Производная и ее применение

Форма урока: обобщающий урок по теме.

Цели урока:

Образовательная:

• Обобщить знания учащихся по изученной теме;
• Формирование вычислительных навыков по теме и умений их применять в различных ситуациях.

Развивающая:

• Расширить кругозор, формировать абстрактное мышление, творческие способности учащихся;
• Развитие индивидуальных способностей;

Воспитательная:

• воспитание на уроке воли и упорства для достижения конечных результатов.

Оборудование урока: мультимедийный проектор, компьютер, презентация к уроку (Приложение).

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

На доске надпись-объявление:

Внимание!
В 11 «А» классе 28 января состоится обобщающий урок
по теме «Производная и её применение».

II. Актуализация ЗУН учащихся.

Учитель: Ребята! Сегодня бенефис производной!

А.Н. Крылова как-то сказал, что теория без практики мертва или бесплодна, практика без теории невозможна или пагубна, Для теории нужны знания, для практики сверх всего того, и умение.

Так давайте же свои знания, умения применим на практике! Желаю озаренья!

Учитель: Для чего мы изучали понятие производной? Где можем её применить?

Учащиеся дают свои ответы.

III. Активизация ЗУН учащихся. (Фронтальный опрос)

Что мы знаем о производной?

Учащиеся сами раскрывают тему, поправляя друг друга при допущении ошибок, работая устно по графику производной функции. (слайд 1)

Функция y=f(x) определена на промежутке [-5;7).

f'(x)>0 при х

f'(x) <0 при х

• Назовите стационарные точки функции y=f(x) и объясните. (ответ: -3; 1; 5)
• Укажите критические точки функции y=f(x) и объясните. (ответ: -3; 1; 5; 7)
• Каковы точки экстремума? Почему? (ответ: х_max=1 ; x_min=-3 ; х_min=5)
• Назовите промежутки возрастания и убывания функции y=f(x) с полным объяснением. (ответ: [-3; 1];[5; 7] – промежутки возрастания функции y=f(x), а [-5; -3]; [1; 5] -убывания )
• Определите количество касательных к графику функции y=f(x), укажите абсциссы точек касания. (ответ: 3. х₀=-3; х₀=1; х₀=5) Объясните почему?

А сейчас попробуйте построить эскиз графика непрерывной функции y=f(x),обладающего всеми перечисленными выше свойствами и с учётом того, что

D(f)=[-5;7]
'f(-1)=0
f(3)=0
f(5)=-5
f(1)=3,5
f(-3)=-3

Учащиеся у доски строят эскиз графика функции y=f(x),

Учитель: Ребята, вернемся к графику производной (слайд 1)

1. Представьте, что к графику функции y=f(x) провели касательные во всех точках, абсциссы которых – целые числа. Укажите количество точек графика функции y=f(x), в которых проведённые касательные имеют положительные угловые коэффициенты.
   Учащиеся отвечая на вопрос вспоминают, что tgα=f'(x₀), где х₀ – абсциссы точек касания. (Ответ: 3 числа)

2. По графику производной функции y=f(x) укажите абсциссы точек, в которых касательные к графику функции y=f(x) имеют наибольший и наименьший угловые коэффициенты.
   Учащиеся объясняют свои ответы. (Ответ: наибольший при х₀=6,5; наименьший при х₀=-4,5)

3. Объясните, как можно определить количество касательных к графику функции y=f(x) ,которые составляют угол 120° и 45° с положительным направлением оси абсцисс?
   Учащиеся по графику производной (слайд 1) объясняют решение задачи. (Ответ:3 точки касания в обоих случаях)

IV. Практическая часть.

1. Самостоятельная работа на 8 мин. с последующей проверкой. (слайд 2)

1a. Постройте эскиз графика непрерывной функции y=f(x) ,обладающего следующими свойствами:

• D(f)=[-2; 2)
• f'(x)>0 , xU (1; 2)
• f'(x)<0 , x
• f'(1)=0, F'(-1)=0, х_min=1
• Наибольшее значение функция принимает равное 4 .
• Наименьшее значение – (-2).

Например, один из вариантов

1б. Ответьте по вашему эскизу на вопросы.

Учащиеся фиксируют свои ответы в тетрадях.

Вопросы

• Назовите D(у) и Е(у) (ответ: [-2; 2); [-2; 4])
• Укажите стационарные точки функции y=f(x) (ответ: -1; 1)
• Определите экстремумы функции y=f(x). (ответ: х_max=-1; х_min=1)
• Что можно сказать о точке х0=0 (ответ: это не точка экстремума, т.к. функция y=f(x) на промежутке [-1; 1] убывающая)
• Найдите промежутки возрастания и убывания функции y=f(x). (ответ: [-2; -1]; [1; 2) – возрастания; [-1; 1] – убывания)
• Касательные к графику функции y=f(x) в точках касания имеют абсциссы равные…? (ответ: -1; 1)

Учащиеся обмениваются тетрадями и проверяют ответы друг у друга, ставя «+» или «-». Спорные вопросы помогает разрешить учитель.

1в. Известно, что прямая пересекает ось ординат при у=1, касается графика функции y=f(x) в точке А(-4; 7).Найдите f'(-4). Ответ: -1, 5.

Это задание проверяют учащиеся вместе с учителем, ставя «+» или «-» сами себе.

По итогам самостоятельной работы можно выставить оценки

2. Решение текстовых задач.

2a. Материальная точка движется по прямой согласно закону s(t)=12t²2/3·t³,где S(t) – путь в м, t – время в с. В какой момент времени из промежутка [4; 10] скорость движения точки будет наибольшей и какова величина этой скорости? Ответ: 6 с, 72 м/с.

Учащиеся делают вывод о физическом смысле производной.

2б. Кусок проволоки длиной 48 м сгибают так, чтобы образовался прямоугольник. Какую длину должны иметь стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? Ответ:12 м, 12 м.

Учащиеся делают вывод о практическом применении понятия производной в жизненных ситуациях.

Учитель:

– А ещё ребята, с помощью производной в математике можно решить некоторые задачи:

А) Доказать, что уравнение 1-х³-х⁵=0 имеет только один действительный корень. Причём этот корень – в промежутке(0;1).

Б) Доказать, что при х≥0 имеет место неравенство х²-х³<1/6 (можно графически)

– Кто заинтересовался, попробуйте найти решение сами, если не получится, то на групповом занятии мы вместе рассмотрим решения этих задач.

V. Итог урока.

Учитель: Итак, что же мы с вами ребята, сделали на уроке?

Учащиеся:

Сегодня мы провели урок- обобщения ЗУН по теме «Производная и её применение»;

• Вспомнили геометрический и физический смысл производной.
• Обсудили вопросы, связанные с исследованием графика производной и самой функции.
• При выполнении практических заданий ещё раз отметили значимость производной.

VI. Домашнее задание.

1. Творческое задание. Из листа бумаги со стороной 10 см сделайте короб, чтобы он имел наибольший объём.
2. Индивидуальные карточки. Например:
   а) Найти экстремумы функции f(x)=0,5х⁴-х².
   б) Определите количество касательных к графику функции f(x) тангенс угла наклона которых к положительному направлению оси ОХ равен 1