Тип урока: обобщающий урок, систематизация изученного материала.
Цели урока:
- Прорешать задачи на смеси, растворы и сплавы различными способами
- Развивать логическое мышление учащихся, устную и письменную речь
- Развивать интерес к предмету, внимание, воспитывать аккуратность и самостоятельность
ХОД УРОКА
I. Оргмомент
Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, вещества или разбавлять что-либо водой. Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы входят в различные сборники заданий по математике ГИА и ЕГЭ.
II. Актуализация опорных знаний
Если два сплава ( раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то сохраняется объём (V = V1 + V2) и масса (m = m1 + m2). Это свойство называют законом сохранения объёма и массы.
Пример: Если сплав содержит золото и медь в отношении 5 : 9, то в этом сплаве 5/14 от массы сплава составляет золото, а 9/14 – масса меди.
Абсолютное содержание вещества в смеси –
это количество вещества, выраженное в единицах
измерения (литр, грамм и др.)
Относительное содержание вещества в смеси –
это отношение абсолютного содержания к общей
массе ( объёму) смеси.
Относительное содержание называют концентрацией
или процентным содержанием.
Сумма концентраций всех компонентов смеси
равна 1.
Например, если раствор содержит 30% кислоты, то
чистая кислота занимает в этом растворе 0,3 всего
объёма. Значит концентрация кислоты в растворе
0,3.
III. Закрепление материала решением задач
Задача 1. Смешивают 200г 80%-го раствора соли и 700 г 20%-го раствора той же соли. Сколько соли в полученном растворе?
Решение: В первом растворе 0,8 * 200 = 160г соли, во втором 0,2 * 700 = 140 г. Значит в полученном растворе 160 + 140 = 300 г соли.
Задача 2. Какой раствор получится при смешивании 300г 50% раствора соли и раствора, в котором 150 г соли составляют 25%?
Решение: В первом растворе 0,5 * 300 = 150 г соли, во втором растворе 150г соли составляют 25%. Значит всего второго .раствора 150 : 0,25 = 600 г. В двух растворах вместе 300 + 600 = 900 г, а соли в них 150 + 150 = 300 г. Концентрация смеси составляет 300 : 900 * 100% = 30%.
Задача 3. Имеются сплавы золота и платины. В одном эти металлы находятся в соотношении 3:5, а в другом 5:7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового сплава, в котором соотношение золота и платины было бы 6 : 9?
Решение: Пусть масса первого сплава
составляла х кг, масса второго сплава – у кг.
Тогда х + у = 1 (1)масса нового сплава.
Золота в этом сплаве выражено уравнением: 3/8х +
5/12у = 6/15 * 1(2), платина 5/8х + 7/12у = 9/15 * 1(3).
Решая, например, систему, состоящую из уравнений
(1) и (3), получаем, что х = 2/3 кг у = 1/3 кг
Задача 4. Имеются два сплава золота с серебром. Один сплав содержит 20% золота, а второй 70% золота. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 100г , содержащего 40% золота?
Решение: Пусть первого сплава нужно взять
х г, а второго = – у г. Тогда х + у = 100 и 0,2х + 0,7у =
0,4 * 100.
Решая полученную систему, получим х = 60г у = 40 г
Задача 5. Смешали 20% соляной раствор с 70% раствором и получили 500г 30% раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?
Решение: Обозначим массу первого раствора
за х г , тогда масса второго (500 – х) г. Соль в
этом растворе составляет 0,2х + 0,7(500 – х) = 500 *
0,3.
Решая уравнение, получим х = 400 г. Значит второго
раствора надо взять 100 г.
Задача 6. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?
Используем графики: приравняем площади равновеликих прямоугольников:
10х = 25 * (140 – х)
х = 100
140 – 100 = 40
Ответ: 100т и 40т
Задача 7. Имеется два кислотных раствора : один 10%, другой 40%. Взяли 1л первого и 2л второго и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?
Решение: В первом растворе 0,1 * 1л = 0,1л «чистой» кислоты, во втором 0,4 * 2л = 0,8л «чистой» кислоты. Новый раствор объёмом 1л + 2л = 3л содержит 0,1 + 0,8 = 0,9л «чистой» кислоты. Значит концентрация кислоты в новом растворе равна 0,9:3 = 0,3 или 30%.
Задача 8. Имеется руда из двух пластов с содержанием цинка 6% и 12%. Сколько руды с меньшим содержанием цинка надо взять, чтобы получить при смешивании с рудой с большим содержанием 40т руды содержанием 9% цинка?
Решение: Пусть руды с меньшим содержанием цинка надо взять х т Она будет содержать 0,06х т цинка. Тогда руды с большим содержанием цинка надо взять (40 – х)т и она будет содержать 0,12(40 – х) т цинка Так как 40т руды будут содержать 40 * 0,09 = 3,6т цинка, то получим уравнение: 0,06х + 0,12(40 – х) = 3,6; откуда х = 20
Ответ: 20 т руды с 6% содержанием цинка.
Задача 9. Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ
У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих масел нужно взять, чтобы получить ведро масла ценою 7 гривен?
Решение:
Из схемы делаем вывод, что дешевого масла надо взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра ценою 7 гривен, нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого 3/4 ведра.
Задача 10. Способ Л. Ф. Магницкого для трёх веществ
Некто имеет чай трёх сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях надо смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?
Решение:
Взять 6 + 2 = 8 частей чая ценой 5 гривен за фунт и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по 1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценное 8/10 * 5 + 1/10 * 8 + 1/10 * 12 = 6 гривен.
Задача 11. Сплавили два слитка золота 50 г 595 пробы и 150 г 375 пробы. Определить пробу слитка.
Решение:
Пусть проба сплава равна х. Составим диагональную схему:
375
(150г)
х – 595
Получаем: (375 – х) : (х – 595) = 50 : 150
1125 – 3х = х = 595
х = 430
Ответ: сплав 430 пробы.
«Правило креста»
При решении задач на смешивание растворов различных концентраций используется «правило креста». В точке пересечения двух прямых обозначают концентрация смеси. У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают концентрации составных частей смеси, а справа – разности концентраций смеси и её составных частей.
Например, для приготовления 30 г 80%-го раствора кислоты требуется взять 20 г 90%-го и 10 г 60%-го растворов кислоты.
Задача 12. От двух кусков сплава массами 3 и 2 кг с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков?
Решение: Обозначим массу отрезанных кусков за х. Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операций стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах пропорциональны. Первоначально массы меди в сплавах равны 3 * 0,6 = 1,8 кг и 2 * 0,8 = 1,6кг. После того, как отрезали куски массой х кг, содержание меди стало 0,6 * (3 – х) и 0,8 * (2 – х), а после сплавления 0,6 * (3 – х) + 0,8х и 0,8 * (2 – х) + 0,6х
х = 1,2
Ответ: 1,2 кг
Задача 13. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько кг меди было в куске латуни первоначально?
Решение: Обозначим искомую величину за х. Тогда масса первоначального куска латуни 2х – 11А его содержание меди
Составляет 
процентов. Поскольку «медность» куска меди
составляет 100%, то по правилу квадрата получаем:
Задача 14. В бидон налили 4 л молока 3%-й жирности и 6 л молока 6%-й жирности. Сколько % составляет жирность молока в бидоне?
Решение: Обозначим искомую величину за х. По правилу квадрата получим: и составим пропорцию:
IV. Самостоятельная работа
1. Сплавили 2кг цинка и меди , содержащего 20% цинка и 6 кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве. (Ответ: 65% меди в новом сплаве)
2. Для приготовления маринада необходим 2%-й раствор уксуса. Сколько надо добавить воды в 100 г 9%-го уксуса, чтобы получить раствор для маринада? (Ответ: 350г воды)
V. Домашнее задание
Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?
Используемая литература:
1. Сборники подготовки к ЕГЭ, 2009 и 2010 год
2. Справочник по элементарной математике под
редакцией П.Ф. Фильчакова, «Наукова Думка», Киев,
1972 год
3. Г.Г.Мамонтова «Математика. Подготовка к ЕГЭ»,
Москва «Новое знание», 2008 г.