Урок алгебры "Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии" (9-й класс)

Цели:

1. Ввести понятие арифметической прогрессии.
2. Вывести формулу n-ого члена арифметической прогрессии.
3. Рассмотреть основные типы задач на применение формулы n-ого члена арифметической прогрессии.
4. Использовать на уроке элементы развивающего обучения.
5. Развивать аналитическое мышление учащихся.

На уроке используется презентация.

Ход урока

Учитель. На предыдущем уроке мы ввели понятие бесконечной числовой последовательности, как функции, определенной на множестве натуральных чисел и выяснили, что последовательности бывают бесконечными и конечными, возрастающими и убывающими, а также узнали о способах их задания. Перечислите их .

Учащиеся.

1. Аналитический (с помощью формулы).
2. Словесный (задание последовательности описанием).
3. Рекуррентный (когда любой член последовательности, начиная с некоторого, выражается через предыдущие члены).

Задание 1. Укажите, если возможно, 7-й член каждой последовательности.

(а_n): 6; 10; 14; 18; 22; 26;…
(b_n): 49; 25; 81; 4; 121; 64...
(c_n): 22; 17; 12; 7; 2; -3…
(x_n): -3,8; -2,6; -1,4; -0,2; 1; 2,2…
(y_n): -12; 7; 8; 14; -23; 41…

Учитель. Почему для последовательностей b_n и y_n ответить на вопрос нельзя ?

Учащиеся. В данных последовательностях нет определенной закономерности, хотя (b_n) состоит из квадратов натуральных чисел, но взяты они в произвольном порядке, а (y_n) представляет собой произвольный ряд чисел, поэтому на седьмом месте может стоять любое число.

Учитель. Для последовательностей (а_n); (c_n); (x_n) все вы смогли правильно найти 7-й член.

Задание 2. Придумайте свой подобный пример такой последовательности. Укажите 4 первых ее члена. Обменяйтесь тетрадями с соседом по парте и определите 5-й член данной последовательности.

Учитель. Каким общим свойством обладают подобные последовательности?

Учащееся. Каждый последующий член отличается от предыдущего на одно и то же число.

Учитель. Последовательности такого типа называются арифметическими прогрессиями. Они и будут предметом нашего сегодняшнего изучения. Сформулируйте тему урока.

(Первую часть темы учащееся легко формулируют. Вторую часть учитель может сформулировать сам)

Учитель. Сформулируйте цели урока, исходя из данной темы.

(Важно, чтобы учащиеся как можно более полно и точно сформулировали учебные цели, тогда они принимают их и стремятся достичь)

Учащиеся.

1. Дать определение арифметической прогрессии.
2. Вывести формулу n-ого члена арифметической прогрессии.
3. Научиться решать задачи по теме (рассмотреть различные типы задач).

Затем полезно спроецировать на экран цели, поставленные учителем перед учащимися, чтобы они убедились в том, что цели у них общие.

Учитель. Немного истории. Термин «прогрессия» происходит от латинского progression, что означает «движение вперед», был введен римским автором Боэцием в 6 в.н.э. и получил дальнейшее развитие в трудах Фибоначчи, Шюке, Гаусса и других ученых.

Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом. Это число называется разностью арифметической прогрессии и обозначается d.

(a_n): a₁; a₂ ; a₃; …a_n… арифметическая прогрессия.
d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = … = a_n+1 - a_n

Задание 3. Пусть a₁ = 7; d = 0.

Назовите следующие 3 члена последовательности.

Учащиеся. 7; 7; 7

Учитель. Такие последовательности называются постоянными или стационарными.

Пусть a₁ = -12; d = 3. Назовите 3 члена данной последовательности.

Учащееся. -9; -6; -3

Учитель. Буду ли я права, если назову числа: -15; -18; -21 ?

Как правило большинство учащихся считают, что это правильно. Тогда следует попросить их определить номер каждого члена. Так как номер члена последовательности должен быть выражен натуральным числом, то в данной последовательности названные числа присутствовать не могут.

Задание 4. В арифметической прогрессии a₁; a₂; 6; 4; а₅ найдите a₁; a₂; а₅.

Задание выполняется в парах, один ученик по желанию выполняет его с обратной стороны доски.

Решение:

d = 4 – 6 = -2
а₅ = а₄ + d = 4 – 2 = 2
а₂ = а₃ – d = 6 – (-2) = 8
а₁ = а₂ – d = 8 – (-2) = 10

Укажите для данной последовательности а₈ и а₁₂₆

Учащиеся. а₈ = -4 а₁₂₆ указать можно, но слишком долго считать.

Учитель. Значит необходимо найти такой способ, который позволит нам быстро отыскивать любой член последовательности. Попробуйте вывести формулу n-ого члена арифметической прогрессии.

К доске можно вызвать сильного ученика и путем четко поставленных вопросов и помощи класса вывести формулу.

Вывод формулы:

а₂ = а₁ + d
а₃ = а₂ + d = а₁ + 2d
а₄ = а₃ + d = а₁ + 3d
и т.д.

а_n = а₁ + (n – 1) d - формула n-ого члена арифметической прогрессии. 

Учитель. Итак, что необходимо знать для определения любого члена арифметической прогрессии ?

Учащиеся. а₁ и d

Учитель. Пользуясь этой формулой, найдите а₁₂₆.

Учащиеся. а₁₂₆ = а₁ + 125d = 10 = 125 ∙ (- 2) = 10 – 250 = - 240

Задание 5. Пусть (b_n): арифметическая прогрессия, в которой b₁ - первый член, а d – разность. Найдите ошибки:

b4 = b1 + 3d		b2k = b1 + (2k – 1)∙d
b9 = b1 + 10d		bk-4 = b1 + (k – 3)∙d
b-3 = b1 - 4d		bk+7 = b1 + (k – 6)∙d

Задание 6. Рассмотрим формулу n-ого члена арифметической прогрессии. Выясним, какие типы задач с использованием этой формулы можно решать. Сформулируйте прямую задачу.

Учащиеся. По заданным значениям а₁ и d найти а_n.

Учитель. Какие обратные задачи можно поставить ?

Учащиеся.

1. Дано а₁ и а_n. Найти d.
2. Дано d и а_n. Найти а₁.
3. Дано а₁, d и а_n. Найти n.

Задание 7. Найдите разность арифметической прогрессии, в которой у₁ = 10; у₅ = 22

Решение у доски:

у₅ = у₁ + 4d
22 = 10 + 4d
4d = 12
d = 3

Задание 8. Содержит ли арифметическая прогрессия 2; 9; … число 156 ?

Анализ: путем рассуждений приходим к выводу о том, что т.к. у каждого числа в последовательности имеется свой номер, выраженный натуральным числом, то необходимо найти номер члена последовательности и выяснить, принадлежит ли он множеству натуральных чисел. Если принадлежит, то последовательность содержит данное число, в противном случае – нет.

Решение у доски:

а_n = а₁ + (n – 1) d
156 = 2 + 7 (n – 1)
7 (n – 1) = 154
n – 1 = 22
n = 23

Ответ: а₂₃ = 156

Задание 9. Найдите первые три члена арифметической прогрессии, в которой

а₁ + а₅ = 24;
а₂∙а₃ =60

Задание анализируем, составляем систему уравнений, которую предлагается решить дома.

а₁ + а₁ + 4d = 24;
(а₁ + d)∙(а₁ + 4d)= 60.

Подведение итога урока.

Что нового вы узнали сегодня на уроке ? Чему научились ?

Домашнее задание. Ознакомиться с материалом п. 25 учебника. Выучить определение арифметической прогрессии и формулу n-ого члена. Уметь выражать из формулы все входящие в нее величины. Решить систему к заданию 9. Выполнить по учебнику № 575 (а,б); 576; 578(а); 579(а).

Задание на дополнительную оценку: пусть a₁; a₂ ; a₃; …a_n… арифметическая прогрессия. Докажите, что a_n+1= (а_n + a_n+2) : 2