Тип урока: урок-проект.
Эпиграф урока: "Учимся не для школы, а для жизни" (Сенека).
Проблемный вопрос: Может ли нам помочь
комбинаторика в реальной жизни?
Из этой проблемы вытекает такая цель.
Цель урока: показать учащимся на примерах практическое применение комбинаторики в повседневной жизни.
Задачи:
- научить находить возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов, отвечающие условию задачи;
- развитие математического мышления и логической речи учащихся;
- развитие познавательного интереса учащихся;
- воспитание интереса к предмету.
Гипотеза: решение комбинаторных задач развивает творческие способности, помогает при решении олимпиадных задач, задач из ЕГЭ, вырабатывает уверенность в собственных силах.
Результат (продукт): понимание всеми учащимися значимости данной темы в практической деятельности человека.
Использование компьютерных технологий: создание слайдовой презентации, выпуск учащимися буклета «Комбинаторика в жизни»
Необходимые принадлежности у учащихся: учебник «Математика», авторы: Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков и др., тетрадь, линейка, карандаш, ручка.
Урок предназначен для учащихся 5-ых классов в рамках изучения темы «Комбинаторика».
ХОД УРОКА
I этап. Погружение в проблемную ситуацию (проходит в виде беседы с учащимися)
Приветствие учащихся.
– Всем здравствуйте (добрый день!). Давайте
здороваться, т.е. все пожмем друг другу руки.
Рядом сидящим пожмем руку, а с остальными будем
здороваться мысленным рукопожатием.
– В классе нас сколько?
Вопрос: Сколько было всего рукопожатий?
– Итак, какие будут ответы? Ответы записать на доске.
Основной педагогический акцент на уроке делается на проговаривание и обязательное устное пояснение решения задачи.
Допустим нас 25.
Способ 1.
Каждый из 25-и человек пожал руки 24-м. Однако произведение 25 * 24 = 600 дает удвоенное число рукопожатий (так как в этом расчете учтено, что первый пожал руку второму, а затем второй первому, на самом же деле было одно рукопожатие). Итак, число рукопожатий равно: (25 * 24) : 2 = 300.
Способ 2.
Первый ученик пожал руки 24-м, второй – 23-м (плюс
рукопожатие с первым, которое уже учтено), третий
– 22-мя и т.д.
двадцать четвертый ограничился одним
рукопожатием, а на долю двадцать пятого
выпала пассивная роль – принимать приветствия.
Таким образом, общее число рукопожатий
выражается суммой:
N = 24 + 23 + 22 + … + 3 + 2 + 1 или
N = 1 + 2 + 3 + … + 22 + 23 + 24.
Сложив почленно обе суммы получаем:
2N = (24 + 1) + (23 + 2) + (22 + 3) +… + (3 + 22) + (2 + 23) + (1 + 24) = 25 * 24;
N = (25 * 24) : 2 = 300.
II этап. Выдвижение предположений и обоснования гипотезы
– Мы с вами столкнулись с комбинаторной
задачей.
Поиском ответов на вопросы: сколько всего есть
комбинаций в том или другом случае, занят целый
раздел математики, называемый комбинаторикой.
Особая примета комбинаторных задач – это
вопрос, который можно сформулировать
таким образом, что он начинался бы словами:
- Сколькими способами…?
- Сколько вариантов…?
У нас сегодня урок-проект «Комбинаторика и
ее применение». (Приложение 1.
Слайд 1)
Перед нами была жизненная ситуация, которую мы
решили при помощи науки комбинаторика.
Комбинаторика – это раздел математики, в
котором изучается, сколько различных комбинаций
можно составить из заданных объектов.
Каждый из Вас сегодня постарается ответить на ... проблемный
вопрос: Может ли нам комбинаторика помочь в
реальной жизни? «Нужна ли нам наука
комбинаторика?» (Приложение 1.
Слайд 2)
Из этой проблемы вытекает следующая цель:
продолжить знакомство с наукой комбинаторика.
Чтобы достичь поставленной цели я ставлю такую задачу:
научиться находить возможные комбинации
для решения комбинаторных задач (Приложение
1. Слайд 3)
А чтобы у вас была путеводная звезда, к которой бы
вы шли, я выдвинула следующую гипотезу:
решение комбинаторных задач развивает
творческие способности, помогает при решении
олимпиадных задач, задач из ЕГЭ. (Приложение
1. Слайд 4)
В конце урока вам предстоит подтвердить или
опровергнуть ее.
III этап. Доказательство гипотезы
– Сегодня с вами рассмотрим некоторые задачи комбинаторики.
Устный счет (готовит учащихся к работе на уроке)
1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7 (цифры в числе не повторяются)? (Шесть: 14, 17, 41, 47, 71, 74). (Приложение 1. Слайд 5)
Ответ на вопрос, конечно, можно получить,
выписывая сами числа, т.е. методом перебора
вариантов. Но это не очень удобно. Будем
рассуждать так. Первую цифру можно выбрать тремя
способами, а вторую цифру можно выбрать (из
оставшихся двух) двумя способами. Следовательно,
общее число искомых двузначных чисел равно
произведению 3 * 2 = 6.
Мы нашли ответ на поставленный вопрос, используя
так называемое комбинаторное правило умножения.
Такую схему называют деревом возможных
вариантов.
Эта схема действительно похожа на дерево, правда, "вверх ногами" и без ствола. (Приложение 1. Слайд 6)
2. Сколько различных 3-значных чисел можно составить из цифр 3, 7 и 8 (цифры не повторяются)? (Приложение 1. Слайд 7)
(Тоже шесть: 378, 387, 738, 783, 873, 837). (Приложение 1. Слайд 8)
3. Сколько 4-значных чисел можно составить из 4 цифр? (Приложение 1. Слайд 9)
Разбор решения. «На 1-е место в 4-значном числе – 4 варианта, на 2-е – 3 варианта, на 3-е – 2 варианта, на 4-е – 1 вариант». 4 * 3 * 2 * 1 = 24. 4! = 1 * 2 * 3 * 4. 3! = 1 * 2 *3. (Приложение 1. Слайд 10)
– Давайте откроем тетради, запишем дату и тему: Комбинаторика и ее применение
IV этап. Проверка правильности решения проблемы. Обобщение и систематизация знаний
Решение задач по теме:
– С утра вы очень часто отправляетесь к
расписанию или открываете дневники, посмотреть
порядок уроков. А представьте на миг, чтобы стало
в школе, если бы не было расписания. Трудно
пришлось бы всем: и детям, и учителям. Даже в одном
классе и то вряд ли легко решили бы проблему.
В помощь тому, кто составляет расписание, решим
задачу.
Задача 1. В 6 классе во вторник 5 уроков: физкультура, русский язык, литература, обществознание и математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная точно, что математика – последний урок? (Приложение 1. Слайд 11)
Ответ: 4 * 3 * 2 * 1 = 24 способа (Приложение 1. Слайд 12)
Без переменки заглянем в столовую.
Задача 2. В школьной столовой имеются 2 первых, 5 вторых и 4 третьих блюд. Сколькими способами ученик может выбрать обед, состоящий из первых, вторых и третьих блюд? (Приложение 1. Слайд 13)
Решение: Первое блюдо можно выбрать 2
способами. Для каждого выбора первого блюда
существует 5 вторых блюд. Первые два блюда можно
выбрать 2 * 5 = 10 способами. И, наконец, для каждой 10
этих выборов имеются четыре возможности выбора
третьего блюда, т. е. Существует 2 * 5 * 4 способов
составления обеда из трех блюд. Итак, обед может
быть составлен 40 способами. (Приложение
1. Слайд 14)
Заглянем в гардероб наших девочек.
Задача 3. У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды имеется у Светланы? (Приложение 1. Слайд 15)
Решение: Получается 15 различных комбинаций одежды. (Приложение 1. Слайд 16)
Задача 4. На полке лежат 3 книги. В каком порядке можно расставить эти книги? (Приложение 1. Слайд 17)
Решение: Обозначим их буквами а, в, с. Эти книги можно расставить на полке по – разному: авс, асв, вас, вса, сав, сва.
Ответ: 6 способов расстановки книг (Приложение 1. Слайд 18)
Физкультминутка
Сильно зажмурить глаза на 3-5 секунд, а затем открыть их на такое же время. Повторять 5-6 раз. Быстро моргать в течение 10-12 секунд, открыть глаза, отдыхать 10-12 секунд. Повторять 3 раза.
Задача 5. Опыт с листом бумаги (Приложение 1. Слайд 19)
Дима сложил квадратный листок бумаги пополам, потом еще раз и еще раз. В центре того, что получилось, он проделал дырку, а потом снова развернул лист. Сколько дырок он увидел?
(A)2; (B) 3; (C) 4; (D) 6; (E) 8;
Решение: Каждое складывание
увеличивает толщину (в слоях) бумаги в два раза.
Дима складывал бумагу три раза и получил толщину
2 * 2 * 2 = 8.
Дырки получатся на каждом листе. Итого 8 дырок.
Верен ответ (Е). (Приложение 1. Слайд 20)
V этап. Самостоятельная работа
Задания для самостоятельной работы сформулированы по принципу ЕГЭ.
1-й вариант
В розыгрыше первенства страны по футболу
принимает участие 16 команд. Сколькими способами
могут быть распределены золотая и серебряная
медали?
Выберите букву правильного ответа. А)
256 Б) 31 В) 240 Г)
16
Решение: Золотую медаль может получить одна из 16 команд. После того как определен владелец золотой медали, серебряную медаль может иметь одна из 15 команд. Следовательно, общее число способов, которыми могут быть распределены золотая и серебряная медали, равно 16 * 15 = 240.
Ответ: В
2-й вариант
В классе 25 учащихся, сколькими способами можно выбрать старосту класса и его заместителя? Выберите букву правильного ответа.
А) 25 Б) 600 В) 49 Г) 625
Решение:Староста класса может быть выбран 1 из 25 человек, значит существует 25 способов выбора старосты и 24 способа выбора его заместителя. Существует 25 * 24 = 600 способов выбора старосты класса и его заместителя.
Ответ: Б
VI этап. Обсуждение результатов и подведение итогов
На примере решенных задач мы увидели практическое применение "Комбинаторики" в различных сферах деятельности человека, т. е. выяснили, где в реальной жизни мы встречаемся с комбинаторикой.
Области применения комбинаторики: (Приложение 1. Слайды 21, 22)
- учебные заведения ( составление расписаний)
- сфера общественного питания (составление меню)
- лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв)
- география (раскраска карт)
- спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)
- производство (распределение нескольких видов работ между рабочими)
- агротехника (размещение посевов на нескольких полях)
- азартные игры (подсчёт частоты выигрышей)
- химия (анализ возможных связей между химическими элементами)
- экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)
- криптография (разработка методов шифрования)
- доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)
- биология (расшифровка кода ДНК)
- военное дело (расположение подразделений)
- астрология (анализ расположения планет и созвездий
В ближайшем будущем мы научимся решать более сложные задачи комбинаторики, а ваши знания по теме будут востребованы при решении задач олимпиадного типа, задач из ЕГЭ. Комбинаторика играет большую роль в практической деятельности человека.
Вывод:
Комбинаторика повсюду.
Комбинаторика везде.
Комбинаторика вокруг нас. (Приложение
1. Слайд 23)
Но как говорят «Без знания прошлого
нет настоящего, нет будущего» (Приложение 1. Слайд 24)
Презентация проекта «Истоки комбинаторики» (Приложение 2)
VII этап.Домашнее задание:
– Придумать свою комбинаторную задачу и решить
её.
– Применение комбинаторики в практической
деятельности людей (рассказ или эссе) (Слайд
25)
VIII этап. Рефлексия
Учащиеся осмысливают свою деятельность на уроке, проводят самооценку своей деятельности (на листочках).
– А какие навыки, кроме решения задач, Вы
приобрели сегодня для себя? (Выслушать и
обобщить ответы учащихся)
– Спасибо всем за работу. Надеюсь,
присутствующие получили много интересной и
актуальной информации. Мне было очень приятно
работать с вами на уроке.
Список литературы:
1. Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин.
Комбинаторика. М., 2006.
2. В.Е.Гмурман. Руководство к решению задач по
теории вероятностей и математической
статистике. – М.: Высшая школа, 1975.
3. И.И.Ежов, А.В.Скороход, М.И.Ядренко. Элементы
комбинаторики. М., 1977.
4. Д.Ж.Риордан. Введение в комбинаторный
анализ. М., 1963.