Итоговый урок по теме "Использование свойств модуля при решении алгебраических задач"

Валаева Наталия Анатольевна

Одна из самых трудных тем алгебры 7-9 класса - решение алгебраических задач с модулями. Настоящая работа посвящена подведению итогов изучения темы "Использование свойств модуля при решении алгебраических задач". Для этого отводится два, идущих подряд, урока алгебры в 8-ом или 9-м лицейском классе общеобразовательной школы.

Изучение модуля числа начинается с 5-го класса. И, затем, по мере изучения алгебры, с учетом приобретенных учащимися знаний, периодически проводится повторение и углубление этой темы. Для успешного проведения итоговых уроков необходимо, чтобы темы: арифметический квадратный корень, квадратный трехчлен, решение квадратных уравнений и неравенств, решение неравенств методом интервалов, экстремумы функций, монотонность функций, построение графиков функций, содержащих модули, а также свойства модулей были усвоены детьми достаточно хорошо.

Перед началом урока на экран выводятся формулы:

или ;

или ,

или .

В частности, , и , . А также ;

10) .

В начале урока проводится беседа с учащимися, в ходе которой ребята дают аналитическое и геометрическое определение модуля числа и перечисляют свойства модулей. При этом особое внимание уделяется словесным формулировкам, что не только позволяет повысить математическую культуру учащихся, но и способствует лучшему пониманию, а значит, и запоминанию формул.

Затем решаются задачи, каждая из которых подробно обсуждается. При этом ребята предлагают различные способы решения, из которых выбирается наиболее рациональный. Решение задачи именно этим способом записывается на доске и в тетрадях.

Решить уравнения.

а) .

Отмечается, что подмодульное выражение и модуль являются противоположными выражениями. Делается вывод, что данное уравнение равносильно неравенству .

б) .

Данное уравнение принимает вид (свойство 7). Используя свойство 6, переходим к равносильной этому уравнению системе

в) .

Используя свойство 4 данное уравнение можно переписать

. Применяя свойство 9, получаем систему,

равносильную данному уравнению .

Решить, используя геометрическое определение модуля:

а).

Задачу можно переформулировать следующим образом: Найти координаты всех точек на числовой прямой, сумма расстояний от которых до точек с координатами (5) и (-4) равна 9. Этому условию удовлетворяют все точки, координаты которых принадлежат промежутку .

б) .

Здесь надо найти координаты всех точек, сумма расстояний от которых до точек с координатами (5) и (-4) больше 9. Следовательно,

Аналогично решаются остальные задачи этого пункта. Все они решаются или устно или с применением числовой прямой.

в) ,

г) .

Это неравенство решений не имеет, так как не существует точек на числовой прямой, сумма расстояний от которых до точек с координатами (-4) и (5) меньше 9.

д) .

Данное неравенство сводится к уравнению а).

е) При каких значениях параметра уравнение имеет бесконечно много решений, ровно два решения?

При равном длине отрезка координата любой точки этого отрезка удовлетворяет данному уравнению, при меньшим, чем длина отрезка, уравнение решений не имеет, при большим, чем длина отрезка существует ровно два решения этого уравнения : и . Следовательно, при данное уравнение имеет бесконечное множество решений, при уравнение имеет ровно два решения.

После решения задач пункта 2 учащиеся отвечают на вопросы: "В каком случае точка принадлежит отрезку , в каком случае точка лежит вне этого отрезка?"

Затем полученные факты обобщаются на любой отрезок .

Делаются следующие выводы:

Точка принадлежит отрезку тогда и только тогда, когда сумма расстояний от точки до концов отрезка равна длине отрезка.

Точка лежит вне отрезка тогда и только тогда, когда сумма расстояний от точки до концов отрезка больше длины отрезка.

Не существует точки на прямой, сумма расстояний от которой до концов отрезка больше длины отрезка.

Таким образом,; , т.е. и достигается этот минимум при .

Далее, используя полученные результаты, решаются следующие задачи.

3. Найти наименьшее значение функций: а).

Наименьшее значение выражения достигается в любой точке, принадлежащей промежутку ; при, . Следовательно, .

б).

Наименьшее значение выражения достигается в любой точке,

принадлежащей промежутку и . Наименьшее значение выражения достигается в любой точке, принадлежащей промежутку , и . Следовательно, .

Результаты решения задач пункта 3 обобщаются на функции вида: , где , являющиеся суммами четного или нечетного числа модулей линейных двучленов.

Учащиеся делают выводы.

Минимальное значение функции данного вида при нечетном n , т.е. достигается в "серединной" точке. В этом случае .

А при четном , т. е. при минимальное значение такой функции достигается в любой точке серединного отрезка. В этом случае , где .

в) .

Предлагаются два способа решения данной задачи.

Первый основан на сделанных выше выводах. Исходную функцию можно записать в виде: , где

Так как число модулей в этой функции нечетно, минимум ее достигается в "серединной" точке, т. е. при . Значит, .

Второй способ. Данная функция является кусочно- заданной, причем на каждом из промежутков она является линейной. На промежутках угловые коэффициенты функции отрицательны, следовательно, функция убывает на каждом из этих промежутках, а, значит, в силу непрерывности функции, убывает на . Аналогично показывается, что возрастает на . Следовательно, .