Теорема косинусов. Следствия из теоремы косинусов. 9-й класс

Тип урока: Урок – семинар.

Вид урока: Урок формирования умений и навыков, применения теоремы косинусов, ее следствий при решении задач и доказательства теорем.

Цели урока:

• Образовательные:
  1. Совершенствовать навыки решения задач с использованием теоремы косинусов и ее следствий.
  2. Вывести формулу о медиане треугольника и показать применение этой формулы при решении задач.
  3. Ознакомить учащихся с методом дополнительных построений при выводе формул и при решении задач.
• Развивающая:
  1. Формирование и совершенствование умений обобщать путем сравнения, постановка и решение проблем, рассуждение по аналогии, оперирование уже знакомыми геометрическими понятиями и фактами.
  2. Развивать психологические характеристики личности учащихся: выдвижению гипотез, формированию проблем.
  3. Развивать психические свойства: память, воображение.
• Воспитательные:
  1. Отрабатывать навыки устной речи.
  2. Воспитывать умение слушать друг друга и учителя.

Ход урока

1. Организационный момент.

• Приветствие.
• Сегодня мы с вами продолжим работу по теме : “Теорема косинусов и ее следствия”. Используя метод дополнительного построения, выведем формулы для вычисления медиан треугольника и применим ее при решении задач.

2. Проверка домашнего задания.

• Устно формулируем теорему косинусов, ее следствия.
• Анализируем ответы и этапы решения домашних задач.

№ 1.

Определите вид треугольника заданного своими сторонами 17, 8,15.

Решение:

Наибольший угол лежит против стороны, равной 17, то по следствию из теоремы косинусов:

Треугольник прямоугольный.

Ответ: треугольник прямоугольный.

№ 2.

Найдите сторону АВ в треугольнике АВС,

№3

Найдите сторону АС равнобедренного треугольника АВС , если АВ=ВС=4 и медиана АД равна 3.

3. Вывод формулы для вычисления медианы треугольника, если известны все стороны треугольника.

Найдите медиану треугольника АВС с известными сторонами а,в,с.

Отложим отрезок ДК на продолжении медианы ВД, равный ВД. Соединим точки А, К и С,К. Получившийся четырехугольник параллелограмм по признаку( диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам).

Применим следствие из теоремы косинусов для параллелограмма:

ВК² + АС² = 2АВ² + 2ВС²

Значит, (2m_в)² + в² = 2с² + 2а² или 4m_в² = 2с² + 2а² – в²

Запишем аналогичные формулы, для медиан проведенные к другим сторонам:

Решим домашнюю задачу с использованием этой формулы.

Делаем вывод о том, какое решение рациональней.

4. Вопрос: Можно ли найти сторону треугольника, если известны все ее медианы? Выведем формулу для вычисления стороны треугольника по ее медианам. Для этого воспользуемся опять дополнительным построением.

Учащийся у доски выводит формулу.

– Какое дополнительное построение будем проводить?

– Какую фигуру получили и почему?

– Какую теорему будем применять?

– Вывод?

Применим следствие из теоремы косинусов для параллелограмма АОСО₁:

Аналогично для других сторон :

Зная метод вывода формулы, всегда можно ее получить.
Применим эту формулу для решения задач. Учащиеся самостоятельно решают, затем проверка на доске.

№ 1 В треугольнике АВС сторона АС равна 20, а медианы , проведенные к другим сторонам равны 18 и 24 соответственно. Найдите третью медиану треугольника.

Метод дополнительного построения используется и при решении задач.

№ 2 Найдите площадь остроугольного треугольника АВС,

5. Подведение итогов урока:

• Какие новые формулы изучили на уроке?
• Какой метод применяли для доказательства теорем и решения задач?

6. Домашнее задание:

1. Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны 27 и 29, а медиана проведенная к третьей стороне равна 26.
2. Найдите площадь остроугольного треугольника АВС,

Математика, правильно понятая, обладает не только истинной, но так же величайшей красотой.
Бертран Рёссель