Программа факультативных занятий по математике "Теория вероятностей"

Предлагаемый курс “Теория вероятностей для учащихся 6 класса” рассчитана на 17 часов, и своим содержанием сможет привлечь учащихся 6 класса, которым интересна математика. Данный курс направлен на расширение знаний учащихся, повышение уровня математической подготовки через решения большого класса задач на теорию вероятностей.

Наряду с основной задачей обучения математики – обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений. Данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой. Данный курс содержит материал, который не изучается в курсе математики 6 класса. Учащиеся познакомятся с такими понятиями, как частота и вероятность случайных событий, равновозможные, совместные и не совместные события, формулой вероятности события, достоверные и недостоверные события. При решении задач будут использовать теоремы сложения вероятностей, независимые события, умножение вероятностей событий.

Цели курса:

- помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах как: а) в нахождение частоты вероятностей случайных событий; б) в решении задач с использованием теорем сложения и умножения вероятностей событий;

- создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;

- помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.

Задачи курса:

- научить учащихся находить частоту вероятности случайного события;

- научить учащихся решать задачи с использованием теоремы сложения вероятностей;

- научить учащихся решать задачи с использованием теоремы умножения вероятностей;

- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Учебно-тематический план.

Содержание программы

Тема 1. Предмет теории вероятностей.
Частота и вероятность случайного события

Занятие 1

Предмет теории вероятностей. (Цели смотрите в конце)

Методы обучения: лекция, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных обучений.

Ход занятий.

I. Лекция. “Предмет теории вероятностей”.

1) В своей практической деятельности мы часто встречаемся с явлением, исход которых невозможно предсказать, результатом, которых зависит от случая. Так стрелок участвуя в данных соревнованиях, может попасть или не попасть в мишень. То есть при одних и тех же условиях из 100 выстрелов 92 – попадания, а значит 8 неудач. (Иногда их могут быть 90 или 91 …). Рассмотрим несколько понятий.

Определение 1.

Случайное явление – это отношение числа его наступлений к числу его испытаний, в каждом из которых при одинаковых условиях всех испытаний оно могло наступить или не наступить или не наступить.

Определение 2.

Раздел математики в котором изучается случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовым их повторении называется теорией вероятностей.

Определение 3.

Всякое действие, явление, наблюдение с несколькими различными исходами, реализуемое при данном комплексе условий, называется испытанием.

Определение 4.

Результат действия или наблюдения называется случайным событием.

Пример 1.

При подбрасывании монеты появление цифры являлся случайным событием, поскольку оно может произойти или не произойти.

2) Если нас интересует какое-либо определённое событие из всех возможных, то это событие называется искомым событием (или исходом)

Пример 2.

При подбрасывании игральной кости могут появиться 1 очко(2;3;4;5 или 6) то эти исходы являются равновозможными.

События обозначают А, В, С, D…

События делятся на два вида:

• несовместные
• совместные.

Пример 3.

При подбрасывании монеты может появиться как цифра, так и герб. Значит если цифра, то она исключает появление герба, следовательно это пример несовместных событий.

Пример 4.

На мишени нарисовали , , , раздельно. Произведём выстрел.

Решение.

Событие А – событие, что выстрел попал в ;

Событие В – событие, что выстрел попал в ;

Событие С – событие, что выстрел попал в .

Событие А и В; А и С; С и В – несовместные.

3) Определение 5.

Достоверное событие – это событие, которое происходит при данном испытании и обозначается U.

Определение 6.

Невозможное событие – это событие, которое не может произойти при данном испытании и обозначается V.

II. Закрепление.

№ 1. Имеется 1 билет лотереи “6 из 45”. Событие А состоит в том, что он выигрышный., а событие В – в том, что он не выигрышный. Является ли эти события несовместимыми? И почему?

№ 2. В коробке 30 пронумерованных шаров. Установите, какие из следующих событий являются а) невозможными, б) достоверными, если 1) событие А – достали пронумерованный шар; 2) событие В – достали шар с чётной цифрой; 3) событие С – достали шар с нечётной цифрой; 4) событие D – достали шар без номера.

№ 3. Являются ли достоверными или недостоверными события состоящие в том, что при неоднократном бросание кости выпадет:

а) 5 очков; б) 7 очков; в) 1 до 6 очков.

III. Домашние задание. Теоретический материал. Задачи.

VI. Подведение итогов. Цели.

Рассмотреть понятие теории вероятностей, случайного события, испытания, искомого события, равновозможного, совместного и несовместного, достоверного и невозможного и закрепить эти понятия при решение упражнений.

Занятие 2

Тема. Полная система событий. Частота и вероятность случайных событий.

Цели: дать понятия полной системы событий, частоты и вероятности случайных событий, закрепить при решение задач эти понятия.

Методы обучения: лекции, объяснения, устные упражнения письменные упражнения.

Формы контроля: проверка самостоятельно решённых задач.

Ход занятия.

I. Фронтальный опрос.

II. Объяснение новой темы.

Определение 1.

Полной системой событий А₁ , А₂ , А₃ …. Называется совокупность всех несовместных событий, наступление хотя бы одного из которых обязательно при данных испытании.

Определение 2.

Примеры из первого занятия №2 и №3. Если полная система состоит из двух несовместных событий, то такие события называются противоположными и обозначаются A и А.

Определение 3.

Частотой случайного события называется отношение количество исходов к количеству всех испытаний, то есть т – количество исходов, п – количество испытаний, то т/п частота случайного события.

Пример 1.

При бросании 30 раз монеты, 11 раз выпал герб. Найдите частоту события, что выпал герб.

т - 11 п – 30, то частота случайного события равна т/п = 11/30

Ответ: 11/30.

Пример 2.

Пусть имеется 100 деталей, из них 3 бракованные. Найдите число, являющее выражением меры объективности. Стандарта детали.

1) Событие А – взятая деталь стандартная.

Событие В – взятая деталь бракованная.

2) 100 – 3 = 97(деталей) стандартных, т.е. т = 97 п = 100 Р(А) т/п = = 97 /100.

Ответ: 97 /100.

Определение 4.

Вероятность события А равна отношению числа т исходов испытания благоприятствующих наступления А к общему числу п всех равновозможных несовместных исходов, т.е. Р(А) = т/п.

Свойства:

1. Вероятность любого события есть неотрицательное число меньше 1. Р(А) = 97 /100 < 1.
2. Вероятность достоверного события равна 1. Р(U) = 1.
3. Вероятность невозможного события равна 0. Р(V) = 0

Пример 3.

Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что а) выпадет чётное число; б) выпадёт число очков кратное 3; в) выпадёт любое число неравное 5.

1) А – событие, при котором выпадает чётное число (2; 4; 6) т = 3 п = 6 Р(А) = 3/6 = 1/2.

2) В – событие, при котором выпадает число кратное 3 (3;6) т = 2 п = 6 Р(В) = 3/6 = 1/3.

3) С – событие, при котором выпадает число неравное 5 (1, 2, 3, 4, 6)

т = 5 п = 6 Р(С) = 5/6

Ответ: а) 1/2; б ) 1/3; в) 5/6.

III. Закрепление.

№1. В партии 100 деталей, из них 5 – бракованных. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная.

№2. Выбирают число от 1 до 100. определите вероятность того, что в этом числе не окажется цифры 3.

№3. Найдите вероятность того, что наугад выбранное число от 1 до 60 делится на 60.

IV. Самостоятельная работа учащихся с проверкой.

1. Придумайте свои 2–3 задачи и решите на определение вероятности события.

V. Домашнее задание. (Теоретический материал и задачи)

VI. Подведение итогов.

Занятие 3. Семинар

Цель: способствовать выработке навыка решения задач на нахождения вероятностей случайного события.

Ход занятия.

I. Проверка домашнего задания. (Задания, которые вызвали затруднения)

II. Повторение изученного материала.

III. Решение задач.

№1. Даны 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Найти вероятность, что выбрав наугад две точки, учащийся получит нужную прямую.

1) А – событие, при котором учащийся получит нужную прямую (прямая определяется двумя точками, то каждая пара должна отличаться одной точкой)

2) п – количество полученных прямых

п – С²₅ = 5!/2!?3! = 3! ?4 ? 5/1?2 ?3! = 10 (прямых)

№2. В классе 17 девочек и 14 мальчиков. Определите вероятность того, что оба вызванных ученика окажутся: а) мальчиками; б) девочками.

1) 17 + 14 = 31 (ученик) – в классе.

2) С²₃₁ = 31!/2! x29! = 29!x30x31/1x2x29! = 465 (пар) - из девочек и мальчиков.

3) С²₁₇ = 17!/2! x15! = 29! x16 x17/1x2x15! = 136 (пар) – из девочек.

4) С²₁₄ = 14!/2! x12! = 12! x13x14/1x2x12! = 91 (пара) из мальчиков.

5) Событие А, что у доски 2 мальчика Р(А) = 91/465

6) Событие В, что у доски 2 девочки Р(В) = 136/465

Ответ: а) 91/465; б) 136/465.

№3. В семизначном телефонном номере забыта последняя цифра. Определите вероятность того, что наугад выбранная цифра (0 до 9) окажется верной.

№4. Из букв составлено слово “книга”. Это слово рассыпали и произвольно собрали снова. Какова вероятность того, что получится слово “книга”.

№5. Тексты, принадлежащие А. С. Пушкину, содержат 544777 словоупотреблений, среди 8771 раз употреблены различные формы слова “быть”. Найти вероятность того, что выбранное слово из произведений А. С. Пушкина окажется формой слова “быть”.

№6. На книжной полке 40 различных книг. Читатель, посмотрев их, обнаружил, что 10 книг он прочитал. После того он попросил , чтоб ему сняли 3 наугад любые книги. Какова вероятность, что все 3 книги он уже прочитал.

1) С³₄₀ = 40!/3! x37! = 37! x38x39x40/1x2x3x37! = 9880 (способа) можно выбрать из 40 книг по 3.

2) С³₁₀ = 10x9x8/1x2x3 = 120 (способов) можно выбрать из 10 книг по 3.

3) Событие А – событие, что все 3 книги прочитаны ранее. Р(А) = С³₁₀/ С³₄₀ = 120/9880 = 3/247

IV. Домашнее задание.

1. Придумайте 2 задачи на нахождение вероятности случайного события.

V. Подведение итогов.

Тема 2. Теоремы сложения вероятностей

1 занятие

Тема. Теоремы сложения вероятностей.

Цели: научить учащихся при решении задач пользоваться теоремой сложения вероятностей.

Методы обучения: лекции, объяснения, устные упражнения и письменные упражнения.

Формы контроля: проверка самостоятельно решённых задач.

Ход занятия.

I. Проверка домашнего задания.

II. Фронтальный опрос.

Ш. Устные упражнения.

1. Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что а) выпадет нечётное число; б) выпадёт число делящее на 4; в) выпадёт любое число кроме 3 и 5.

2. Из партии 10.000 лампочек оказалось 80 бракованных. Какова вероятность того, что: а) наугад выбранная лампочка бракованная; б) стандартная.

IV. Объяснение нового материала. (Лекция)

Определение 1.

Суммой конечного числа событий называется событие, состоящие в наступление хотя бы одного из них.

Обозначение: А + В или А ? В

А + А + А +…..+ = ^п_к=1А_к

Пример 1.

В урне – 5 белых шаров, 3 черных, 2 в полоску, 7 - в клетку. Найти вероятность того, что извлечён одноцветный шар

I способ.

А – событие, состоящие в том, что извлечён белый шар, В – событие, что извлечён черный, (А+В) – одноцветный.

1) 5 + 3 = 8 (исходов) – А+В.

2)5 + 2 + 3 + 7 = 17 (шар) – всего

3) Р(А+В) = 8/17

II способ.

Р(А) = 5/17

Р(В) = 3/17

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = 5/17 +3/17 = 8/17

Ответ: 8/17

Теорема сложения.

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

Следствие 1.

Р(А₁ + А₂ + А₃ + …. А_п) = Р(А₁ ) + Р(А₂ ) +…. + Р(А_п ).

Следствие 2.

Если события А, В, …..М образуют систему, то сумма вероятностей этих событий равна 1. т.е. Р(А) + Р(В) + …..+ Р(М) = 1.

Следствие 3.

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Р(А) + Р(А^-) = 1:

Р(А) = 1 - Р(А^-)

Р(А^-) = 1 - Р(А)

Пример 2.

Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш 20 р., на 10 - 15 р., на 25 – 2, а на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10 р.

1) А – событие, что купил билет соответствующий 20 р.

В – событие, что купил билет соответствующий 15 р.

С – событие, что купил билет соответствующий 10 р.

Р(А + В + С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) =5/100 + 10/100 + 15/100 = 30/100 = 0,3

Пример 3.

В коробке 250 лап, из них 100 по 100 Вт, 50 – 60 Вт, 50 – 15 Вт.

Вычислите вероятность того, что мощность каждой лампочки не превысит 60 Вт.

А – событие, состоящее, что мощность лампочки 60Вт.

В – событие, состоящее, что мощность лампочки 25Вт.

С – событие, состоящее, что мощность лампочки 15Вт.

D – событие, состоящее, что мощность лампочки 100Вт

Р(А) + Р(В) + Р(С) + Р(D) = 1

Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1 - Р(D) = 1 – 100/250 = 1 – 0,4 = 0,6

Ответ: 0,6.

V. Домашнее задание. (Изучить теоретический материал)

VI. Подведение итогов.

V. Занятие.

Тема. Решение задач с использованием теоремы сложения.

На уроке решаются задачи вида:

№ 1. В корзине 5 белых. 7 чёрных перчаток. Найдите вероятность того, что наугад взятая пара окажется однотонной.

№ 2. В группе 5 человек учится на “5”, 7 человек на “4” и “5”, 15 человек имеют 3 и 3 ученика - “2”. Определите вероятность того, что вызванный ученик не имеет ни “2”, ни “3”.

№ 3. У продавца имеется 10 красных, 8 синих, 5 зелёных, и 15 жёлтых шаров. Вычислите вероятность того, что купленный шар окажется красным, синим, зелёным? (решить двумя способами)

№ 4. На карточках написали натуральные числа от 1 до 10, после чего карточки перевернули и перемешали. Затем наугад открыли 1 карточку. Какова вероятность того, что на ней будет написано простое число или число больше 7.

Тема 3. Независимость событий. Теорема умножений вероятностей

Цели: познакомить учащихся с понятием независимости событий и теоремой умножения вероятностей.

Методы обучения: лекции, объяснения, устные упражнения и письменные упражнения.

Формы контроля: проверка самостоятельно решённых задач.

Ход занятия.

I. Проверка домашнего задания.

II. Фронтальный опрос.

III. Объяснение нового материала.

Определение 1.

Пусть А и В два случайных события одного и того же испытания. Тогда условной вероятностью события А при условии, что наступило событие В называется число Р(АВ)/Р(В). Если обозначить условную вероятность.

Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В) Р(В) 0, то Р(АВ) = Р(А/В) x Р(В)

Пример 1.

В корзине 30 пронумерованных шаров

А – событие, что извлечён шар с кратным номером.

В – событие, что извлечён шар с номером больше 10.

1) Для события В чисел больше 10 – 20 штук.

Для события А(номер кратен 3) благоприятствует 7 при условии, что событие В наступило Р(В) = 7/20.

2) Если событие В не наступило, то Р(А) = 10/30 = 1/3.

Т.к. 7/20>1/3, то следует, что наступление В превышает вероятность события А.

Пример 2.

В ящике находятся 10 лампочек по 15Вт, 10 – по 25Вт, 15 – по 60Вт, 25 – по 100Вт. Определить вероятность того что наугад взятая лампочка имеет мощность более 60Вт, если известно, чт число ватт на взятой лампочке чётное.

1) А – событие, состоящее, что мощность лампочки более 60 Вт.

В – событие, состоящее, что число Вт является чётным (в данном случае 100 Вт).

Р(АВ) = 25/60 = 5/12, а четное число ватт – это 60 и 100 Вт, т.е. Р(В) = 40/60 = 2/3, отсюда следует что Р(А/В) = Р(АВ)/Р(В) = 5/8.

Итак Р(А) и Р(А/В) различны, однако возможен случай, когда Р(А/В) = Р(А), тогда событие А называют независимым от В.

Определение 2.

Событие А называется независимым от события В, если наступление события В не оказывает никакого влияния на вероятность наступления события А.

Т.к. Р(АВ) = Р(АВ) x Р(А/В) отсюда следует, что Р(АВ) = Р(В) x Р(А)

Следствие

Р(А₁ x А₂ x А₃ x …. А_п) = Р(А₁ ) xР(А₂ ) x …. x Р(А_п ).

Пример 3.

В I урне находятся 6 чёрных и 4 белых шара, во II урне 5 черных и 7 белых шаров. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

1) А₁ – событие, что белый шар извлечён из I урны.

А₂ – событие, что белый шар извлечён из II урны.

События А₁ и А₂ независимы Р(А₁) = 4/10 Р(А₂ ) = 7/12

IV. Закрепление.

№ 1. Электрическая схема состоит из 5 последовательно соединенных блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока составляет: 0,3; 0,5; 0,8; 0,1; 0,2.

№ 2. В непрозрачном пакете лежат жетонов с номерами 1, 2, … 9. Из пакета наугад вынимают 1 жетон, записывают его номер и жетон возвращают в пакет. Затем опять вынимают 1 жетон и записывают его номер. Какова вероятность того, что оба раза будут вынут жетоны, номера которых простые числа.

V. Домашнее задание. (Теоретический материал, задачи)

VI. Подведение итогов.

Занятие 2 и 3

На этих занятиях решаются задачи, решаемые на 1 занятие, и ещё новый тип задач вида.

№1. В экзаменационные билеты включено два теоретических и по 1

задаче. Всего составлено 28 билетов. Вычислите вероятность того, что, вынув наугад билет, учащийся ответит на все вопросы, если подготовил 50 вопросов и 22 задачи.

№2. Имеется 2 партии ламп по 20, 30 и 50 штук в каждой. Вероятность того, что, лампы проработают заданное время, равна каждой партии соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Какова вероятность того, что выбранная наудачу лампа из 100 данных ламп проработает заданное время.

№3. Андрей и Олег договорились, что если при бросании двух игральных кубиков сумме выпадет число кратное 5, то выигрывает Андрей, а если сумма кратна 6, то выигрывает Олег. У кого из них больше шансов.

Тема 4. Опыты с конечным числом разновозможных исходов

Занятие 1

Рассматриваются примеры:

- бросание симметричной однородной монеты;

- бросание симметричного однородного игрального кубика;

- бросание двух однородных симметричных монет;

- бросание двух игральных симметричных однородных кубиков.

Занятие

Решение задач.

Тема 5, 6. Подсчёт вероятностей в опытах с равновозможным исходом. Решение задач

Решаются задачи с пособия:

Макарычев Ю.Н. С № 9.75 по 9.92 и с 9.97 по 9.110.

Требование к умениям и навыкам:

В результате изучения курса учащиеся должны знать:

- точно и грамотно формулировать теоретические вопросы в ходе решения задач;

- грамотно и правильно оформлять задачи;

- применять изученные теоремы и формулы;

- подсчитывать вероятности в опытах с равновозможными исходами;

- применять полученные алгоритмы при решения задач.

Контрольно измерительные задачи

Тест

1. Стрелок в неизменных условиях делает 5 серий выстрелов по мишени. В каждой серии 100 выстрелов. Найти частоту попадания в мишень.

2. Бросают игральную кость. Найти вероятность того, что

Вариант 1.

а) выпадет чётное число;

б) любимое число, кроме 1; 5.

Вариант 2.

а) выпадет нечётное число

б) любое число кроме 3; 4.

3. В классе 15 девочек и 12 мальчиков. Определите вероятность того, что оба вызванных к доске ученика окажутся.

Вариант 1 – девочками.

Вариант 2 – мальчиками.

Проверочная работа

1. В классе 5 учащихся учатся на “5”, 9 - на “4” и “5”, 12 - на “3” и 2 - на “2”. Определите вероятность того, что учащиеся не имеют:

Вариант 1 – “3” и “2”.

Вариант 2 – “4” и “5”.

2. При бросании двух игральных кубиков, сумма очков выпавших на верхних гранях, изменяется от 2 до 12. Какова вероятность события:

Вариант 1

А: “сумма очков равна 9”.

В: “сумма очков равна 8”.

Вариант 2

А: “сумма очков равна 10”3. В коробке 200 ламп, из них: 60 ламп по 100 Вт, 50 – по 60 Вт, 50 – В: “сумма очков равна 7”.по 40 Вт и 40 по 25 Вт. Вычислите, вероятность того, что возможность каждой лампочки превысит:

Вариант 1 – 50 Вт.

Вариант 2 – 20 Вт.

4. В I урне находятся 6 белых шаров и 3 чёрных. Во II урне – 7 белых шаров и 5 чёрных. Из каждой урны извлекают по 1 шару. Какова вероятность того, что шары:

Вариант 1 – будут белыми.

Вариант 2 – будут чёрными.

Литература

1. Виленкин Н.Я. Элементы теории вероятности и комбинаторики. М.: Просвещение. 1995 г.

2. Вероятность в задачах для школьников М.: Просвещение. 1996 г.

3. Газета. Математика. №3, №35, №41 1999г. №4, №6, №8, 1997 г. №42, 2002 г. №4, №5, №27, №28 2003 г.

4. Кочетков Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика М: Форум-ИНФРА. – М.: 2003 г.

5. Макарычев Ю.Н. Элементы статистики и теории вероятностей. М.: Просвещение. 2003 г.