Программа элективного курса "Делимость чисел"

Пояснительная записка

Программа элективного курса “Делимость целых чисел” согласована с содержанием программы основного курса алгебры. Учебный материал курса предназначен для учащихся 8, 9-х классов, он также имеет практическую значимость для учащихся 11 классов, готовящихся к поступлению в вуз.

Курс рассчитан на 18 часов аудиторных занятий.

Обоснование курса:

Обучение на курсе предоставляет учащимся опыт работы на уровне повышенных требований, что способствует развитии их учебной мотивации; поможет учащимся через успешную практику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы. Освоение содержания курса, обеспечит учащимся углубление теоретических знаний по математике и практических навыков по решению задач, которые остались в свое время вне поля зрения, поскольку появиться в школьном курсе в момент изучения соответствующего программного материала эти задачи не могли из-за недостаточного еще математического развития учащихся. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, связанных с целыми числами.

• Интеллектуальное развитие учащихся, совершенствование математической культуры и творческих способностей учащихся, формирование качеств мышления, характерных дл математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе: лаконизм, точность, полнота, ясность, интуиция, умение отличать известное от неизвестного, искусство анализировать, ставить гипотезы, опровергать их или доказывать, пользоваться аналогиями и т.д.
• Овладение конкретными математическими знаниями, умениями и навыками, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования.
• Развитие интереса к математике через решение задач повышенной трудности.

• расширить математические представления учащихся о свойствах целых чисел;
• рассмотреть свойства делимости чисел, теоремы о делимости, показать применения делимости в практических целях;
• вспомнить признаки делимости на 2, 5, 10, 3, 9, вывести признаки делимости на 4, 25, 6, рассмотреть признак делимости на 11, уметь применять признаки для решения задач;
• использовать делимость чисел и признаки делимости для решения вопроса о существовании целых корней уравнения, доказательстве, что данное конкретное число является корнем;
• познакомить с методом полной математической индукции, показать его применение;
• рассмотреть теорему о делении с остатком и свойства деления, уметь выполнять деление с остатком, находить остаток при делении, неполное частное;
• уметь доказывать: простым или составным является данное число;
• знать различные способы нахождения наибольшего общего делителя, уметь применять при сокращении дробей;
• уметь находить наименьшее общее кратное нескольких чисел, применять в практических целях;
• рассмотреть применение данной темы для решения уравнений в целых числах.

Структура курса:

Каждый раздел курса включает в себя теоретический материал, который предполагает систематизацию знаний по определенной теме: определения тех или иных понятий, теоремы, свойства. Затем рассматривается их применение при решении задач. Каждый раздел включает в себя задания для самостоятельной работы учащихся.

Основные компоненты содержания курса:

Делимость чисел. Делимость суммы и произведения

Деление является наиболее трудным арифметическим действием, которое не всегда выполняется на множестве целых чисел. В данном разделе рассматриваются определения и свойства делимости, их применение к решению задач повышенной сложности, например, к исследованию уравнений на наличие целочисленных корней. Теоремы и свойства о делимости даются без строгого доказательства. Метод полной математической индукции рассматривается на информативном уровне с приведением нескольких примеров.

Признаки делимости чисел

Ответ на вопрос, делится ли целое число а на целое число b, можно получить непосредственным делением. Однако при решении многих задач, например, при разложении чисел на простые множители, сокращении дробей, вынесении общего множителя за скобки, упрощении уравнений и т.д. этот путь может оказаться излишне трудоемким. Поэтому удобно иметь некоторые признаки, позволяющие без выполнения деления определять, делится одно число на другое или нет. В данном разделе рассматриваются признаки делимости чисел на 2, 5, 4, 25, 3, 9, 11 и их применение для решения задач.

Деление с остатком

На делении с остатком основаны различные формы представления целых чисел. Например, при делении числа на 3 могут получиться остатки 0, 1, 2. Поэтому всякое целое число может быть представлено в виде 3k, 3k+1, 3k+2, kZ. Такое разбиение применяют как в теории, так и при решении задач. Практика показывает, что решение задач на деление с остатком представляет определенную трудность для учащихся, поэтому изучение этой темы предусмотрено в рамках данного курса. Без доказательства формулируется теорема о делении с остатком и рассматриваются свойства. Применение их демонстрируется на конкретных примерах.

Определение простых, составных чисел, взаимно простых чисел. Без доказательства дается основная теорема арифметики.

Среди простых и составных чисел существуют числа, обладающие интересными свойствами. Одним числам дали название “близнецы”, другие числа признали “совершенными”. А есть, так называемое, “число Шахразады”. Учащимся предлагается самостоятельно найти информацию об этих числах.

Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное

В разделе рассматриваются вопросы, связанные с НОД и НОК: способы их нахождения - разложение на простые множители, алгоритм Евклида; формула, связывающая НОД и НОК; применение НОД и НОК для сокращения дробей, сложения дробей.

Решение уравнений в целых числах

Виды уравнений в целых числах. Приемы нахождения целочисленных решений уравнений. Такие уравнения практически полностью отсутствуют в школьных учебниках математики, их решение способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, умения самостоятельно осуществлять небольшие исследования.

Формы контроля:

Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля: промежуточный – домашняя проверочная работа по учебному материалу каждого раздела; итоговая контрольная работа по учебному материалу курса.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ КУРСА

Список литературы

1. Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Алгебра: Дополнительные главы к школьному учебнику. 8 кл.: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики/Под ред.Г.В. Дорофеева. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1998.
2. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике: Решение задач.: Учеб.пособие для 10 кл. – М.,: Просвещение, 1989.
3. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник заданий по алгебре, 8–9 кл. – М.: Просвещение, 1994.
4. Е.А. Галкин. Задачи с целыми числами.
5. Е.Б. Ваховский, А.А. Рывкин. Задачи по элементарной математике (повышенной трудности). - М.: “Наука”, 1971.
6. М.К. Потапов, В.В. Александров, П.И.Пасиченко. Алгебра и начала анализа. Современный курс для поступающих в вузы. - М.: “Экзамен”, 1998.
7. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П. Савин.- М.: Педагогика, 1998.

Занятие по теме "Признаки делимости чисел".   Приложение