Решение задач по моделированию. 11-й класс

Разделы: Информатика

Класс: 11

Цели урока:

  • создать условия для комплексного применения полученных знаний,
  • способствовать развитию логического мышления учащихся,
  • стимулировать развитие интереса к информатике

Тип урока: комплексное применение знаний и умений

Формы учебной деятельности учащихся: индивидуально-групповая

Структура урока: мотивация → актуализация комплекса знаний и способов деятельности → самостоятельное применение знаний в сходной и новой ситуациях → самоконтроль и контроль → коррекция →  рефлексия.

Оборудование урока:

  • персональный компьютер
  • проектор
  • раздаточный материал

Ход урока:

I. Организационный этап

Добрый день, друзья! Я рада вас видеть, и очень хочу начать работу с вами! Хорошего вам настроения.

Тема нашего урока «Решение задач по моделированию».

Эпиграф нашего урока: «Решение задач — специфическое достижение разума, разум же особый дар, которым наделен человек» (Дж. Пойа).

Сегодня мы с вами перейдем к решению задач по моделированию и задач на диаграммы, поскольку графики и диаграммы различного вида являются информационными моделями.

II. Этап проверки выполнения домашнего задания

Вашу готовность, мы проверим с помощью вопросов по теоретическому материалу, которые наши две группы повторили дома.

Понятие: моделирование

1. Что такое модель, моделирование?

Модель — это некий новый объект, который отражает существенные особенности изучаемого объекта, явления или процесса.

Моделирование — это метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей.

2. С какими основными видами моделей мы познакомились?

Модели материальные и модели информационные

Понятие: графы

1. Что такое граф?

Граф – это средство для наглядного представления состава и структуры системы.

2. Назовите элементы графа.

Граф состоит из вершин, связанных дугами или ребрами.

Как они изображаются?

3. Вершины могут быть изображены кругами, овалами, точками, прямоугольниками и пр. Связи между вершинами изображаются линиями. Если линия направленная (т. е. со стрелкой), то она называется дугой, если не направленная (без стрелки), то ребром.

Одно ребро заменяет две дуги, направленные в противоположные стороны. Граф, в котором все линии направленные, называется ориентированным графом.

Две вершины, соединенные дугой или ребром, называются смежными.

4.Что изображается в виде вершины графа? В виде линий?

В случае представления информации о составе и структуре системы в виде графа компоненты системы изображаются вершинами, а связи между ними — линиями (дугами или ребрами).

Вершины обычно обозначают однородные объекты — населенные пункты, станции, компьютеры, предприятия и т. д. Ребра и дуги обозначают связи, отношения — наличие дороги, наличие железнодорожного сообщения, канал связи между компьютерами, перевозки продукции между предприятиями и т. д. Ребро используется, когда связь двусторонняя, дуга — когда связь односторонняя. Ребра и дуги могут быть «взвешенными», т. е. иметь числовые характеристики (расстояние, стоимость проезда, объем перевозок, пропускная способность и т. д.).

Графы используются во многих областях человеческой деятельности.

Понятие: таблицы

Те же самые данные могут быть представлены и в таблице.

1. Чем характеризуется таблица? Виды таблиц?

Таблицы характеризуются названиями строк, столбцов и, конечно, содержимым ячеек.

2. Таблица "Объект-свойство".

В названиях строк и столбцов могут быть отражены и вершины, и ребра (таблица вида «объект—свойство»). Тогда содержимым ячеек обычно является признак принадлежности данной связи данному объекту.

Страница «Сведения об учащихся».

3. Таблица "Объект-объект".

В качестве названий строк и столбцов используют обозначения вершин (таблица вида «объект—объект»). Тогда в ячейках отображаются имеющиеся связи и их параметры («веса»).

Понятие: диаграммы

1. Что такое диаграмма? Для чего они нужны?

Диаграмма представляет собой графическое представление данных таблицы. Диаграммы облегчают восприятие и интерпретацию данных. Они могут помочь, например, при анализе и сравнении результатов расчетов.

2. Что такое элементы и маркеры данных?

Ячейки, значения которых отображаются на диаграмме, называются элементами данных.

Эти значения представляются на диаграмме в виде полос, линий, столбиков, секторов, точек и иных фигур, которые называются маркерами данных

Виды диаграмм.

Наиболее часто используемые: гистограмма, линейчатая диаграмма, график, круговая диаграмма, точечная диаграмма.

1. Особенности их применения.

Гистограмма (столбиковая, или столбчатая, диаграмма) — графическое представление распределения числовых значений какого-либо показателя во времени или по составным частям. Выполняется в виде прямоугольников одинаковой ширины — одинарных или сгруппированных по определенному признаку, расположенных вертикально.

Если прямоугольники располагаются горизонтально, то диаграммы называются линейчатыми (полосовыми). Высоты прямоугольников соответствую числовым значениям сравниваемых величин.

Круговая (секторная) диаграмма применяется чаще всего в том случае, когда нужно изобразить удельный вес составных частей какого-нибудь целого (в долях или процентах).

III. Подготовка учащихся к работе на основном этапе

В кодификаторе элементов содержания по информатике для составления КИМ ЕГЭ раздел «Моделирование и компьютерный эксперимент» конкретизирован следующим образом:

Моделирование и компьютерный эксперимент

1.4.1. Общая структура деятельности по созданию компьютерных моделей.

1.4.2. Представление и считывание данных в разных типах информационных моделей (схемы, карты, таблицы, графики и формулы).

1.4.3. Математические модели (графики, исследование функций).

1.4.4. Построение и использование информационных моделей реальных процессов (физических, химических, биологических, экономических).

Проверяемые элементы содержания:

Умение представлять и считывать данные в разных типах информационных моделей (схемы, карты, таблицы, графики и формулы).

Мы видим, что здесь в основном проверяется умение работать с таблицами, графами, схемами, диаграммами, графиками и т. д. Поэтому мы будем решать задачи, требующие перехода от табличной формы представления данных к графовой, от схематичной к табличной и т. д.

См. приложение 1, слайд 3.

IV. Этап применения знаний и способов действий

Обе наши группы показали, что они имеют достаточно знаний.

Фронтальная работа.

Задание 1. В 2004 г. предлагались задания на знания терминов и определений.

Рассмотрим такой пример.

Укажите верное утверждение:

  • Статическая модель системы описывает ее состояние, а динамическая — поведение.
  • Динамическая модель системы описывает ее состояние, а статическая — поведение.
  • Динамическая модель системы всегда представляется в виде формул или графиков.
  • Статическая модель системы всегда представляется в виде формул или графиков.

Верным в этом задании является утверждение 1.

См. приложение 1, слайд 6.

Задание 2. Какой из приведенных ниже графиков лучше всего описывает зависимость размера архива от размера исходного файла?

См. приложение 1, слайд 7.

Содержательно задача относится к разделу «Программные средства ИКТ. Архиваторы», но здесь проверяется и умение работать с графическими моделями.

Общие рекомендации по решению таких заданий следующие:

  1. Не обращаясь пока к графикам, выделить ключевые слова в формулировке задания. В рассмотренном примере это будет «зависимость размера архива от размера исходного файла».
  2. Сформулировать словами эту зависимость в самом общем виде. В рассмотренном примере: «Для одного и того же архиватора — чем больше файл, тем больше архив».
  3. Обратившись к графикам, проанализировать названия осей. В рассмотренном примере: ось X — «Размер файла», ось Y — «Размер архива».
  4. Проанализировать зависимости, представленные на графиках, и выразить их словами.

В рассмотренном примере:

  • на первом графике — «при увеличении размера файла увеличивается размер архива»;
  • на втором графике — «при увеличении размера файла размер архива остается постоянным (не изменяется)»;
  • на третьем графике — «при увеличении размера файла уменьшается размер архива»;
  • на четвертом графике — «при увеличении размера файла размер архива колеблется — то увеличивается, то уменьшается».
  1. Сделать выбор варианта ответа. В рассмотренном примере — 1. Наиболее важный пункт в представленном алгоритме — второй. Умение вербализовать знания важно с точки зрения развития мышления. Если этот этап пропустить, то графические образы могут вызвать дополнительные ассоциации, отвлечь от сути задания, что может привести к выбору неверного ответа даже в случае, если вы знаете материал.

Задание 3. В 2005—2007 гг. задания были связаны с умением перейти от табличной формы представления данных к графовой и обратно.

Задача 1. Пример 2006 г.

В таблице приведена стоимость перевозок между соседними железнодорожными станциями. Укажите схему, соответствующую таблице.

См. приложение 1, слайды 9,10.

Общие методические рекомендации по решению заданий такого рода.

1. Не надо пытаться рисовать граф по таблице.

Таблица определяет только количество вершин и наличие связей между ними, но не определяет взаимное расположение вершин. Нарисовав «свой» граф по таблице, ученик может и не найти его среди вариантов ответа.

Примером являются следующие два графа, которые внешне различны, но при этом описываются одной и той же таблицей:

2. Проводим первичный анализ таблицы: определяем, со сколькими вершинами связана каждая из вершин. Для этого достаточно подсчитать количество непустых клеток в каждой строке (столбце).

Количество связей: у А — 3, у В — 2, у С — 2, y D — 1,у Е — 2.

3. Анализируем варианты ответов и отбрасываем те из них, которые не соответствуют этим значениям.

В задании 2006 г. это ответ 4 (тоже по вершине В). Осталось проанализировать три варианта ответа — 1, 2, 3.

4. Анализируем оставшиеся графы и проверяем соответствие ребер вершинам. В задании 2006 г.: в ответе 3 вершина Е соединена с вершинами А и D, а по таблице должна быть соединена с вершинами А и С.

В обоих заданиях осталось выбрать один ответ из двух.

5. Проверяем числовые характеристики ребер в оставшихся вариантах ответов.

Делаем окончательный выбор.

В задании 2006 г.: ответ 2 (по вершине А).

6. В качестве проверки (особенно в случае сомнений) по графу выбранного варианта ответа строим таблицу. Она строится по графу однозначно, и это точно позволит избежать ошибки.

Задача 2. Пример 2007 г. (модификация условия заключается в том, что для поиска ответа целесообразно построить граф по таблице).

Таблица стоимости перевозок устроена следующим образом: числа, стоящие на пересечениях строк и столбцов таблиц, означают стоимость проезда между соответствующими соседними станциями. Если пересечение строки и столбца пусто, то станции не являются соседними. Укажите таблицу, для которой выполняется условие: «Минимальная стоимость проезда из А в В не больше 6».

Стоимость проезда по маршруту складывается из стоимостей проезда между соответствующими соседними станциями.

См. приложение 1, слайды 11-12.

Обратите внимание на то, что «путь минимальной стоимости (длины, времени и т. д.)» и «путь, проходящий через минимальное количество вершин» — это не одно и то же.

Если вы внимательны и аккуратны, то ответ можно найти и без построения графов — достаточно тщательно проанализировать таблицы. Но, учитывая дефицит времени и стрессовое состояние на экзамене, лучше воспользоваться формальным способом решения.

1. Для каждой таблицы строим свой граф, отмечая веса ребер.

2. Определяем возможные пути из начальной вершины (А) в конечную (В) и подсчитываем их стоимость.

Заметим, что при небольшой тренировке построение графов и их анализ займут не больше времени, чем тщательный анализ таблиц, а вероятность допустить ошибку меньше.

Задача 3. В демо-версии 2008 г. особенность заключалась в том, что граф надо было построить не по таблице, а по словесному описанию. При этом ребра имели не по одной, а по две характеристики — расстояние и время движения, зависящее от качества дороги.

Пример 2008 г.

Грунтовая дорога проходит последовательно через населенные пункты А, В, С, D. При этом длина дороги между А и В равна 80 км, между В и С — 50 км, между С и D — 10 км. Между А и С построили новое асфальтовое шоссе длиной 40 км.

Оцените минимально возможное время движения велосипедиста из пункта А в пункт В, если его скорость по грунтовой дороге — 20 км/ч, по шоссе — 40 км/ч.

  1. 1 час
  2. 1,5 часа
  3. 3,5 часа
  4. 4 часа

См. приложение 1, слайды 13-14.

При решении задач подобного рода целесообразно отмечать ребра разного «качества» разными графическими образами (например, сплошной, пунктирной, волнистой линиями).

1. Строим граф на основании данных условия задачи:

2. Определяем возможные пути из начальной вершины (А) в конечную (В). Их всего два: А — В (80 км грунтовой дороги) и А — С — В (40 км асфальтовой дороги и 50 км грунтовой).

3. Для каждого пути рассчитываем время движения:

Ответ. Минимально возможное время движения велосипедиста из пункта А в пункт В — 3,5 ч (вариант 3).

Задача 4. Между четырьмя железнодорожными станциями — Гир, Map, Рем, Тул — ежедневно выполняют рейсы электрички. Известно расписание движения.

Турист находится на станции Гир в час ночи (01:00). Определите самое раннее время, когда он сможет оказаться на станции Тул.*

  1. 14:30
  2. 14:45
  3. 15:00
  4. 15:15

Конечно, простая внимательность и наблюдательность могут помочь найти правильный ответ и без применения приемов моделирования. Но лучше построить схему по таблице, отмечая только те данные, которые соответствуют заданию.

См. приложение 1, слайды 15-16.

Итак, туристу надо ехать через Рем, и тогда он будет в Туле в 14:30. При составлении схемы важно проследить, чтобы время прибытия на промежуточный пункт не превышало времени отправления.

Например, если бы в расписании третья строка была такой:

Гир

Рем

11:10

13:25

то туристу лучше было бы добираться через Map и ответ был бы 14:45.

В качестве проверки можно для каждого варианта ответа, начиная с наиболее раннего по времени и далее по возрастанию времени:

  • найти соответствующее значение в последнем столбце таблицы;
  • попробовать восстановить путь от этого пункта к исходному;
  • если такой вариант возможен и нет никаких накладок со временем прибытия-отправления, то этот вариант и будет правильным ответом.

Задание 4. Задачи на построение и анализ диаграмм.

Общий подход к решению задач подобного вида состоит в построении таблиц числовых значений по приведенным в условии формулам, диаграммам или графикам зависимости.

Конечно, при хороших навыках устного счета суммарные величины можно посчитать и «в уме», но построение таблицы позволит уменьшить вероятность ошибки.

Задача 1 (2008 г.). Дан фрагмент электронной таблицы.
После выполнения вычислений была построена диаграмма по значениям диапазона ячеек A2:D2. Укажите получившуюся диаграмму.

 

А

В

С

D

1

 

3

4

 

2

= С1-В1

=В1-А2*2

=С1/2

=В1+В2

См. приложение 1, слайды 18-19.

Рекомендации по решению задачи.

1. Вычисляем значения формул и строим таблицу числовых значений:

 

А

В

С

D

1

 

3

4

 

2

1

1

2

4

2. Для таких простых значений данный этап необязателен, но в общем случае (особенно когда используются круговые диаграммы) рекомендуется определить доли значений в общей сумме (в долях от общей суммы или в процентах, как кому удобнее):

 

А

В

С

D

 

1

 

3

4

 

 

2

1

1

2

4

8

Доли

1/8

1/8

1/4

1/2

 

Проценты

12,5%

12,5%

25%

50%

 

3. Анализируем варианты ответов:

  • 2-й и 3-й варианты не подходят, так как на диаграммах представлены две пары одинаковых значений, а у нас только одна пара;
  • 1-й вариант не подходит, поскольку в числовом выражении он соответствует значениям 1, 1, 2, 3 (последнее число — 3, вместо нужного 4).

4. Правильный вариант ответа — 4.

Задача 2 (2008 г.). На диаграмме показано количество участников соревнований по плаванию (П), бегу (Б), гребле (Г) из трех стран.

Какая из диаграмм правильно отражает соотношение участников из всех стран по каждому виду спорта?

См. приложение 1, слайды 20-21.

Решение.

  1. По данным исходной диаграммы строим таблицу значений. Наименования строк — названия стран; наименования столбцов — виды спорта.
  2. Особое внимание обращаем на шкалу измерения (единица деления — 4).
  3. Так как в вариантах ответов приведены обобщенные данные по видам спорта, то суммируем данные по столбцам таблицы.

Таблица данных диаграммы в числовом виде будет выглядеть следующим образом:

 

Плавание

Бег

Гребля

 

Белоруссия

16

28

12

 

Россия

12

36

24

 

Украина

4

24

4

 

Всего:

32

88

40

160

В долях:

1/5

11/20

1/4

 
  1. Анализируем полученные суммы:
  2. бегунов больше половины всех участников, поэтому 3-й и 4-й варианты ответов не подходят;
  3. пловцов меньше, чем гребцов, поэтому 1-й вариант ответа не подходит.
  4. Правильный вариант ответа — 2.

V. Этап контроля и самоконтроля знаний и способов действий.

Давайте проверим наши знания.

Групповая работа.

См. приложение 2, См. приложение 1, слайды 22-32.

Индивидуальная работа.

Индивидуальная тестовая проверочная работа с фронтальной проверкой после выполнения.

См. приложение 3.

VI. Этап коррекции знаний и способов действий

Проверяем выполненную работа, используя проектор.

VII. Этап информации о домашнем задании

Выполнить дома вариант соседа. Повторить дома тему «Алгоритмы и исполнители», мы будем решать комплексные задачи.

VIII. Этап подведения итогов занятия

Подводится итог по результатам тестов и ответов учащихся. Выставляются отметки.

IX. Этап рефлексии

Настало время нам взглянуть на путь, Который пройден был, И вскинуть взор к вершине, Которую стремимся мы достичь. (Дж. Бэдли)

Метод «ОСТРОВА». На большом листе бумаги рисуется карта с изображением островов со следующими названиями: о. Радости, о. Грусти, о. Недоумения, о. Тревоги, о. Ожидания, о. Просветления, о. Воодушевления, о. Удовольствия, о. Наслаждения и др. На карту наносится также Бермудский треугольник.

  • Карта островов вывешивается на доске (стене), и каждому участнику взаимодействия предлагается выйти к карте и маркером (фломастером) нарисовать свой кораблик в соответствующем районе карты, который отражает душевное, эмоционально-чувственное состояние участника после состоявшегося взаимодействия.
  • После заполнения карта вывешивается на всеобщее обозрение.

Приложение 4