Обучение решению текстовых задач в 5-м классе с помощью уравнений

Линия уравнений является стержнем алгебраического материала школьного курса математики. В пятом классе выделяется линия на обобщение осваиваемых способов решения задач с помощью уравнений и фиксирования их в буквенно-символической форме. От учеников при этом требуется выяснить все величины, участвующие в задаче, отделить известные от неизвестных, установить зависимость между ними, выбрать одну из них для составления уравнения.

Данный приём обучения решению задач с помощью составления уравнений даёт хороший результат.

Выделяются три этапа в составлении уравнения по условию задачи:

1. Распознавание величин, участвующих в задаче.
2. Установление зависимостей между величинами.
3. Запись одной величины через другую.

На первом этапе происходит знакомство со всевозможными величинами (стоимость, масса, путь, скорость, время и т. д.). Учитель читает несколько предложений и просит учеников установить, о каких величинах идет речь в каждом предложении.

Все задачи на составление уравнений можно разделить на два вида: задачи на сравнение и задачи на суммирование.

На втором этапе ребята устанавливают, в каком случае величины суммируются, в каком они вычитаются. Учитель говорит, что в задачах, в которых требуется сравнить величины, встречаются слова “больше”, “меньше”, “дешевле”, “дороже”, “быстрее”, “медленнее”, “выше”, “ниже”, “шире”, “уже” и т. д.. Узнать же, насколько одна величина больше другой, можно действием вычитания. А на суммирование величин в задачах указывают следующие слова: “всего сделали”, “всего собрали”, “всего прошли”, “всего получили”, “общая масса”.

Итак, ученики выслушивают предложения, определяют, о каких величинах идет речь в них, устанавливают, сравниваются они или суммируются, и схематически записывают зависимость между ними.

Например:

1. Путь, пройденный двумя путешественниками навстречу друг другу за одно и то же время, равен 16 км.

Величины:

S₁ — путь первого путешественника

S₂ — путь второго путешественника.

Задача на суммирование: S₁ + S₂ = 16.

2. Слоненок и слониха вместе весят 7200 кг.

Величины:

m₁ — масса слоненка,

m₂ — масса слонихи.

Задача на суммирование: m₁ + m₂ = 7200

3. Бутылка с виноградным соком стоит 60 рублей.

Величины:

р₁ — стоимость бутылки,

р₂ — стоимость сока.

Задача на суммирование: p₁ + p₂ = 60

4. За одно и то же время первый турист прошел на 5 км больше, чем второй.

Величины:

S ₁ — путь, пройденный первым туристом,

S ₂ — путь, пройденный вторым туристом.

Задача на сравнение: S₁ - S₂ = 5

5. Масса товара на первой чаше весов на 15 кг меньше, чем на второй.

Величины:

m₁ — масса товаров на первой чаше весов,

m₂ — масса товаров на второй чаше весов.

Задача на сравнение: m₂ — т₁= 15

6. Длина двух сторон прямоугольника 30 см.

Величины:

a₁— длина одной стороны,

a₂ — длина второй стороны.

Задача на суммирование: a₁ + а₂ = 30

7. Скорость первой машины на 12 км/ч больше скорости второй.

Величины:

V₁ — скорость первой машины,

V₂ — скорость второй машины.

Задача на сравнение: V₁ – V ₂ = 12.

Затем ученикам дается схема решения задач на составление уравнений:

Алгоритмическое предписание

1. Перечислить величины, данные в условии задачи. Записать условие задачи в виде схемы.
2. Выбрать меньшую из неизвестных величин и обозначить через х. Остальные неизвестные величины выразить через меньшую.
3. Выяснить, сравниваются или суммируются величины.
4. Составить уравнение:

Схема уравнения позволяет ученикам увидеть закономерности между величинами.

Как же проходит работа над условием задачи по этому предписанию? Рассмотрим это на примере задач:

№ 1. Школьники собрали всего 2100 кг картофеля, причем до обеда было собрано в 2 раза больше, чем после обеда. Сколько килограммов картофеля собрали школьники после обеда?

Ученики читают условие задачи и устанавливают, что:

1. В условие задачи входят величины: масса картофеля, собранного до обеда, масса картофеля, собранного после обеда, общая масса собранного картофеля.
2. Масса картофеля, собранного после обеда, меньше. Ее и принимают за х. Тогда масса картофеля, собранного до обеда, 2х кг.
3. 2100 - сумма величин, так как в первой фразе говорится, что всего собрали 2100 кг. Задача на суммирование.

Все рассуждения по ходу решения задачи заносятся в таблицу:

И наконец, составляется уравнение 2х + х = 2100.

№ 2. Школьниками до обеда было собрано в 2 раза больше картофеля, чем после обеда. Сколько килограммов картофеля собрали школьники после обеда, если до обеда было собрано на 700 кг больше?

Ученики читают условие задачи и устанавливают, что:

1. В условие задачи входят величины: масса картофеля, собранного до обеда, масса картофеля, собранного после обеда, общая масса собранного картофеля.
2. Масса картофеля, собранного после обеда, меньше. Ее и принимают за х. Тогда масса картофеля, собранного до обеда, 2х кг.
3. 700 - разность величин, так как в последней фразе говорится, что до обеда было собрано на 700 кг больше.

Задача на сравнение.

Все рассуждения по ходу решения задачи заносятся в таблицу:

Составляется уравнение 2х - х = 700.

Итак, такой способ решения задач на составление уравнений учит учеников видеть величины, заданные в условии задачи, и вскрывать связи между ними. А это способствует формированию у учащихся обобщенных видов познавательной деятельности, позволяющих им самостоятельно и успешно анализировать новые частные случаи без дополнительного обучения.

Данный алгоритм решения задач даёт хороший результат и при решении задач в следующих классах.

Литература

1. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика/А.Я. Блох, В.А.Гусев, Г.Ф. Дорофеев и др. – М.: Просвещение, 1987.
2. Окунев А. А. Спасибо за урок, дети! – М.: Просвещение, 1988.