Цели:
- Образовательная - повторить весь пройденный материал по теме, обобщить и систематизировать знания учащихся, проверить умения учащихся в решении задач на применение теоретического материала.
- Развивающая - развивать математически грамотную устную и письменную речь, способствовать развитию логического мышления, умения самостоятельно работать (при подготовке к уроку) с различными источниками информации.
- Воспитательная - воспитывать чувство ответственности за свои знания, за своих товарищей, учиться поддерживать друг друга, формировать коммуникативные качества учащихся.
Форма организации учебной деятельности: фронтальная, парная, групповая, индивидуальная.
Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый.
Средства обучения: тела многогранников, карточки с задачами, листы с кроссвордом.
Ход урока
1. Мотивация и целеполагание.
1) Задание учащимся.
Назовите фигуры, которые изображены на доске.
2) На какие две группы их можно разделить?
Какую группу фигур мы изучали на последних уроках?
Сегодня на уроке наша цель - обобщить и систематизировать знания по теме: "Многогранники", закрепить умения решать задачи по этой теме.
2. Актуализация знаний.
Идёт работа в парах - разгадывание кроссворда (листы с кроссвордом на каждой парте).
Кроссворд.
- Высота боковой грани правильной пирамиды.
- Точка, не лежащая в плоскости основания пирамиды.
- Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды к основанию.
- Многоугольники, из которых составлен многогранник.
- Не боковая грань.
- Другое название куба.
- Многогранник, состоящий из многоугольника, называемого основанием, точки, не лежащей в плоскости этого многоугольника, называемой вершиной, и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.
- Геометрическое тело, состоящее из четырёх одинаковых равносторонних треугольников.
- Высота многогранника - это :
- Параллелепипед, у которого боковое ребро не перпендикулярно к основанию называется :
- Как называется многогранник, у которого два равных основания и n боковых граней - параллелограммов?
- Назовите правильный многогранник, у которого больше всех граней.
- Как называется призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник?
Учащиеся проверяют, что в выделенных клетках получилось слово многогранники.
3. Систематизация и обобщение знаний. Творческие отчёты групп.
1 группа: "Пирамида".
Ребята представляют изготовленные ими модели пирамид: треугольная, правильная треугольная, четырёхугольная, правильная четырёхугольная, шестиугольная, усечённая. 1-й: Пирамида- это многогранник, состоящий из многоугольника, называемого основанием, точки, не лежащей в плоскости этого многоугольника, называемой вершиной, и всех отрезков, соединяющих вершину с точками основания.
2-й: На рисунке представлена пирамида SABCD.(Рисунок заранее приготовлен на доске).
ABCD- основание;
S - вершина пирамиды;
AS, BS, CS, DS- боковые рёбра;
ASB, BSC, CSD, DSA -боковые грани
SO - высота.
Рассказ сопровождается показом по рисунку.
3-й: Я - пирамида треугольная, потому что в основании у меня лежит треугольник. (Держит в руках треугольную пирамиду). А если моя высота будет соединять вершину с центром правильного треугольника, то я буду правильной треугольной пирамидой (показывает соответствующую модель). Высота боковой грани правильной пирамиды называется апофемой (показывает на модели).
4-й: Я - пирамида четырёхугольная, т.к. у меня в
основании лежит четырёхугольник. А если моя
высота будет соединять вершину пирамиды с
центром квадрата, то я буду называться
правильной четырёхугольной пирамидой
(демонстрирует модель правильной
четырёхугольной пирамиды) Это моя апофема
(показывает на модели). Площадь боковой
поверхности правильной пирамиды можно найти по
формуле: Sбок =
, где k-апофема
(формула записывается на доску рядом с рисунком
пирамиды).
5-й: Я - пирамида усечённая, у меня два основания (показывает на модели)
6-й: В основании пирамиды может лежать любой n-угольник. Я, например, шестиугольная пирамида. Площадь полной поверхности любой пирамиды находится по формуле: Sполн = Sбок +Sосн (формула записывается на доску).
Все шестеро ребят садятся на свои места, выходят двое других из этой же творческой группы.
1-й: У нас у пирамид есть очень известные предки - Египетские пирамиды. Египетские пирамиды, сооруженные в долине Нила 4,5-5 тысяч лет тому назад, имеют форму правильной четырехугольной пирамиды. Наиболее известная из них - пирамида Хеопса, свое название она получила по имени, захороненного в ней фараона Хеопса (он жил около 2551-2528 гг. до Р.Х.). Ее высота составляет 146,6 м, что примерно соответствует пятидесятиэтажному небоскребу. Сторона основания - 230 м, соответственно, площадь основания равна 230·230 = 52 900 м2 .Свыше 400 человек - художников, архитекторов, каменотесов - выполняли подготовительные работы, около 100 000 человек трудились над сооружением огромной гробницы, непрерывно сменяясь каждые три месяца. Десять лет измученному народу пришлось строить дорогу, по которой тащили эти каменные глыбы. Сооружение самой пирамиды продолжалось в течение 20 лет. Корпус пирамиды состоит из 128 слоев камня. Каждый слой состоит из каменных блоков весом 7,5 т. Пирамида Хеопса - древнейшее и единственное сохранившееся до наших дней чудо света.[2]
2-й: В конце 50-х годов учёных стала интересовать тайна пирамид. А началось всё с того, что чешский изобретатель Карл Дербал заинтересовался вопросом, почему случайно забредающие в пирамиду Хеопса животные и погибающие там, не найдя выхода, - не разлагаются, а превращаются в мумии? Все учёные вслед за ним стали исследовать эффект пирамид и установили множество реально существующих явлений. Так, например, растворимый кофе, постояв под пирамидой, приобретает вкус натурального, дешёвые сигареты облагораживаются настолько, что их не отличишь от самых изысканных. Продукты (рыба, мясо, молоко) не портятся, вода не зацветает, загрязнённые ювелирные изделия сами очищаются. Из истории известно, что дети фараонов полоскали зубы "пирамидной" водой, и у них не было кариеса. А жёны фараонов мыли голову этой водой, и волосы становились мягкими и шелковистыми. Так же считается, что, если мыть волосы пирамидной водой, то не будет седины.[5]
2 группа: "Призма".
00111-й: В памятниках вавилонской и древнеегипетской архитектуры встречаются такие геометрические фигуры, как куб, параллелепипед, призма. Евклид даёт следующее определение призмы: "Призма есть телесная, т.е. пространственная фигура, заключённая между плоскостями, из которых две противоположные равны и параллельны, остальные же - параллелограммы". Термин "призма" греческого происхождения и буквально означает "отпиленное тело".
2-й: На рисунке призма ABCDEFA1B1C1D1E1F.
(Рисунок призмы заранее приготовлен на доске)
ABCDEF - нижнее основание;
A1B1C1D1E1F1 -верхнее основание;
AA1; BB1;:;FF1- боковые рёбра;
AA1B1B; BB1C1C; :;FF1A1A-боковые грани;
Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.
A1C; A1D; A1E- диагонали (все названные элементы показывает на рисунке).
3-й: Я - прямая призма (демонстрирует модель), т.к. моё боковое ребро перпендикулярно основанию (показывает). Моей высотой является боковое ребро. Площадь моей боковой поверхности можно найти по формуле:Sбок=Pосн*h (записывает формулу рядом с рисунком на доску).
4-й: Я призма наклонная (демонстрирует модель), т.к. моё боковое ребро не перпендикулярно основанию.
5-й: Я призма правильная, т.к. у меня не только боковое ребро перпендикулярно основанию, но и в основании лежит правильный многоугольник (показывает модель).
6-й: Призмы бывают треугольные, четырёхугольные, пятиугольные и т.д., смотря потому какой многоугольник лежит в основании. Четырёхугольная призма имеет особое название- параллелепипед. А площадь полной поверхности любой призмы вычисляется по формуле: Sполн=Sбок+2Sосн (формула записывается на доску).
3 группа "Правильные многогранники".
1-й: Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой как правильные многогранники.
2-й: Многогранник называется правильным, если его грани равные между собой правильные многоугольники, и в каждой грани сходится одно и то же число рёбер.
3-й: Существует всего пять таких многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр (демонстрация моделей).
4-й: Интерес к многогранникам человек проявляет на протяжении всей своей сознательной жизни - и ребёнком, играющим кубиками, и зрелым человеком.
5-й: Пять правильных тел изучали Платон, Евклид, Гипсикл, Папп. Платон связал с этими телами формы атомов основных стихий природы. Пифагорейцы считали, что огонь состоит из мельчайших частиц имеющих форму тетраэдра. Их воззрения основывались на том, что поскольку среди выпуклых правильных тел тетраэдр обладает наименьшим числом граней и наиболее "острыми" многогранными углами при вершинах, то он обладает наибольшей проникающей способностью. Он настолько прост, что был известен ещё древним египтянам.[4]
6-й: Наиболее неподвижной из стихий - земле - пифагорейцы ставили в соответствие самый устойчивый многогранник - куб. И.Кеплер (1571-1630) написал этюд "О снежинке", в котором высказал такое замечание: "Среди правильных тел самое первое, родитель и начало остальных - куб, а его, если позволительно так сказать супруга - октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней".[4]
1-й: Пифагорейцы считали, что атомы воздуха имеют форму октаэдра, воды - икосаэдра, а атомы вселенной - додекаэдра.[4]
2-й: Немало тел, имеющих форму правильных многогранников в природе. Так одноклеточные организмы - феодарии имеют форму икосаэдра. Из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший объём и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму преодолевать давление водной толщи.[4]
3-й: Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так кристаллы поваренной соли NaCl имеют форму куба, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, бор - икосаэдра.
4-й: И конечно нельзя не сказать о пчёлах. Пчёлы строили свои шестиугольные соты задолго до появления человека. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников. Из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр именно у правильных шестиугольников. Стало быть, мудрые пчёлы экономят воск и время для постройки сот. Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет и заполняют пространство так, что не остаётся просветов.[4]
5-й: Мы увидели и услышали многое о многогранниках. Существует связь между числом вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) многогранника. По теореме Эйлера: "Для всякого выпуклого многогранника между числами В, Г и Р выполняется соотношение В+Г-Р=2 (таблица в готовом виде проектируется на доску или вывешивается на плакате).
| Название | Тетраэдр | Куб (гексаэдр) | Октаэдр | Икосаэдр | Додекаэдр |
| Число граней и их форма | 4 |
6 |
8 |
20 |
12 |
| Число рёбер | 6 | 12 | 12 | 30 | 30 |
| Число вершин | 4 | 8 | 6 | 12 | 20 |
4. Решение задач.
Учитель. Мы с вами очень подробно вспомнили теоретический материал по теме: "Многогранники". А сейчас переходим к практической части нашего урока - к решению задач.
Задачи предлагаются по группам, так же как дети готовили теоретический материал. Задачи каждый решает у себя в тетради. Возможна помощь внутри группы и помощь учителя.
Задачи по теме: "Многогранники".
1 группа.
1. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12см и 5см.
Диагональ параллелепипеда образует с
плоскостью основания угол 45
.
Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.[1]
2. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 10см, а высота 12см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
2 группа.
1. Найдите сторону основания и высоту правильной четырёхугольной призмы, если Sполн=90см2, Sбок=40см2.
2. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 12см, а апофема - 15см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3 группа.
1. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 12см, а высота пирамиды - Найдите боковое ребро пирамиды.
2. В основании прямой призмы ABCDA1B1C1D1
лежит параллелограмм со сторонами 3см и 6см и
углом между ними 60.
Диагональ B1D образует с плоскостью
основания угол 30. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
5. Итоги урока.
Беседа.
Учитель. Сегодня на уроке мы повторили, обобщили и систематизировали знания по теме "Многогранники", проверили умения решать задачи по этой теме. Я думаю, каждый для себя сделает выводы, насколько близка нам математика, как важно её изучать.
Какая часть урока показалась вам самой интересной?
Какие вопросы урока вызвали у вас затруднения?
Оценки на уроке.
Оценки за творческие отчёты групп с учётом написания рефератов и вклада каждого из группы в общее дело выставляет "Совет старейшин" (руководители творческих групп вместе с рефератами сдают информацию о работе каждого члена группы).
Оценки за решение задач (выставляет учитель после проверки тетрадей).
Учитель. Закончить урок хочется на мажорной ноте: учащиеся исполнят песню.
Песня - пожелание для учителя математики.
1. Если Вы, нахмурясь, выйдите из дома,
Если Вам не в радость солнечный денёк,
Пусть Вам улыбнётся двоечник знакомый,
Обещая непременно выучить урок.Припев. И улыбка, без сомненья,
Пусть коснётся Ваших глаз,
И хорошее настроение
Не покинет больше Вас.2. Если вдруг у куба восемь стало рёбер,
А у пирамиды пятьдесят сторон,
Значит, ученик Ваш просто растерялся.
Может быть, от страха перепутал факты он.Припев.
Если пирамида нам порою снится,
И еще о призме забыть не суждено,
Вы не удивляйтесь, - чудеса бывают,
Значит, математики выучен урок.
Припев.
Литература
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10 - 11 Кл. - М.: Просвещение.
- Батанова А. Фрагмент урока на тему " Предметы и их формы" // Математика, 2009, № 23.
- Виленкин Н.Я. и др. За страницами учебника математики 10-11 класса.- М.: Просвещение, 1996.
- Иванова О. Многогранники вокруг нас //Математика, 2005, № 3.
- Скворцова Н. В. Учась - твори! Нетрадиционные формы проведения уроков математики. - Йошкар-Ола. Педагогическая инициатива, 2003.
- Формирование опыта творческой деятельности в процессе обучения математике [Текст] /авт.-сост. В. И. Маркова. - Киров: КИПК и ПРО, 2009. - 156с.