Решение простейших тригонометрических неравенств

Цели урока:

• повторить определения обратных тригонометрических функций,
• повторить решение простейших тригонометрических уравнений,
• научить решать простейшие тригонометрические неравенства.

Оборудование: проектор, компьютер, раздаточный материал.

Ход урока

Повторение. Обратные тригонометрические функции.

Вопросы классу.

1. Для какой функции существует функция обратная? Приведите пример функции, для которой существует обратная функция на всей области определения, не существует обратной функции на всей области определения.
2. Какая существует зависимость между областью определения и областью значений прямой и обратной функций?
3. Как располагаются в прямоугольной системе координат графики прямой и обратной функций?
4. Можно ли говорить о том, что тригонометрические функции на всей области определения имеют обратные функции? Обоснуйте свой ответ.

Далее даются определения обратных тригонометрических функций.

Определение 1. Арксинусом числа а называется такое число на отрезке , синус которого равен а.

Определение 2. Арккосинусом числа а называется такое число на отрезке [0; π], косинус которого равен а.

Определение 3.Арктангенсом числа а называется такое число на интервале , тангенс которого равен а.

Определение 4. Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0; π), котангенс которого равен а.

Полезно задать учащимся несколько вопросов, которые помогут определить неформальное понимание определений.

Например.

1) Что означает запись y = аrcсоsх? Предполагаемый правильный ответ: по определению обратной тригонометрической функции это означает, что   и сosy = x

2) Правильно ли утверждение: “Арккосинус нуля равен 2πn?”.

3) Найдите .

Решение. Пусть . Тогда и . Применим основное тригонометрическое тождество sin²y + cos²y = 1. Найдем

Учащиеся должны увидеть, что на отрезке [0; π]  sin y ≥ 0 и правильным ответом будет .

4) у = arctgx. Если x ≥ 0, то, какому промежутку принадлежит у? А если х<0?

Повторение. Решение простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение sinx = a (проектор, экран).

Множество решений уравнения имеет вид:

(рис.1,а для 0<a<1; рис 1,б для -1<a<0)

Рис. 1

Такая запись решения простейшего тригонометрического уравнения sinx = a удобна, когда проводится отбор корней. В основном же применятся следующая запись:

При решении уравнений вида sinx= 0, sinx=1, sinx= – 1 (частные случаи простейшего тригонометрического уравнения) мы пользуемся соответственно формулами: x= (рис2,а,б,в)

При  – уравнение решений не имеет.

Рис. 2

Изучение нового материала.

Решение простейших тригонометрических неравенств sin x < 0, sin x > 0

sin x ≤ 0, sin x ≥ 0

Учащимся предлагается воспользоваться карточкой № 1 (формат А-4) со следующим содержанием.

Карточка № 1.

Алгоритм решения тригонометрических неравенств.

1. На оси ординат единичной окружности отмечаем точку, соответствующую значению а (примерно).
2. Через полученную точку проводим прямую параллельно другой оси системы координат до пересечения с окружностью (Точки пересечения можно соединить с центром окружности).
3. На единичной окружности в точках пересечения записываем числа, соответствующие этим точкам.
4. Мысленно перемещаем нашу прямую параллельно оси координат в зависимости от значения а.
5. Выделяем штриховкой ту часть дуги единичной окружности, которую перемещающая прямая ее пересекает. Если неравенство строгое, то точки на концах дуги не заштриховываются (выколотые точки).
6. Записываем ответ.

Решение неравенства sinx>

Далее по алгоритму учитель на доске, а учащиеся на карточке проводят последовательные операции на единичных окружностях (рис. 3, а, б, в), рассматривая решение неравенства  sin x >

Рис. 3

Записывается ответ:

Уравнение cosx = a.

Учащимся предлагается работа по карточке № 2.

Карточка № 2.

(На карточке – пять единичных окружностей.)

Рис. 5

Учащиеся самостоятельно выполняют чертеж иллюстрирующий решение уравнения cosх = а для случая 0 < a < 1 (Рис. 4, а), для случая –1<a<0 (Рис. 4, б), для случая а = 0 (Рис. 5, а), для случая а = 1 (Рис. 5, б), для случая а = –1 (Рис. 5, в) и записывают решение уравнения для каждого из них по аналогии решения уравнения sinx = a.

Затем на экране высвечиваются чертежи соответствующие рисункам 4(а, б) и 5(а, б, в) с записью решения уравнения cosx = a.

Проводится обсуждение выполненной работы.

Решение неравенства соsx>

Решение неравенства проводится одним из учащихся на доске. Учащиеся на карточке при максимальной самостоятельности, используя рисунок, записывают решение данного неравенства (Рис. 6, а). При необходимости учитель оказывает помощь учащемуся у доски и учащимся класса. Закрепляется алгоритм решения неравенства.

Рис. 6

Ответ:

После решения этого неравенства учащимся предлагается самостоятельно решить неравенство (Рис. 6, б)

Ответ:

При проверке решений используется изображение на экране.

Уравнения tgx = a, ctgx = a

На экране высвечивается рисунок 7, а, б, по которому разбирается решение уравнений.

Здесь нужно заострить внимание учащихся на наличие двух дуг, симметричных относительно начала координат и в связи с этим на соответствующую запись ответа.

Рис. 7

Учитель у доски объясняет решение данных неравенств. Решение неравенств учащиеся оформляют в тетрадях. Целесообразно рассмотреть решение нестрогих неравенств, чтобы напомнить об области определения тангенса и котангенса, так как строгие неравенства не подчеркивают того, что тангенс и котангенс определены не для любого значения аргумента.

По результатам объяснения учителя учащиеся получают рисунок 8(а, б) с записью ответа.

Рис. 8

Рис. 9

Ответ:

Итог урока. Повторить алгоритм решения тригонометрических неравенств на каком либо примере учебника п.10 (А.Н.Колмогоров и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 – Ф45 11-е классы: учебник для общеобразовательных учреждений с приложением на электронном носителе; под редакцией А.Н.Колмогорова. М.: Просвещение, 2009).

Домашнее задание: п.10, материал карточек.