Урок геометрии "Теорема синусов и косинусов". 9-й класс

Большакова Марина Васильевна, учитель математики

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели:

доказать теорему синусов и косинусов и показать их применение при решении задач
закрепить теорему о площади треугольника и совершенствовать навыки решения задач на ее применение
развивать мышление, логику, интерес к предмету.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Проверка домашнего задания

№40 – рабочая тетрадь

№1023.

Дано:
АВСД – прямоугольник

СОД = 30º, АС = 10 см
___________________________
Найти: S_ABCD

Решение:

S_ΔOCD = S_ΔAOB = ½ OC OD sin COD
BOC = 180º - COD; sin BOC = sin(180º - COD) = sin COD
S_ΔBOC = S_ΔAOD = ½ AO OC sinCOD;
S_ΔOCD = S_ΔAOB = S_ΔBOC = S_ΔAOD = ½ OC OD sin COD

Пусть диагональ прямоугольника d.

S_ΔOCD = ½ ½ d ½ d sin COD
S_ΔOCD = 1/8 d² sin COD;
S_ABCD = 4 1/8 d² sinCOD = = ½ d ² sin COD
S_ABCD = ½ d² sinCOD
S_ABCD = ½ 10² ½ = 25 cм²

Ответ: S_ABCD = 25 cм²

Задача. В ΔABC медианы АА₁ и СС₁ пересекаются в точке О. АА₁ =15 см, СС₁ =18см, АОС₁ = 60º. Найти: S_ΔABC.

Дано:
ΔABC, АА₁ , СС₁ - медианы;
АА₁ ⋂ СС₁ = О ; АА₁ = 15 см;
СС₁1 = 18 см ;

АОС₁1 = 60º
Найти: S_ΔABC.

Решение: Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от вершины.

АО = 2/3 АА₁ = 10 см, ОС₁ = 1/3 СС₁ = 6 см
S_ΔAOC1 = ½ AO OC₁ sin 60º = ½ 10 6 √ 3 / 2 = 15 √3 см²
S_ΔABC = 6 15 √ 3 = 90 √3 см²

III. Работа по индивидуальным карточкам (4 человека)

I уровень (карточка №1)

В треугольнике ΔMNK МКN = 150º, МN = 8, а площадь треугольника равна 20. Найдите NK.
В параллелограмме один из углов равен 45º, а его стороны равны 5 см и 8 см. Найдите его площадь.
В прямоугольнике диагональ равна 12 см, а угол между диагоналями 30º. Найдите площадь прямоугольника.

II уровень (карточка№2)

Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 8 см и 12 см, а угол между ними равен 45º.
В треугольнике МКN N= 150º, МN = 4 см, NК = 6 см, NЕ – биссектриса треугольника . Найдите площадь треугольников МNЕ и NКЕ.
Медианы ΔABC пересекаются в точке О, АВС = 30º, АВ =4 см, ВС = 6 см. Найдите произведение площадей треугольников АОС, ВОС, ВОА.

IV. Весь класс тест №3

Вариант 1.

Чему равны значения синуса и косинуса угла, равного 135º?
2. Найдите значение тангенса угла α, если его косинус равен (- √3/2).
3. Найдите угол α, если его синус равен √2/2. Сколько решений имеет задача?
Упростите выражение: b sin 45º + b cos 135º + b sin 180º =

Вариант 2.

Чему равны значения синуса и косинуса угла, равного 150º?
Найдите значение тангенса угла α, если его косинус равен (√3/2).
Найдите угол α, если его синус равен √3/2. Сколько решений имеет задача?
Упростите выражение: b sin 120º + b cos 150º + b sin 90º =

(дети меняются местами и проверяют правильность задания на доске, где изображены правильные ответы)

V. Решение задач на готовых чертежах.

Повторение формул:

1) S_Δ = ½ a h_а, S пр. тр-ка= ½ а b;

S_Δ = √p(p – a)(p – b)(p – c);

S_Δ = ½ ab sin C.

2) Sпар-ма = a b sin α ;

Sпар-ма = ½ d₁ d₂ sin α ;

3) Sпр-ка = ½ d ² sin α .

Устное решение задач на готовых чертежах:

1)		S_ΔABC– ?
2)		BD = 6, AC = 10 S_ABCD – ?
3)		S_ABCD – ?
4)		AC =12S_ABCD – ?
5)		Найти: h₁, h₂ – ?

VI. Изучение нового материала.

Историческая справка.

Теорема синусов была впервые доказана в X-XII вв математиками Ближнего и Среднего Востока. Открытие этой теоремы сыграло важнейшую роль в развитии тригонометрии.

Теорему косинусов знали еще древние греки, ее доказательство содержится во 2 книге «Начал» Евклида.

Итак, теорема синусов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов.

Дано:
ΔABC
a, b, c - стороны ΔABC

Доказать:

Доказательство: 1) Какая формула выражает зависимость между сторонами треугольника и синусами его углов? (Формула для вычисления площади треугольника)

Полностью текст работы приведен в Приложении.

14.01.2011