр - последний из четырёх правильных звёздчатых многогранников Кеплера - Пуансо. Его вершины представляют собой центры правильных пятиугольных звёзд, выступающих из тела многогранника. Это свойство роднит большой икосаэдр с большим додекаэдром и выделяет эти два тела из всего множества однородных многогранников. Многие однородные многогранники имеют звёздчатые грани, но подобного строения вершин вы больше не встретите.
Сделать модель большого икосаэдра нетрудно. Заготовка для неё очень проста, и, если следовать предлагаемому методу построения, модель окажется очень прочной и жёсткой, хотя и полой внутри. Пятицветная раскраска займёт больше времени, но на это стоит пойти. На слайде приведена парная таблица раскраски, в соответствии с которой склеиваются показанные части модели. Каждая часть состоит из пяти пар заготовок, соединённых в своеобразный веер. Его следует перегнуть на манер гармошки так, чтобы вниз опустились внутренние рёбра каждой пары, а соседние рёбра разных пар приподнялись. Склеив свободные рёбра, вы получите вершинную часть модели. После этого малые равнобедренные треугольники подклеиваются на свои места, так что образуется пятиугольная впадина, из которой и вырастает вершинная часть.
Вам потребуется всего 12 таких частей; одна половина из них окрашена в соответствии с таблицей, а другая половина имеет энантиоморфную раскраску. Эти части соединяются теперь в обычном икосаэдральном порядке, причём энантиоморфные части, естественно, диаметрально противоположны. Соединения соседних частей выполняйте последовательно, склеивая рёбра друг за другом. Рекомендуем для этой цели воспользоваться зажимами, ибо двугранные углы между краями оснований соседних частей очень малы. Даже последнюю часть стоит присоединять с помощью зажимов. Перед склеиванием последнего ребра с помощью пинцета удалите зажимы с соседних рёбер, после чего капните клей в щель и распределите его по поверхности. Не огорчайтесь, если в углах пятиугольных рёбер окажутся небольшие щели или отверстия. Когда модель будет окончена, добавьте сюда пинцетом по капле клея и чуть сдавите края, пока клей не подсохнет. Тем самым вы избавитесь от щелей и ещё больше укрепите модель. Правильно выполненная модель большого икосаэдра удивительно красива.
Коши (1811) доказал, что все эти многогранника, открытые ранее, на самом деле являются единственно возможными правильными звёздчатыми телами. Так, к пяти правильным телам, известным ещё древним учёным, математики более близкой к нам эпохи добавили четыре звёздчатых многогранника, гранями которых могут быть правильные или звёздчатые многоугольники. По-прежнему грани соединяются попарно в рёбрах, но до этого они пересекаются с другими гранями. При этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами. Все эти свойства отчётливо прослеживаются на моделях звёздчатых тел.
Мы рассмотрели только небольшую часть удивительного мира земных звезд - правильные звездчатые многогранники. Благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.