1. Введение
2. Решение простых задач на умножение и деление.
Задачи на умножение, деление по содержанию и деление на равные части. Задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз и задачи на кратное сравнение.
Задачи на нахождение части числа, числа по величине его части, задачи типа: “Какую часть составляет одно число от другого”.
1. Введение
Перед нашей школой всегда стояла задача построения такой методической системы, которая обеспечивала бы резкое повышение качества знаний при значительной экономии времени, расходуемого на изучение материала. В наше время при все возрастающем потоке информации эта проблема стоит особенно остро.
Еще в 60-е годы Комиссией по определению содержания обучения математике, работающей в АПН СССР, был разработан проект программы по математике. Авторы проекта одним из главных средств ускоренного и сознательного изучения материала в школе считали изменение структуры существующих программ, осуществление более целесообразной группировки вопросов, рациональной группировки вопросов, рациональной последовательности разделов, то есть применение метода противопоставления на уроках математики.
Общепринятая традиционная система обучения математике соблюдает принцип раздельного изучения взаимосвязанных понятий или преобразований. При одновременном изучении взаимосвязанных вопросов в пределах одних и тех же уроков дидактической единицей усвоения становится более крупная единица знаний, чем в случае раздельного изучения их. Переход в обучении к более крупным дидактическим единицам усвоения знаний дает экономию сил и времени.
При изучении задач в курсе математики, как простых, так и сложных, как обычных арифметических, так и типовых оказывается высоко эффективным систематическое применение так называемого метода обратных задач.
Успех обучения решению задач посредством преобразования прямой задачи в обратные задачи объясняется как первопричиной тем, что такой путь заставляет поднимать из сферы подсознания наибольшее разнообразие связей, заключенных в содержании задачи. Это и обеспечивает – на языке дидактики – глубокое и прочное усвоение материала.
На составление и решение обратной задачи уходит несравненно меньше времени, чем на решение новой задачи, так как числовые данные и сюжет остаются прежними; производится здесь лишь логическая операция по переосмыслению ролей чисел; неизвестное в прямой задаче становится известным и наоборот.
Поэтому я взяла для изучения и последующей работы тему “Решение взаимно обратных задач в начальной школе”.
На мой взгляд, самое трудное в начальной школе – научить ребенка грамотно писать, а самое трудное в математике – научить решать задачи.
В процессе работы мне хотелось повысить процент способных детей и уменьшить процент слабых.
Кроме того, в своей работе я стремлюсь к тому, чтобы как можно больший процент детей имел качественный показатель знаний по математике. Далее я опишу, как я этого добиваюсь и каковы результаты молей работы.
Я ознакомилась с мнением различных ученых-методистов (смотреть список литературы) по вопросу классификации задач и решению взаимно обратных задач, как по традиционной, так и по развивающей методике.
Работа со взаимно обратными задачами просматривается у Аритской Н.И., у Свечникова А.А., но у Аритской И.И. нет четкой классификации задач, также, как у Истоминой Н.Б.
Классификация сложных задач в принципе сходна у Эрдниева П.М., Свечникова А.А., Баитовой М.А. но простые задачи Свечников А.А. и Баитова М.А. классифицируют несколько иначе, чем Эрдниев П.М.
За основу я взяла работу над задачами по Эрдниеву П.М., так как на сегодняшний день более четкой классификации задач и методики работы над взаимно обратными задачами я пока не вижу.
Следует отметить существенно важные дидактические достоинства метода обратных задач:
– Во время преобразования задачи учащийся выявляет и использует взаимно обратные связи между величинами задачи:
| Прямая задача | Ц. | К. | С. |
| 30 р. | 6 к. | ? р. | |
| Обратная задача | Ц. | К. | С. |
| 30 р. | ? к. | 180 р. |
– Во время преобразования учащийся практически познает связи между действиями. Полезно, например, обратить внимание учащихся на то, что количество действий при решении прямой и обратной задач совпадает (это правило нарушается крайне редко). Кроме того, полезно знать учащимся следующее явление: каждому действию прямой задачи соответствует действие той же ступени в обратной задаче.
– Количество комбинаций при составлении обратной задачи ограниченно: оно равно количеству данных в задаче.
– Решая обратную задачу, учащийся перестраивает суждения и умозаключения, использованные при решении прямой задачи, преодолевая при этом в мышлении инерцию действий, выполненных при решении прямой задачи.
– Решение обратной задачи представляет проверку решения прямой задачи, то есть при этом возникают благоприятные условия для потоков информации по целям обратных связей в мыслительных процессах (систематическое сочетание прямых и обратных задач вырабатывает важное качество личности – чувство самоконтроля).
– Учащиеся, составляя обратные задачи, знакомятся со значительно большим разнообразием задач, чем в традиционных задачниках.
– При составлении и решении обратных задач выдвигается на первый план анализ и видоизменение математических зависимостей.
Итак, для развития мышления ценны не столько прямые и обратные задачи, взятые вне времени сами по себе, а наиболее важный познавательный элемент заключается в процессе преобразования одной задачи в другую, в сравнении условий, решений, ответов задач, то есть тех “невидимых”, трудно уловимых и трудно изобразимых при логическом анализе элементов мысли, которые связывают решения обеих задач (прямой и обратной).
Однако нельзя забывать, что переходы эти осуществляются во времени: чем меньше интервал времени между противоположными процессами решения взаимно обратных задач, тем быстрее и чаще будут совершаться эти переходы и тем прочнее будут сохраняться в памяти следы этих переходов, то есть тем более глубокими и основательными окажутся осваиваемые знания.
2. Решение задач на умножение и деление.
Связи между умножением и делением в той же мере взаимно обратны, в какой взаимно обратны действия сложения и вычитания. Классификация задач по теме: “Умножение и деление” выглядит следующим образом (таблица прилагается).
2.1. Умножение, деление по содержанию и деление на равные части.
На трех первых уроках, специально посвященных умножению. Выясняется смысл понятия умножения как свернутого сложения равных слагаемых (о делении пока не говорится).
Этого времени достаточно для изучения таблицы умножения на 2.
На следующих уроках к каждому из известных случаев умножения приводится соответствующий случай деления. В дальнейшем умножение и деление по содержанию рассматриваются только совместно на одних и тех же уроках.
При введении понятия деления необходимо вспомнить соответствующие случаи умножения, чтобы создать понятие о новом действии. Обратном умножению.
Понятие “умножение” приобретает богатое содержание: оно не только результат сложения равных слагаемых, но и основа, исходный элемент деления, которое представляет свернутое вычитание равных вычитаемых.
Смысл умножения постигается не столько при самом умножении, сколько при постоянных переходах между умножением и делением, ибо деление есть завуалированное, “измененное”, обращенное умножение. Это т объясняет, почему выгодно изучать одновременно умножение и деление.
Пусть нужно по 2 взять 3 раза и 6 разделить по 2.
Дети берут по 2 кружочка и отходят в сторону.
– Эти дети будут составлять задачу.
– По 2 взять один раз, получится 2 (один ученик вкладывает 2 кружочка в
наборное полотно),
– По 2 взять 2 раза, получится 4 (аналогично),
– По 2 взять три раза, получится 6.
Запись на доске: по 2 ∙ 3 = 6 (к.)
– Теперь составим обратную задачу. Если в прямой задаче мы собирали кружочки,
то в обратной станем раздавать их.
– По сколько кружочков станем раздавать? (По 2.)
– Сколько всего надо раздать? (6.)
– Беру с полотна 2 кружочка, отдаю ученику – 2 кружочка отдали одному
человеку (и далее аналогично: по 2 кружочка отдали двум
ученикам, по 2 кружочка отдали трем ученикам).
– Сколько всего раздали кружочков?
– Как разделили?
– По сколько делили?
– Скольким ученикам досталось?
На доске запись: 6 : по 2 = 3 (уч.)
| Сравним: |
Умножение по 2 ∙ 3 = 6 |
Деление 6 : по 2 = 3 |
– Читаем еще раз (с наименованием и без)
– Сравним процесс решения задач:
| – взять столько-то раз (∙) – собираем кружки – нашли (подсчитали, получилось) сколько всего кружков |
– разделить по столько-то (:) – раздаем кружки – нашли (подсчитали, получилось) скольким ученикам достались кружки |
На первых уроках по одновременному изучению умножения и деления проводим многократные практические действия по собиранию и раздаче различных предметов. Смысл этих действий показываем в схеме:
Третья операция (деление на равные части) вводится на основе двух ранее известных: умножения и деления по содержанию.
4 ученика принесли по 2 тетради. Сколько всего тетрадей принесли?
По 2 ∙ 4 = 8 (т.)
– Составьте обратную задачу.
8 тетрадей раздали по 2 тетради. Сколько учеников получат тетради?
8 : по 2 = 4 (уч.)
– Составьте третью задачу.
8 тетрадей надо раздать поровну четырем ученикам. По сколько тетрадей достанется каждому?
– У меня в руках 8 тетрадей.
– Скольким ученикам надо раздать по 2 тетради? (Вызываю 4-х учеников.)
– Сначала раздаем по одной тетради каждому ученику. Оставшиеся 4 тетради снова
раздаем по одной тетради.
– Все тетради раздали?
–По сколько тетрадей получил каждый?
8 т. : на 4 = по 2 т.
Далее на уроках по изучению умножения и деления широко используем метод решения взаимно обратных задач.
На опытном участке 4 класса посадили по 3 грядки моркови. Сколько всего грядок посадили?
Краткая запись: по 3 гр. 4 к. ? гр.
Решение: 3 ∙ 4 = 12 (гр.)
– Сколько данных в задаче?
– Сколько чисел найдено?
– Составьте обратную задачу.
12 грядок моркови посажено несколькими классами. Каждый класс посадил по 3 грядки. Сколько классов участвовало в посадке?
Решение: 12 гр. : по 3 гр. = 4 (кл.)
Даю название вида задач: “умножение”, “деление по содержанию” (таблица прилагается).
– Составьте 2-ую обратную задачу: 12 грядок моркови посажен поровну 4 классами. По сколько грядок посажено каждым 7 классом?
Краткая запись: по ? гр. 4 кл. 12 гр.
Решение: 12 гр. : 4 = 3 (гр.)
Далее обязательно сравниваем задачи.
2.2. Задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз и задачи на кратное сравнение величин.
По характеру связей данная тройка задач совершенно аналогична задачам на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц и разностное сравнение величин.
Тетрадь стоит 6 рублей, а альбом в 4 раза дороже. Сколько стоит альбом?
Краткая запись: 6 р. в 4 раза дороже ? р.
– Какова цена тетради?
– Цена альбома?
– Что это значит? (Вместо 1 альбома можно купить 4 т.)
– Как найти стоимость 4х тетрадей?
По 6 р. ∙ 4 = 24 (р.)
Обратная задача. Если альбом в 4 раза дороже, то тетрадь – ? (В 4 раза дешевле.)
Краткая запись: ? р. в 4 раза дешевле 24 р.
– Во сколько раз тетрадь дешевле альбома?
– 24 р. – что означает это число? (Цена альбома.)
– Что надо узнать? (Цену тетради.)
– За что уплатили меньше?
– В предыдущей задаче мы выполнили умножение и нашли цену альбома, так как за
него уплатили больше, чем за тетрадь. А за тетрадь уплатили в 4 раза меньше.
– Каким действием найдем цену тетради?
24 р. : на 4 = 6 (р.)
– Сравниваем условия, решения задач. В прямой задаче была дана цена тетради.
Что требовалось найти? (Цену альбома.)
– А в обратной задаче? (Наоборот.)
– Какое число входило в условие обеих задач? (В 4 раза.)
– В чем разница между задачами? (В 4 раза дороже – уплатили больше – действие
умножения, в 4 раза дешевле – уплатили меньше – действие деления.)
– Какая из задач на увеличение числа, какая – на уменьшение? (Таблица.)
Результатом этого анализа является упрочение в мыслительной практике учащихся двух рядов ассоциаций: дороже в а раз → умножить на а, дешевле в а раз → разделить на а.
Затем применяем обратный переход от задачи на умножение к задаче на увеличение, а от них к понятию “кратное” сравнение.
Изучение темы завершаем упражнениями, когда по одному сюжету и набору чисел составляются все три задачи.
Школьник весит 24 кг, а его ранец с книгами 3 кг. Во сколько раз ученик тяжелее ранца с книгами?
24 кг 3 кг ? кг
24 : 3 = 8 (раз)
Ранец школьника весит 3 кг, а сам он в 8 раз тяжелее ранца. Сколько килограмм весит школьник?
? кг 3 кг 8 раз
3 ∙ 8 = 24 (кг)
Школьник весит 24 кг, а его ранец в 8 раз легче. Сколько весит ранец?
24 кг ? кг 8 раз
24 : 8 = 3 (кг)
Далее идет противопоставление задач на разностное и кратное сравнение. Одной из распространенных ошибок учащихся является подмена одного вида сравнения другим.
Чтобы выработать умение различать эти задачи, надо проводить противопоставление задач по трем линиям:
- Увеличение на несколько единиц и увеличение в несколько раз,
- Уменьшение на несколько единиц и уменьшение в несколько раз,
- Разностное сравнение и кратное сравнение.
Иногда решаем задачи с несколькими вопросами.
Валя купила 80 см красной ленты и 20 см синей ленты.
– Сколько сантиметров ленты куплено всего?
80 + 20 = 100 (см)
– На сколько см красная лента длиннее синей?
80 – 20 = 60 (см)
– Во сколько раз красная лента длиннее синей?
80 : 20 = 4 (раза)
Иногда выполняем структурно противоположное упражнение, когда к условию и данным задачи придумываем вопросы.
Книга стоит 35 р., тетрадь – 5 р. Поставьте вопросы, чтобы первая задача решалась делением, вторая – сложением, третья – вычитанием. После этого решаем задачи на умножение и деление, выраженные в косвенной форме.
2.3. Задачи на нахождение части числа, числа по величине его части. Какую часть составляет одно число от другого?
Естественно, что до введения этих задач дети знакомятся с дробями.
В коробке 32 конфеты. Мама разделила их поровну между четырьмя сыновьями. Какая часть конфет досталась каждому? (Четвертая часть – ¼.)
| ¼ | |
32 К.
– Что больше: целая коробка или ее часть?
– Во сколько раз больше?
– Как найти сколько конфет в ¼ коробки?
32 : 4 = 8 (к.)
Обратная задача. В четвертой части коробки 8 конфет. Сколько конфет в целой коробке?
– Где больше конфет: в ¼ или в целой коробке?
– Сколько конфет в целой коробке?
8 ∙ 4 = 32 (к.)
– Сравним условия задач и процессы их решения.
– Какие числа были даны в прямой задаче?
– Что они обозначают?
– А в обратной?
– Скажите вопросы прямой и обратной задач.
– Какими действиями решали задачи?
На следующих уроках выполняем обратные преобразования. После этого вводится третья задача этого цикла.
Купили несколько груш. Третья часть груш составляет 7 груш. Сколько всего было груш?
Краткая запись:
7 гр. 1/3 ? гр.
7 ∙ 3 = 21 (гр.)
Обратная задача. Купили 21 грушу. Сколько груш составляет 1/3 часть?
? гр. 1/3 21 гр.
21 : 3 = 7 (гр.)
Обратная задача. Какую часть составляет 7 яблок от 21 яблока?
– Во сколько раз 21>7?
– Как это найти? 21 : 7 = 3 (раза)
– Какую часть составляет 7 яблок от 21 яблока? (Третью.)
Затем выполняются закрепительные упражнения по решению задач на умножение и деление.