Урок по теме "Касательная. Уравнение касательной"

Тип урока: изучение нового материала.

Методы обучения: наглядный, частично поисковый.

Цель урока:

1. Ввести понятие касательной к графику функции в точке, выяснить, в чём состоит геометрический смысл производной, вывести уравнение касательной и научить находить его для конкретных функций.
2. Развитие логического мышления, исследовательских навыков, функционального мышления, математической речи.
3. Выработка коммуникативных навыков в работе, способствовать развитию самостоятельной деятельности учащихся.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, раздаточный материал.

План урока

I Организационный момент.
<слайд 2, 3> Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение темы и девиза урока.

II Актуализация материала.
(Активизировать внимание, показать недостаточность знаний о касательной, сформулировать цели и задачи урока.) <слайд 5>

Давайте обсудим, что такое касательная к графику функции? Согласны ли вы с утверждением, что «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»?
Идёт обсуждение. Высказывания детей (да и почему, нет и почему). В процессе обсуждения приходим к выводу, что данное утверждение не верно.

Примеры. <слайд 6>
1) Прямая x = 1 имеет с параболой y = x2 одну общую точку M(1; 1), однако не является касательной к параболе. Прямая же y = 2x – 1, проходящая через ту же точку, является касательной к данной параболе <рисунок 1>.
 2) Аналогично, прямая x = π не является касательной к графику y = cos x, хотя имеет с ним единственную общую точку K(π; 1). С другой стороны, прямая y = - 1, проходящая через ту же точку, является касательной к графику, хотя имеет с ним бесконечно много общих точек вида

(π+2 πk; 1), где k – целое число, в каждой из которых она касается графика <рисунок 2>.

Рисунок 1

Рисунок 2

Постановка цели и задачи перед детьми на уроке: <слайд 7> выяснить, что такое касательная к графику функции в точке, как составить уравнение касательной?
Что нам для этого понадобиться?
Вспомнить общий вид уравнения прямой, условия параллельности прямых, определение производной, правила дифференцирования.

III Подготовительная работа к изучению нового материала.
Опрос материала по карточкам: (задания выполняются на доске)
1 ученик: заполнить таблицу производных элементарных функций

2 ученик: вспомни правила дифференцирования

3 ученик: составьте уравнение прямой y = kx + 4, проходящей через точку А(3; -2).
(y = -2x+4)

4 ученик: составьте уравнение прямей y = 3x + b, проходящей через точку С(4; 2).
(y = 3x – 2).

С остальными фронтальная работа. <слайд 8>

1. Сформулируйте определение производной.
2. Какие из указанных  прямых параллельны? у = 0,5х; у = - 0,5х; у = - 0,5х + 2. Почему?

Отгадай фамилию учёного <слайд 9>:

Ключ к ответам

Кем был этот учёный, с чем связаны его работы, мы узнаем на следующем уроке.
Проверка ответов учащихся по карточкам. <слайд 10>

IV Изучение нового материала.
Чтобы задать уравнение прямой на плоскости нам достаточно знать её угловой
коэффициент и координаты одной точки.

• Начнём с углового коэффициента <слайд 11>

Рисунок 3

Рассмотрим график функции y = f(x)  дифференцируемой в точке А(x₀, f(x₀)) <рисунок 3>.
Выберем на нём точку M (x₀ + Δх, f(x₀+ Δх)) и проведем секущую AM.
Вопрос: чему равен угловой коэффициент секущей? (∆f/∆x=tgβ)

Будем приближать по дуге точку M к точке A. В этом случае прямая AM будет поворачиваться вокруг точки A, приближаясь (для гладких линий) к некоторому предельному положению - прямой AT. Другими словами < TAM → 0 если длина АМ → 0. Прямую AT, обладающую таким свойством, называют касательной к графику функции y = f(x) в точке А(x₀, f(x₀)). <слайд 12>

Угловой коэффициент секущей AM при AM → 0 стремится к угловому коэффициенту касательной AT Δf/Δx → f '(x₀). Значение производной в точке х₀ примем за угловой коэффициент касательной. Говорят, что касательная есть предельное положение секущей  при ∆х → 0.

Существование производной функции в точке x₀ эквивалентно существованию (невертикальной) касательной в точке (x₀, f(x₀)) графика, при этом угловой коэффициент касательной равен f '(x₀) . В этом состоит геометрический смысл производной. <слайд 13>

Определение касательной: <слайд 14> Касательная    к    графику   дифференцируемой    в точке х₀функции f  — это прямая, проходящая через точку (x₀, f(x₀)) и имеющая угловой коэффициент f '(х₀).
Проведем касательные к графику функции y = f(x)  в точках х₁, х₂, х₃,  <рисунок 4> и отметим углы, которые они образуют с осью абсцисс. (Это угол, отсчитываемый в положительном направ­лении от положительного направления оси до прямой.)

Рисунок 4

Мы видим, что угол α₁ острый, угол α₃ тупой, а угол α₂ равен нулю, так как прямая l параллельна оси Ох. Тангенс острого угла   положителен,   тупого — отрицателен. Поэтому  f '(х₁)>0, f '(х₂) = 0, f '(х₃) < 0. <слайд 15, 16>

• Выведем теперь уравнение касательной <слайд 17, 18> к графику функцииf в точке А(x₀, f(x₀)).

Общий вид уравнения прямой y = kx + b.

1. Найдём угловой коэффициент k = f '(х₀), получим y = f '(х0)∙x + b, f(x) = f '(х₀)∙x + b
2. Найдём b.  b = f(x₀) - f '(х₀)∙x₀.
3. Подставим полученные значения k и b в уравнение прямой: y = f '(х₀)∙x + f(x₀) - f '(х₀)∙x₀ или  y = f(x₀) + f '(х₀)(x - x₀)

•  Обобщение материала лекции. <слайд 19>

- что называется касательной к графику функции в точке?
- в чём заключается геометрический смысл производной?
- сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?

1. Значение функции в точке касания
2. Общую производную функции
3. Значение производной в точке касания
4. Подставить найденные значения в общее уравнение касательной.

V Закрепление изученного материала.

1. Устная работа:
1) <слайд 20> В  каких точках графика <рисунок 5> касательная к нему
а) горизонтальна;
б) образует с осью абсцисс острый угол;
в) образует с осью абсцисс тупой угол?
2)  <слайд 21> При каких значениях аргумента производная функции, заданной графиком <рисунок 6>
а) равна 0;
б) больше 0;
в) меньше 0?

Рисунок 5

Рисунок 6

3) <слайд 22> На рисунке изображён график функцииf(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f '(x) в точке x₀<рисунок 7>.

Рисунок 7

 2. Письменная работа.
№ 253 (а, б), № 254 (а, б). (работа на местах, с комментарием)

3. Решение опорных задач. <слайд 23>
Рассмотрим четыре типа задач. Дети читают условие задачи, предлагают алгоритм решения, один из учеников оформляет его на доске, остальные записывают в тетрадь.
1. Если задана точка касания
Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = x³ – 3x – 1 в точке М с абсциссой –2.
Решение: 

1. Вычислим значение функции: f(-2) =(-2)³ – 3(-2) – 1 = -3;
2. найдём производную функции:  f '(х) = 3х² – 3;
3. вычислим значение производной:  f '(-2) = - 9.;
4. подставим эти значения в уравнение касательной: y = 9(x + 2) – 3 = 9x + 15.

Ответ: y = 9x + 15.

2. По ординате точки касания.
Составить уравнение касательной в точке графика с ординатой y₀  = 1.
Решение:

1. Найдем абсциссу точки касания: , х₀ = 1.
2. Найдём производную функции: f '(х) = .
3. Найдем угловой коэффициент касательной f '(х₀) : f '(1)= - 1
4. Теперь можно записать уравнение касательной:  y = –1(x – 1) + 1 = –x + 2.

Ответ: y = –x + 2.

3. Заданного направления.
Написать уравнения касательной к графику y = x³ – 2x + 7, параллельной прямой у = х.
Решение.
Искомая касательная параллельна прямой y = x.  Значит, они имеют один и тот же угловой коэффициент k = 1,  y'(х) = 3х2 – 2. Абсцисса х₀ точек касания удовлетворяет уравнению 3х² – 2 = 1, откуда х₀ = ±1.
Теперь можно написать уравнения касательных: y = x + 5 и y = x + 9.
Ответ: y = x + 5,  y = x + 9.

4. Условия касания графика и прямой.
Задача. При каких b прямая  y = 0,5x + b является касательной к графику функции f(х) = ?
Решение.
Вспомним, что угловой коэффициент касательной – это значение производной в точке касания. Угловой коэффициент данной прямой равен k = 0,5. Отсюда получаем уравнение для определения абсциссы x точки касания: f '(х) = = 0,5. Очевидно, его единственный корень  –х = 1. Значение данной функции в этой точке у(1) = 1. Итак, координаты точки касания (1; 1). Теперь остается подобрать такое значение параметра b, при котором прямая проходит через эту точку, то есть координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: 1 = 0,5 ·1 + b, откуда b = 0,5.

5. Самостоятельная работа обучающего характера. <слайд 24>

Работа в парах.

Проверка: результаты решения заносятся в таблицу на доске (от каждой пары один ответ), обсуждение ответов.

6. Нахождение угла пересечения графика функции и прямой.  <слайд 25>
Углом пересечения графика функции y = f(x) и прямой l называют угол, под которым в этой же точке прямую пересекает касательная к графику функции.
№ 259 (а, б), № 260 (а) – разобрать у доски.

7. Самостоятельная работа контролирующего характера. <слайд 26> (работа дифференцированная, проверяет учитель к следующему уроку)
1 вариант.

1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x)= х³+ 27 в точке х₀ = -3.
2. Напишите уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой  х₀ = 3. Выполните рисунок.
3. Выясните, является ли прямая у = 0,5х + 0,5 касательной к графику функции у = .

2 вариант.

1. В каких точках касательная к графику функции f(x) = 3х² - 12х + 7 параллельна оси х?
2. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x)= х² - 4 в точке с абсциссой х₀ =  - 2. Выполните рисунок.
3. Выясните, является ли прямая у = 12х – 10 касательной к графику функции у = 4х³.

3 вариант.

1. В какой точке графика функции у = . касательная наклонена к оси абсцисс под углом 60°?
2. Составьте уравнение касательной к графику функции  , параллельно прямой у = 3х.
3. Выясните, является ли прямая у = х касательной к графику функции у = sin x.

VI Подведение итогов урока. <слайд 27>
1. Ответы на вопросы
- что называется касательной к графику функции в точке?
- в чём заключается геометрический смысл производной?
- сформулируйте алгоритм нахождения уравнения касательной в точке?
2. Вспомните цели и задачи урока, достигли ли мы данной цели?
3. В чём были трудности на уроке, какие моменты урока наиболее понравились?
4. Выставление отметок за урок.
VII Комментарий домашнего задания: п. 19 (1, 2), № 253 (в), № 255 (г), № 256 (г), № 257 (г), № 259 (г). Подготовить сообщение о Лейбнице <слайд 28>.

Литература <слайд 29>

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10—11 кл. общеобразоват. учреждений / А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н.Колмогорова. - М.: Просвещение, 2004.
2. Дидактические материалы по алгебре и нача­лам анализа для 10 класса / Б.М.Ивлев, С.М.Саакян, С.И. Шварцбурд. - М.: Просвещение, 2003.
3. Мультимедийный диск  фирмы «1С». 1С: Репетитор. Математика (ч. 1) + Варианты ЕГЭ. 2006.
4. Открытый банк заданий по математике/ http://mathege.ru/