Цели занятия:
Образовательная
- ввести понятие иррационального уравнения,
- показать методы решений иррациональных уравнений.
Развивающая
- способствовать формированию умений классифицировать уравнения по методам решений,
- научить применять эти методы,
- развивать математическое и логическое мышление.
Воспитательная
- воспитание самоконтроля, ответственности,
- совершенствование работы в парах.
Ход урока.
- Орг.момент.
- Объяснение теоретического материала.
- Совместный разбор различных методов решений уравнений.
- Отработка практических навыков решений уравнений. (Индивидуальная работа, работа в парах.)
- Подведение итогов работы.
- Задания для самостоятельного решения.
Теоретический материал.
Определение. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, называется иррациональным.
Решить уравнение- значит найти множество всех его решений или доказать, что решений нет.
Примеры иррациональных выражений:
1) 
= 4 2) 
+
= 4
3) 
+
= 5х .
Рассмотрим несколько способов решения иррациональных уравнений.
- Освобождение от радикалов путем возведения в квадрат.
- Введение вспомогательной переменной.
- Решение уравнений, содержащих радикалы нечетной степени.
- Нестандартные приемы решения уравнений.
1. Уравнения вида 
=g(х) , 
=
решаются наиболее простым методом- возведением обеих частей уравнения в квадрат , что позволяет освободиться от радикалов. При этом должно выполняться условие: f (x)
0 ; g(x)
0.
Пример 1. 
=х+1
Возведем обе части уравнения в квадрат. Получаем:
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые. Запишем многочлен в стандартном виде.
Найдем корни квадратного уравнения. х1=3 ; х2=-2.
Способом подстановки выясняем, что -2 не является корнем уравнения.
Ответ: 3.
Пример 2. 
*
=2.
Применим формулу: 
*
=
;
получим: 
=2
(х-2)(х-5) = 4.
Раскрываем скобки, находим корни квадратного уравнения.
х1=6, х2=1.
Пример 3. 
=
.
Возведем обе части уравнения в квадрат.
х3-х+1=1-х. 1-х ≥0
х3=0 х ≤1
х=0
Ответ: 0
2. Одним из распространенных приемов решения уравнения является введение вспомогательных переменных, относительно которых получается либо более простое иррациональное уравнение, либо рациональное.
Пример 1.
=0.
=0
Введем переменную а.
Пусть 
= а , тогда получаем новое уравнение
а²-12+4а=0,
а²+4а-12=0.
Решаем квадратное уравнение, находим его корни
а1=2 ,
а2=-6. а=-6 не входит в ОДЗ.
Вернемся к подстановке.
=2
х²+3х-6=4
х²+3х-10=0
х1=-5 , х2=2. С помощью подстановки определяем, что оба корня являются решениями данного уравнения.
Ответ : -5; 2.
Пример 2. 
-2
=1. ОДЗ : (1; +∞ )
Введем переменную а.
=
. Пусть 
= а , тогда
получаем уравнение: а-2
-1=0.
Умножим полученное уравнение на а.
а²-а-2=0. Найдем корни квадратного уравнения.
а1= -1, а2=2.
а=-1-посторонний корень, так как а
0.
Возвращаемся к подстановке.
=2. 
= 4. х=2,5.
Ответ: 2,5.
3. Для решения уравнений нечетной степени необходимо повторить формулы сокращенного умножения.
( а+в )3=а3+в3+3ав( а+в )
( а-в )3= а3- в3-3ав( а-в )
Пример 1. В отличии от рассмотренных ранее примеров данное уравнение нужно возвести в куб.
х-1=
.
х³-3х²+3х-1=х²-х-1
х³-4х²+4х=0
Вынесем общий множитель за скобку.
х (х²-4х+4)=0
х (х-2)²=0
х1=0 , х2=2.
Ответ. 0; 2.
Пример 2. 
-
=1.
Преобразуем уравнение к виду: 
=1+
х+34=1+3
+
+х-3
36=3
+3
. Разделим уравнение на 3.
+
-12=0
Введем вспомогательную переменную а.
=а , получим : а²+а-12=0
а1=3 а2=-4
Решаем два уравнения.
1) 
=3 2) 
=-4
х -3=27 х-3=-64
х=30 х= -61
Ответ : - 61; 30.
Пример 3. х=
Так как степень корня 3-нечетное число, то х- любое.
Возведем в куб обе части уравнения.
х³=х³+х²-6х+8
х²-6х+8=0
Найдем корни квадратного уравнения.
х1=2 , х2=4.
Ответ: 2; 4.
4. Нестандартные приемы решения уравнений подразумевают моделирование различных ранее известных способов решений, предварительно выполнив необходимые преобразования.
Пример 1. 
+
=2х
Разделим обе части уравнения на х≠0
+
=2
Введем вспомогательную переменную а.
Пусть 
= а, тогда получаем а+
=2.
Умножим обе части уравнения на а.
а²-2а+1=0
(а-1)²=0 а=1. Вернемся к подстановке.
=1
х=
; х²-2х-15=0 ; х1=-3; х2=5.
Способом подстановки определяем, что х=-3 не является решением.
Ответ: 5.
Пример № 2. 
-
=
ОДЗ: х≥1 ; х<0.
Приведем левую часть к общему знаменателю.
=
=
; 
=
; 
=
Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:
=3; х= 4.
Ответ : 4.
Пример № 3. 
=
.
Умножим левую часть уравнения на сопряженное знаменателю. Получим : 
=
.
=
,
,
=
,
=0 , х²= 441 , х1=21 , х2=-21.
Ответ: 21 ; -21.
После разбора решений иррациональных уравнений учащимся предлагаются разноуровневые задания. Задания могут выполняться как индивидуально, так и в парах.
Уровень А.
1) 
=2х-1
2) 
=10
3) 
=
4) 
=27
5) 
+4
-4=0
Уровень В.
1) 
-2=х
2) 
=6
3) 
+
=6
4) х-2=
5) 
+
=
Уровень С.
1) 
-х= 4
2) 
-
=-1
3) х2+5х+4-5
=0
4) х
-4
+4=0
5) 
+
=
Подведение итогов занятия.