Задачи с параметром являются эффективным
средством обобщения, систематизации и контроля
знаний учащихся по математике. С помощью
параметра можно задавать целые классы структур
(выражений, уравнений, неравенств, систем
уравнений (неравенств), геометрических фигур и
др.). Например, уравнение 
, где 
,
охватывает все его различные случаи: 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
.
Решение задач с параметром развивает логическое мышление учащихся; позволяет выявить уровень овладения практическими навыками, а также пробелы в ЗУН; в сжатом и концентрированном виде рассмотреть наиболее важные положения теории; применять как известные, так и новые методы исследования в нестандартной ситуации.
Проблемой разработки теории и методики решения задач с параметром мы начали заниматься более 15 лет назад. За это время у авторского коллектива вышло значительное число научно-методических статей; учебных пособий по теме исследования (пять из них удостоены присвоения грифа учебно-методического объединения по специальностям педагогического образования). Материалы книг прошли длительную и успешную апробацию в различных типах общеобразовательных учреждений. На них выросло не одно поколение учителей.
Перечислим основные особенности авторской
методической концепции:
– даны четкие определения основных понятий темы
«Задачи с параметром», что устраняет разногласия
в их трактовке;
– классификация упражнений по видам
элементарных функций;
– реализация системы дидактических принципов;
– систематическое использование основного
«инструмента» авторской методики –
координатной прямой параметра – в решении
задач с параметром, а также для иллюстрации
аналитического решения и анализа полученных
результатов;
– геометрическая интерпретация множества
решений, что позволяет проводить наглядный
анализ;
– каждый раздел начинается с
подготовительных упражнений, которые служат
«переходным мостиком» к выполнение более
сложных заданий;
– анализ решения ключевых задач, которые
приведены в учебных пособиях, с методическими
указаниями и дополнительными вопросами;
– подбор систем задач для самостоятельного
решения;
– включение в содержание пособий интересных
заданий из ЕГЭ по математике и других задач с
оригинальным решением;
– применение наряду с аналитическим методом и
графического в различных системах координат ((хОу;,
(хОа), (аОх));
– наличие в пособии [4] диска позволяет
использовать новые информационные технологии в
реализации разработанных авторским коллективом
теории и методики решения задач с параметром;
сделать процесс обучения интерактивным;
– электронный носитель дает возможность
продемонстрировать динамику решения задач с
параметром, постепенное заполнение осей
параметра.
Основные сведения о параметре
Определение. Параметр (от
греч. pаrаmеtrvv – отмеривающий) – величина,
значения которой служат для различения
элементов некоторого множества между собой.
Например, в декартовых координатах уравнение 
, 
, задает множество всех парабол
с вершинами в начале координат. При конкретном
значении 
мы
получаем одну из парабол этого семейства.
Дадим еще одно определение параметра.
Определение. Неизвестные величины, значения которых мы задаем сами, называются параметрами.
Какие неизвестные следует выбрать в качестве параметров, обычно определяется уже самим подходом к исследованию выражения.
Приведем пример. Пусть нужно решить уравнение 
.
Легко видеть, что в роли параметра лучше
сначала выбрать х и решить квадратное
относительно а уравнение 
. Получим: 
А затем считаем а параметром,
и остается решить относительно х два
квадратных уравнения: 
Из приведенных выше двух определений следует,
что параметр является переменной величиной и
имеет при этом двойственную природу: 1) параметр
– число; 2) параметр – неизвестное число.
Вторая функция параметра создает дополнительные трудности в работе с ним, ограничивая свободу общения его неизвестностью.
Определение. Пусть дано
равенство с переменными х и а: 
. Если ставится задача
для каждого действительного значения а решить
это уравнение относительно х, то уравнение
называется
уравнением с переменной х и параметром
а.
Параметр обычно обозначается первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …
Переменная, относительно которой решается уравнение, – последними буквами алфавита: x, y, z, t, u, v, …
Примеры.
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
5. 
.
6. 
7. 
.
8. 
.
9. 
.
Определение. Под областью
определения уравнения с параметром а будем
понимать все такие системы значений х и а,
при которых 
имеет
смысл.
Заметим, что иногда область определения уравнения устанавливается довольно легко, а иногда в явном виде это сделать трудно. Тогда ограничиваемся только системой неравенств, множество решений которой и является областью определения уравнения. Этого бывает, как правило, достаточно для решения уравнения.
Установим область определения каждого из выше перечисленных уравнений.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
Определение. Под решением
уравнения с
параметром а будем понимать систему
значений х и а из области определения
уравнения, обращающую его в верное числовое
равенство.
Примеры решения задач с параметром (Приложение 1)
Литература
1. Математический энциклопедический словарь. –
М.: Советская энциклопедия, 1988.
2. Фрид Э. и др. Малая математическая
энциклопедия. – Будапешт: Изд-во Академия наук
Венгрии, 1976.
3. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика:
Справочные материалы: Кн. для учащихся. – М.:
Просвещение, 1988. – 416 с.
4. Беляева Э.С., Потапов А.С., Титоренко С.А.
Уравнения и неравенства с параметром. В 2 ч. Ч. 1:
учебное пособие. – М.: Дрофа, 2009. – 480 с.
5. Беляева Э.С., Потапов А.С., Титоренко С.А.
Уравнения и неравенства с параметром. В 2 ч. Ч. 2:
учебное пособие. – М.: Дрофа, 2009. – 445 с.