Цели урока:
- обучить решению уравнений разными способами;
- развивать мышление учащихся;
- формировать приемы умственной и исследовательской деятельности.
ХОД МЕРОПРИЯТИЯ
Дорогой друг!
Тебя приветствует
Персональный компьютер!
Желаю успехов в
Решении уравнений.
Выбери нужный
Режим работы:
1 – обучение решению уравнений.
2 – проверка умения решать уравнения.
3 – решение уравнений компьютером.
Сцена первая
Мальвина. Но мы умеем решать только очень простые уравнения, а сложные не умеем. Поэтому я предлагаю заняться решением. Выбираю первый режим.
Пьеро. Может быть, лучше второй.
Винтик. Мне кажется, что нужно выбрать третий. Пусть компьютер решает уравнения.
Мальвина. Я считаю, что тот, кто не умеет решать уравнение и не хочет этому научиться, тот невежда.
Шпунтик. Но нам с Винтиком очень хочется посмотреть именно то, как компьютер решает уравнения. Очень, очень!
Мальвина. Ну, хорошо, посмотрим, как компьютер решает уравнение.
На дисплее появляются надпись: Введи уравнение, которое нужно решить.
Мальвина и Пьеро совещаются и предлагают компьютеру уравнение: 12 * (х – 2) = 3х – 6.)
Надпись на дисплее: Выбери режим решения: 1 – вычислительный, 2 – пошаговый.
Буратино. Надо, чтобы компьютер решил сразу. Выбираем вычислительный режим.
Надпись на дисплее: Ответ: х = 2
Пьеро. Вдруг компьютер решил неверно? Давайте проверим: подставим в данное уравнение вместо х число 2. Если поучим верное числовое равенство, то 2 – корень уравнения
12 * (2 – 2) = 3 * 2 – 6;
12 * 0 = 6 – 6;
0 = 0 – истина.
ЭВМ нашла ответ, ей огромнейший привет!
Мальвина. Но если мы будем получать только готовые ответы, то мы не научимся решать уравнения без машины. Надо обязательно посмотреть, как машина прорешает это же уравнение по шагам.
Дисплей: 1шаг: 12х – 24 = 3х – 6
Пьеро. О! компьютер умеет раскрывать скобки.
Дисплей: 2 шаг: 12х – 3х = 24 – 6.
Буратино. Посмотрите! Посмотрите! Компьютер собрал все х вместе и все числа тоже вместе.
Винтик. Умная машина! Она ищет, сколько раз переменная встречается в этом уравнении.
Мальвина. Мальчики! Вы обратили внимание на то, как компьютер это сделал? Он перенес 3х из правой части уравнения в левую, изменив его знак на противоположенный.
Пьеро. Удивительно! Число 24 перешло в правую часть уравнения тоже с противоположенным знаком!..
Шпунтик. Можно ли так делать: переносить числа и неизвестные из одной части уравнения в другую, пусть даже меняя знаки? Может быть, компьютер сломался?
Сверчок. Компьютер работает исправно. Я постараюсь убедить тебя в том, что второй шаг выполнен верно. Проанализируй следующие равенство:
12х – 24 = 3х – 6; (1)
12х – 24 + (– 3х) = 3х – 6 + (– 3х); (2)
12х – 3х – 24 = 6. (3)
Сверчок. Неизвестные можно собирать как в левой части уравнения, так и в правой; но обычно переносят слагаемые с неизвестными в левую часть уравнения.
Буратино. Ну, и что делать?
Дисплей: 3 шаг. 9х = 18.
Мальвина. Это ясно: компьютер привел подобные в левой и правой части уравнения.
Буратино. Что будет делать компьютер дальше понятно!
Дисплей: 4 шаг: х = 2
Сцена вторая. Алгоритм решения
Пьеро. У меня идея! Я, возможно, решил
бы это уравнение лучше, чем машина. Объясню. К
обеим частям равенства можно не только
прибавлять одно и тоже число, но и обе части
равенства можно умножать и делить на одно и то же
число.
Я заметил, что в нашем уравнении 12(х – 2) = 3х–
6 обе его части можно разделить на 3. Получим 4 * (х
– 2) = х – 2. Теперь обе части можно разделить
на (х – 2). Получим 4 = 1 …!!? Вот это да… Ничего
не понимаю. Все, кажется, делал правильно, а
получилась чепуха.
Сверчок. Начало твоих рассуждений мне было очень симпатично. Ты, действительно, мог бы более простой ход решения, чем машина, если бы был более аккуратным в формулировки и применении свойства равенства: равенство не нарушится, если обе его части разделить на одно и то же число, отличное от нуля. Делить на (х – 2) нельзя, так как при х, равному двум, это выражение оказывается равным нулю. Теперь доведешь свое решение до конца с учетом моих советов?
Пьеро. Дальше работаю, как машина,
только с более простым коэффициентами. Раскрываю
скобки. Получаю 4х – х = – 2 + 8. Переношу
все члены с неизвестными в левую часть, остальные
– в правую, не забывая при этом менять знак на
противоположный.
4х – х = – 2 + 8.
Привожу подобные члены:
3х = 6.
Делю каждую часть уравнения на 3 – коэффициент
при х. Получаю х = 2.
Мальвина. Вы знаете, пробовала записать алгоритм решения уравнения компьютером. Вот что получилось:
1. Раскройте скобки.
2. Перенесите члены, содержащие неизвестные,
в левую часть уравнения, а остальные – в правую.
3. Приведите подобные члены.
4. Разделите обе части уравнения на
коэффициент при неизвестном.
Винтик. Хорошо бы еще сделать проверку.
Шпунтик. Это никогда не повредит.
Буратино. Я бы решил это уравнение иначе, похитрее. Вернемся к уравнению: 4 * (х – 2) = х – 2. В правой и левой его частях есть выражение (х – 2). Если его из правой части перенести в левую, то можно будет воспользоваться распределительным знаком умножения.
Пьеро. Все члены уравнения собрали в левой части. Значит, справа – нуль.
4(х – 2) – (х – 2) = 0;
(х – 2) * (4 – 1) = 0;
(х – 2) * 3 = 0;
х = 2.
Сцена третья. Число корней
Шпунтик. Хорошее решение! А почему же компьютер так не решает?
Сверчок. Дело в том, что компьютер выполняет то, что записано в его программе, алгоритме, и ничего больше. Мальвина верно записала алгоритм, по которому решает компьютер. Этого алгоритма компьютеру вполне достаточно, чтобы очень быстро решать любое уравнение из любого задачника.
Буратино. А если в уравнении нет скобок, то как будет действовать машина?
Сверчок. Хороший вопрос! В этом случае машина со второго шага алгоритма.
Мальвина. Если я поняла правильно, то для того, чтобы решать уравнения, можно использовать полученный алгоритм. Иногда же, для упрощения решения, полезно применять некоторые хитрости. Например, если все члены уравнения содержат общий числовой множитель, то на него можно разделить обе части уравнения. Если есть возможность, и это приведет к упрощению уравнения, то применяем распределительный закон умножение относительно сложению. Может быть уважаемый Сверчок, Вам известны еще какие-то “хитрости” в решении уравнений!
Сверчок. Ты совершенно права, Мальвина. Что касается других примеров решения таких уравнений, то могу порекомендовать следующее. Если вы заметите, что слева и справа в уравнении имеются одинаковые слагаемые, то можете их вычеркнуть и на следующем шаге не писать.
Подумайте, почему?
Например:
2(х – 2) = 3(х + 6) – 4;
2х – 4 = 3х + 18 – 4;
2х = 3х + 18
2х – 3х = 18
– х = 18
х = – 18.
Приведу еще два примера уравнений.
1) 3(2х – 2) = 6х + 5
Решение:
6х – 6 = 6х + 5;
6х – 6х = 6 + 5;
0 * х = 11
Пьеро. Опять, наверное, ошибка в преобразованиях. Такого же не может быть: 0 * х = 11.
Сверчок. Проверим вместе. Нет! Все преобразования выполнены верно.
Буратино. Таких уравнений не бывает.
Мальвина. Уравнение записано, значит, оно есть. Просто-напросто уравнение 3 * (2х – 2) = 6х + 5 не имеет корней. Потому что, если бы это уравнение имело корень, то и все уравнения, получающие в результате сделанных преобразований, имели этот же корень. Однако нет такого числа, которое умножили на 0, а получили 11.
Винтик. Как только раскрыли скобки, то я сразу понял, что уравнение 3 * (2х – 2) = 6х + 5 не имеет решения. Ведь равенство 6х – 6 = 6х + 5 невозможно ни при каком значении х. дальше можно было не решать.
Сверчок. Еще одно уравнение:
2) 3(2х – 2) = 6х – 6.
Решение:
6х – 6 = 6х – 6;
6х – 6х = 6 – 6;
0 * х = 0.
(Раздаются голоса: Равенство верно при любом х!)
Сверчок. Молодцы! Решением уравнения 3(2х – 2) = 6х – 6 является любое число.
Винтик. Давайте добудем задачник и порешаем уравнение из него.
- 87 – х = 39.
- z + 24 = 43.
- y – 27 = 45.
- 38 + y – 18 = 31.
- 63 – (25 + z) = 26.
- 375 – (x – 218) = 123.
- (x + 624) – 276 = 357.
- 165 – (y + 112) = 37.
Буратино. Такие уравнения можно придумывать самому. Я объявляю конкурс на звание ”Лучший уравнитель”. Суть конкурса – составить такие уравнения, чтобы, прорешав их, каждый научился решать уравнения.