Цели:
- Образовательная: формирование представлений о комплексных числах, о простейших операциях над ними.
- Воспитательная: выведение формулы для достижения успеха в любой области; воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики.
- Развивающая: расширение математического кругозора; развитие элементов алгоритмической культуры; развитие критичности мышления на уровне, необходимом для будущего обучения.
ХОД УРОКА
1 Организационный момент
2. Вводные рассуждения
В виде небольшой беседы ребята дают много разных ответов, я подвожу их к тем, которые будут записаны в скобках.
– Наша наука математика похожа на айсберг.
Почему? (Такая же всеобъемлющая, как многотонная
глыба льда).
– Какую часть айсберга представляет школьная
математика? (Конечно, верхушку).
– Сегодня на уроке мы опустимся вглубь и узнаем
нечто новое, необычное, интересное, выходящее за
рамки школьной программы. И параллельно такой
вопрос: когда вы думаете о будущем, каким вы себя
представляете? (Добившимися успеха).
– Что же нужно для того, чтобы добиться успеха,
например, в учебе? (Желание и возможности).
– Возможности у вас есть, подключаем желание
и к концу урока выведем и обсудим формулу успеха.
3. Создание проблемной ситуации
а) Запись на доске:
(a – b)2 a2 – b2 a3 – b3 (а – b)3
(a + b)2 a2 + b2 а3 + b3 (а + b)3
– На доске записаны формулы сокращенного
умножения. Просмотрите их внимательно. (Ребята
говорят, что выражение а2 + b2
не является формулой сокращенного умножения)
– Я продолжаю утверждать, что и это выражение
является формулой сокращенного умножения.
Почему? (Проблема 1).
б) Сколько корней может иметь записанное на доске квадратное уравнение?
9х2 – 12х + 5 = 0
(Может иметь 2 корня, 1 корень или ни одного, в зависимости от дискриминанта –«различителя»).
– А в математике есть такое
утверждение: всякое алгебраическое
уравнение имеет столько корней, какова его
степень (иногда корни совпадающие). Это
утверждение было названо основной теоремой
алгебры. Значит, наше квадратное уравнение
должно иметь два равных или два различных корня.
Почему же на практике получается не так? (Проблема
2)
(Если дискриминант – отрицательное число, то
корень квадратный из него не существует).
в) Математики XVI века вывели формулы, с помощью
которых можно решать уравнения третьей степени:
формулы Кардано, по имени итальянца, впервые их
опубликовавшего.
Пользуясь этими
формулами, приходилось извлекать
квадратный корень из отрицательных чисел. Был
введен К. Гауссом, величайшим немецким
математиком XVIIIв., новый символ i, такой, что 
.
г) Мы вышли на числа новой природы, их назвали комплексными. (Сообщается тема, цели, говорится о значимости темы в дальнейшем).
4. Изучение нового материала (в виде эвристической беседы)
а) Определение: комплексным числом называется выражение вида a+ bi где i – некоторый символ, такой, что i2 = – 1; a – действительная часть комплексного числа, b – коэффициент мнимой части.
– Приведите примеры комплексных чисел.
– Почему их назвали комплексными числами, как вы
думаете? (Комплекс, т.е. совокупность
действительного числа и числа новой природы).
б) Самостоятельная работа (работа в парах)
– Подумайте и сделайте вывод:
Что случится с комплексным числом а+ bi, если а
= 0, b = 0, a = b = 0? (Если а = 0, то
получится bi – чисто мнимое число; если b = 0, то
получится а – действительное число; если, а = b = 0,
то получится 0).
в) Давайте подумаем вместе, какое место среди
множеств чисел занимает множество комплексных
чисел?
(С помощью кругов Эйлера показываем, что
множество комплексных чисел С – самое большое из
всех известных множеств, но в школьном курсе мы в
нем не работаем.
Комплексные – «imaginarius», мнимые, реально не
существующие. Расширение понятия числа
произошло не только из-за потребностей человека,
а в основном, из-за потребностей математической
науки).
г) Даны числа а+ bi и c+ di. В каком случае
они будут равны? Приведите примеры. (Если а
= с; b = d).
– Какие числа будут являться
противоположными? Примеры. (а+ bi и а – bi),
– Числа а+ bi и а – bi называются
комплексно сопряженными. Найдите, пожалуйста, их
произведение. ((а+ bi)( а – bi) = а2 + b2
– формула сокращенного умножения , сумма
квадратов, она широко используется в поле
комплексных чисел).
д) Самостоятельная работа
– Интересно, какие действия над числами
новой природы можно выполнить и как? Если
возникнут трудности, то можете воспользоваться
подсказкой для аудитории, она – на крыльях доски.
(Подсказки: сложение, вычитание, умножение
многочленов, избавление от
иррациональности в знаменателе дроби
вида 
)
е) Проверка решения: (у доски)
(а + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(а + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
(а + bi)(c + di) = (ac + bd) + (bc + ad)i
ж) Давайте попробуем решить квадратное уравнение, о котором шла речь в начале урока.
У доски решает ученик:
9х2 – 12х+ 5 = 0
D = 144 – 180 = – 36, считаем, что
– Теперь вы можете блеснуть эрудицией,
услышав, что при D < 0 квадратное уравнение не
имеет корней. Какое уточнение вы внесете? (Не
имеет действительных корней, имеет – мнимые).
– Вот и сделали мы шаг в глубину
математического айсберга. Комплексные числа
широко применяются в электротехнике, в
аэродинамике. Отец русской авиации, Н.Г.
Жуковский использовал их при разработке теории
крыла самолета. Возможно, они пригодились для
получения промежуточного результата.
4. Подведение итогов
– Сегодня на уроке мы познакомились с мнимыми числами, с их алгебраической формой. Тема следующего урока: « Тригонометрическая форма комплексных чисел».
Домашнее задание на карточках: выполнить действия над комплексными числами, выяснить – как их можно сравнивать.
– А теперь, каждый из вас, оцените свою деятельность на уроке: насколько вы поняли тему, насколько вы были активны (я комментирую свое согласие или нет).
Выставление отметок.
– И обратимся к формуле успеха.
Плакат:
ХОЧУ |
Призовем на помощь логику: будет ли успех, если человек может учиться, но не хочет; хочет, но не может. В каком случае человек добьется успеха обязательно? (Когда желание совпадает с возможностями). Есть еще немаловажное условие – надо!
Плакат:
Если совместить «хочу», «могу» и «надо», тогда вас ждет настоящий успех в любом деле. Что нам нужно пожелать друг другу в конце урока? (Конечно, успехов! Успехов в жизни и в изучении математики!)