«Величие человека в его способности мыслить».
Блез Паскаль.
Цели урока:
1) Обучающие – познакомить учащихся с однородными уравнениями, рассмотреть методы их решения, способствовать формированию навыков решения ранее изученных видов тригонометрических уравнений.
2) Развивающие – развивать творческую активность учащихся, их познавательную деятельность, логическое мышление, память, умение работать в проблемной ситуации, добиваться умения правильно, последовательно, рационально излагать свои мысли, расширить кругозор учащихся, повышать уровень их математической культуры.
3) Воспитательные – воспитывать стремление к самосовершенствованию, трудолюбие, формировать умение грамотно и аккуратно выполнять математические записи, воспитывать активность, содействовать побуждению интереса к математике.
Тип урока: комбинированный.
Оборудование:
- Перфокарты для шести учащихся.
- Карточки для самостоятельной и индивидуальной работы учащихся.
- Стенды «Решение тригонометрических уравнений», «Числовая единичная окружность».
- Электрифицированные таблицы по тригонометрии.
- Презентация к уроку (Приложение 1).
Ход урока
1. Организационный этап (2 минуты)
Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания.
Учитель сообщает учащимся тему урока, цели (слайд 2) и поясняет, что во время урока будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.
2. Повторение теоретического материала (15 минут)
Задания на перфокартах (6 человек). Время работы по перфокартам – 10 мин (Приложение 2)
Решив задания, учащиеся узнают, где применяются тригонометрические вычисления. Получаются такие ответы: триангуляция (техника, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии), акустика, УЗИ, томография, геодезия, криптография.
(слайд 5)
Фронтальный опрос.
- Какие уравнения называются тригонометрическими?
- Какие виды тригонометрических уравнений вы знаете?
- Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?
- Какие уравнения называются квадратными тригонометрическими?
- Сформулировать определение арксинуса числа а.
- Сформулировать определение арккосинуса числа а.
- Сформулировать определение арктангенса числа а.
- Сформулировать определение арккотангенса числа а.
Игра «Отгадайте зашифрованное слово»
Когда-то Блез Паскаль сказал, что математика – наука настолько серьёзная, что нельзя упускать случая, сделать её немного более занимательной. Поэтому я предлагаю поиграть. Решив примеры, определите последовательность цифр, по которой составлено зашифрованное слово. По латыни это слово означает «синус». (слайд 3)
1) arc tg 1
2) arc tg (-√3)
3) arc tg 0
4) tg (arc cos (1/2))
5) tg (arc ctg √3)
Б |
1/√3 |
И |
π/4 |
З |
- π/3 |
Т |
π/6 |
Г |
0 |
С |
2 π |
И |
√3 |
Ответ: «Изгиб»
Игра «Рассеянный математик»
На экран проектируются задания для устной работы:
Проверьте правильность решения уравнений. (правильный ответ появляется на слайде после ответа учащегося). (слайд 4)
|
Ответы с ошибками |
Правильные ответы |
cos x = 1/2 |
х = ±π/6+2πn |
х = ±π/3+2πn |
sinx = √3/2 |
х = π/3+πn |
х = (-1)nπ/3+πn |
tg x = π/4 |
х = 1+πn |
tg x =1, х = π/4+πn |
cos x = √3/2 |
х = ±π/6+πn |
х = ±π/6+2πn |
sin x = 1/3 |
х = (-1)n arcsin1/3+ 2πn |
х = (-1)n arcsin1/3+ πn |
cos x = -√3/2 |
х = ±π/6+2πn |
х = ±5π/6+2πn |
cos x = π/3 |
х = ±1/2+2πn |
cos x = 1/2, х = ±π/3+2πn |
Проверка домашнего задания.
Преподаватель установливает правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; выявляет пробелы в знаниях; совершенствует знания, умения и навыки учащихся в области решения простейших тригонометрических уравнений.
1 уравнение. Учащийся комментирует решение уравнения, строки которого появляются на слайде в порядке следования комментария). (слайд 6)
√3tg2x = 1;
tg2x =1/√3;
2х= arctg 1/√3 +πn, n ∈Z.
2х= π/6 +πn, n ∈Z.
х= π/12 +π/2n, n ∈Z.
2 уравнение. Решение записывается учащимся на доске.
2 sin2x + 3 cosx = 0.
3. Актуализация новых знаний (3 минуты)
Учащиеся по просьбе учителя вспоминают способы решения тригонометрических уравнений. Они выбирают те уравнения, которые уже умеют решать, называют способ решения уравнения и получившийся результат. Ответы появляются на слайде. (слайд 7) .
Введение новой переменной:
№1. 2sin2x – 7sinx + 3 = 0.
Пусть sinx = t, тогда:
2t2 – 7t + 3 = 0.
Разложение на множители:
№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;
сos4x(3sinx – 1) = 0;
cos4x = 0 или 3 sinx – 1 = 0; …
№3. 2 sinx – 3 cosx = 0,
№4. 3 sin2x – 4 sinx cosx + cos2x = 0.
Преподаватель: Последние два вида уравнений вы решать еще не умеете. Оба они одного вида. Их нельзя свести к уравнению относительно функций sinx или cosx. Называются однородными тригонометрическими уравнениями. Но только первое – однородное уравнение первой степени, а второе – однородное уравнение второй степени. Сегодня на уроке предстоит познакомиться с такими уравнениями и научиться их решать.
4. Объяснение нового материала (25 минут)
Преподаватель дает учащимся определения однородных тригонометрических уравнений, знакомит со способами их решения.
Определение. Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0 называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени. (слайд 8)
Примером такого уравнения является уравнение №3. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его.
а sinx + b cosx = 0.
Если cosx = 0, то sinx = 0.
– Может ли получиться такая ситуация?
– Нет. Получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.
Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cosx:
а · tgx + b = 0
tgx = –b / а – простейшее тригонометрическое уравнение.
Вывод: Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (sinx).
Например: 2 sinx – 3 cosx = 0,
Т.к. cosx ≠ 0, то
2tgx – 3 = 0;
tgx = 3/2;
х = arctg (3/2) +πn, n ∈Z.
Определение. Уравнение вида a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 называется тригонометрическим уравнением второй степени. (слайд 8)
Примером такого уравнения является уравнение №4. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его.
a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0.
Если cosx = 0, то sinx = 0.
Опять получили противоречие основному тригонометрическому тождеству.
Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cos2x:
а tg2x + b tgx + c = 0 – уравнение, сводящееся к квадратному.
Вывод: Однородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на cos2x (sin2x).
Например: 3 sin2x – 4 sinx cosx + cos2x = 0.
Т.к. cos2x ≠ 0, то
3tg2x – 4 tgx + 1 = 0 (Предложить ученику выйти к доске и дорешать уравнение самостоятельно).
Замена: tgx = у. 3у2– 4 у + 1 = 0
D = 16 – 12 = 4
y1 = 1 или y2 = 1/3
tgx = 1 или tgx = 1/3
tgx = 1:
x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z.
tgx = 1/3:
х = arctg1 + πn, n ∈Z.
x = π/4 + πn, n ∈Z.
5. Этап проверки понимания учащимися нового материала (1 мин.)
Выберите лишнее уравнение:
sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;
√3sinx + cosx = 0; sin2x – 2 sinx cosx + 4cos2x = 0;
4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.
(слайд 9)
6. Закрепление нового материала (24 мин).
Учащиеся вместе с отвечающими у доски решают уравнения на новый материал. Задания написаны на слайде в виде таблицы. При решении уравнения открывается соответствующая часть картинки на слайде. В результате выполнения 4-х уравнений перед учащимися открывается портрет математика, оказавшего значительное влияние на развитие тригонометрии. (ученики узнают портрет Франсуа Виета – великого математика, внесшего большой вклад в тригонометрию, открывшего свойство корней приведенного квадратного уравнения и занимавшегося криптографией). (слайд 10)
1) √3sinx + cosx = 0,
Т.к. cosx ≠ 0, то
√3tgx + 1 = 0;
tgx = –1/√3;
х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z.
х = –π/6 + πn, n ∈Z.
2) sin2x – 10 sinx cosx + 21cos2x = 0.
Т.к. cos2x ≠ 0, то tg2x – 10 tgx + 21 = 0
Замена: tgx = у.
у2 – 10 у + 21 = 0
у1 = 7 или у2 = 3
tgx = 7 или tgx = 3
tgx = 7:
х = arctg7 + πn, n ∈Z
tgx = 3:
х = arctg3 + πn, n ∈Z
3) sin22x – 6 sin2x cos2x + 5cos22x = 0.
Т.к. cos22x ≠ 0, то 3tg22x – 6tg2x +5 = 0
Замена: tg2x = у.
3у2 – 6у + 5 = 0
D = 36 – 20 = 16
у1= 5 или у2 = 1
tg2x = 5 или tg2x = 1
tg2x = 5:
2х = arctg5 + πn, n ∈Z
х = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z
tg2x = 1:
2х = arctg1 + πn, n ∈Z
х = π/8 + π/2 n, n ∈Z
4) 6sin2x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.
6sin2x + 4 sinx cosx = 1.
6sin2x + 4 sinx cosx – sin2x – cos2x = 0.
5sin2x + 4 sinx cosx – cos2x = 0.
Т.к. cos2x ≠0, то 5tg2x + 4 tgx –1 = 0
Замена: tg x = у.
5у2 + 4у – 1 = 0
D = 16 + 20 = 36
у1 = 1/5 или у2 = –1
tg x = 1/5 или tg x = –1
tg x = 1/5:
х = arctg1/5 + πn, n ∈Z
tg x = –1:
х = arctg(–1) + πn, n ∈Z
х = –π/4 + πn, n ∈Z
Дополнительно (на карточке):
Решить уравнение и, выбрав один вариант из четырех предложенных, отгадать имя математика, который вывел формулы приведения:
2sin2x – 3 sinx cosx – 5cos2x = 0.
Варианты ответов:
х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z – П.Чебышев
х = arctg 12,5 + 2πn, n ∈Z х = –3π/4 + πn, n ∈Z – Евклид
х = arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z – Софья Ковалевская
х = arctg2,5 + πn, n ∈Z х = –π/4 + πn, n ∈Z – Леонард Эйлер
Правильный ответ: Леонард Эйлер.
7. Дифференцированная самостоятельная работа ( 8 мин.)
Великий математик и философ более 2500 лет назад подсказал способ развития мыслительных способностей. «Мышление начинается с удивления» – сказал он. В правильности этих слов мы сегодня неоднократно убеждались. Выполнив самостоятельную работу по 2-м вариантам, вы сможете показать, как усвоили материал и узнать имя этого математика. Для самостоятельной работы используйте раздаточный материал, который находится у вас на столах. Вы можете сами выбрать одно из трех предложенных уравнений. Но помните, что решив уравнение, соответствующее желтому цвету, вы сможете получить только «3»,решив уравнение, соответствующее зеленому цвету – «4», красному цвету – «5». (Приложение 3)
Какой бы уровень сложности не выбрали учащиеся, после правильного решения уравнения у первого варианта получается слово «АРИСТ», у второго – «ОТЕЛЬ». На слайде получается слово: «АРИСТ—ОТЕЛЬ». (слайд 11)
Листочки с самостоятельной работой сдаются на проверку. (Приложение 4)
8. Запись домашнего задания (1 мин)
Д/з: §7.17. Составить и решить 2 однородных уравнения первой степени и 1 однородное уравнение второй степени (используя для составления теорему Виета). (слайд 12)
9. Подведение итогов урока, выставление оценок (2 минуты)
Учитель еще раз обращает внимание, на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их.
Учащиеся отвечают на вопросы:
- С каким видом тригонометрических уравнений мы познакомились?
- Как решаются эти уравнения?
Учитель отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет отметки.