Цели:
- рассмотреть зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника (в ходе практической работы)
- дать определение синуса, косинуса, тангенса
- доказать некоторые их свойства
- познакомить с историей возникновения понятия «синус»
- развивать логическое мышление
- формировать умения по использованию приемов сравнения и анализа
- воспитывать культуру общения
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Вводное слово учителя.
Ребята, сегодня мы работаем в группах. Цель работы – выявить существующие особенности некоторых отношений длин сторон прямоугольного треугольника .Предстоящая работа потребует от вас предельного внимания, точности и, конечно же
аккуратности. Для работы нам нужны чертежи двух прямоугольных треугольников, имеющих равные острые углы. Для облегчения этой работы воспользуемся небольшой хитростью: мы как бы «наложим» эти треугольники друг на друга. Вот так, например,
Ребята, работать в группах вы будете по плану, записанному на доске. Но хочу еще раз напомнить, что удивительный результат вас ожидает лишь в том случае, если вы будете очень-очень внимательны и точны.
III. Практическая работа в парах.
План работы
1. Начертите треугольники.
Измерьте длины указанных сторон треугольников в мм и вычислите их отношения с помощью МК (с точностью до 4-х знаков после запятой)
2. Сравните полученные результаты с результатами в своей группе.
3. Округлите полученные вами результаты до десятых и сравните следующие отношения
4. Оцените расположение указанных сторон по отношению к острому углу А (противолежащая. прилежащая) и друг к другу (катет, гипотенуза)
5. Как вы думаете:
а) результаты, полученные в п.3, – это случайность или закономерность?
б) значения отношений зависят от длин сторон или от величины угла ?
Обсудив ответы, приходим к выводу, что полученные результаты зависят от величины острого угла, но не зависят от размеров треугольника. Теперь можно дополнить записи ребят недостающими отношениями
6. Попробуйте определить, какие именно соотношения вы находили в своей группе. Сформулируйте выводы ,полученные в экспериментах ,используя понятия «прилежащий катет», «противолежащий катет».
Сформулируем теперь установленные закономерности более грамотно математически:
Если в двух прямоугольниках треугольниках острые углы равны, то отношения
- противолежащего катета к гипотенузе
- прилежащего катета к гипотенузе
- противолежащего катета к прилежащему катету
равны.
IV. Вывод:
Итак, в прямоугольном треугольнике отношение длин двух сторон не зависит от их длины ,а зависит лишь от величины острого угла. Было бы непростительно оставить этот факт без внимания, поэтому указанным отношениям дали названия синус, косинус, тангенс.
Посовещавшись в своей группе, скажите что же вы находили в своей практической работе: sin A, cos A или tg A? Попробуйте самостоятельно сформулировать определения этих понятий. (Выслушав ответы ребят, можно предложить прочитать эти определения в учебнике).
V. Историческая справка (готовит учитель или ученик)
Интересна история возникновения термина «синус»:
Древние индийцы изучали эти отношения, рассматривая рисунок, который очень был похож на изображение половины лука. Слово это звучало как «ардхаджиба».
Затем (здесь сыграло свою роль стремление математиков к краткости) это слово сократилось до короткого «джиба», которое не имеет самостоятельного смысла.
Арабы это слово при переводе древнеиндийских рукописей не переводили, а записывали своими буквами, но тут вмешалась особенность арабской орфографии — в арабском языке многие гласные буквы не пишутся и слово «джиба» оказалось записанным лишь двумя буквами «джим» и «бо». Европейский переводчик решил, что здесь записано слово «джайб», означающее залив (впадина). По латыни (в XII веке) это записывалось sinus. Ошибку же обнаружили лишь в XIX веке, менять что-либо было уже поздно, тем более, что это никому не мешает.
sinA \
cosA | – тригонометрические функции
tgA /
Термин «тригонометрия» означает дословно треугольникомерие или измерения в треугольнике.
VI. Продолжим работу над введенными понятиями:
1. Ученик у доски заполняет пробелы, проговаривая определение (по готовому чертежу)
2. Задание выполняется учениками класса самостоятельно (с последующей проверкой)
а) sinX =
б) cosX =
в) tgX =
3. Вспомнив определения синуса, косинуса, тангенса, сравните их с 0 и 1.
(Полученные результаты, обсудить.)
Рассмотрим некоторые свойства тригонометрических функций.
I. Продолжите равенство:
Проверьте равенство:
sin2X + cos2X = 1
Итак, sin2α + cos2α = 1
Мы получили равенство, которое называют основным тригонометрическим тождеством.
VII. Преобразуйте следующее отношение:
Итак, мы получили еще одно определение тангенса:
VIII. Подведение итогов урока.
IX. Домашнее задание: подготовиться к диктанту по теории, используя материалы конспекта и текста учебника.