В настоящее время на экзаменах предлагаются задачи, решение которых
требует составление уравнения (или неравенства), а также их систем на основании
условия задачи.
Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов.
Прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать
простейшие из них. В связи с этим я считаю нужным рассмотреть типовые задачи на
движение.
Задачи на движение.
1. Основными компонентами этого типа задач являются: а) пройденный путь (s); б) скорость (v); время (t). Зависимость между указанными величинами выражаются формулами:
s=vt; v=s/t; t=s/v (1)
2. План решения обычно сводится к следующему:
а) Выбираем одну из величин, которая по условию задачи является неизвестной, и обозначаем ее через x, y или z и т. д.
б) Устанавливаем, какая из величин является по условию задачи известной.
в) Третью (из оставшихся) величину выражаем через неизвестную (x) и известную с помощью одной из формул (1).
г) Составляем уравнение на основании условия задачи, в котором указано, как именно изменилась (уменьшилась, увеличилась и т.д.) третья величина.
- Надо иметь в виду, что если два каких-либо тела начинают движение одновременно, то в случае, если они встречаются, каждое с момента выхода и до встречи затрачивает одинаковое время. Аналогично и в случае, если одно тело догоняет другое.
- Если же тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает времени больше то, которое выходит раньше.
- В задачах на движение по реке надо помнить следующие формулы:
Vпо теч.=Vсоб.+Vтеч.
Vпр.теч.=Vсоб.-Vтеч.
Vсоб.= (Vпо теч.+Vпр.теч.)/2
Вот примерное решение некоторых задач.
Движение из одного пункта в другой в одном направлении.
Задача 1.
Первый турист, проехав 1,5 ч. на велосипеде со скоростью 16 км/ч, делает остановку на 1,5 ч, а затем продолжает путь с первоначальной скоростью. Четыре часа спустя после отправки в дорогу первого туриста вдогонку ему выезжает на мотоцикле второй турист со скоростью 56км/ч. Какое расстояние они проедут, прежде чем второй турист догонит первого?
Решение.
1. Из условия ясно, что первый турист вышел в путь на 4 ч. раньше второго. В точке В (рис.1) он сделал остановку на 1,5 ч. Второй турист догнал первого в точке D. Чтобы проехать это расстояние AD, первый турист затратил больше времени, чем второй, на 2,5 ч. (4–1,5= =2,5 ч.)
Рис.1
2. Пусть x-расстояние (в км.) от точки A до точки D. Тогда t1=x/16 ч-время, за которое первый турист проезжает расстояние AD; t2=x/56 ч.– время, за которое второй турист проезжает расстояние AD.
T1 – t2 = 2,5 ч.
Составим и решим уравнение:
x /16 – x /56 = 2,5, x = 56 км.
Ответ. 56 км.
Движение из одного пункта в другой с остановкой в пути.
Задача 2.
Товарный поезд был задержан в пути на 12 мин., а затем на расстоянии 60 км. Наверстал потерянное время, увеличив скорость на 15 км/ч. Найти первоначальную скорость поезда.
Решение.
1. Из условия задачи следует, что если бы поезд после остановки в пункте B продолжал двигаться с прежней скоростью, то затратил бы на 12 мин. (12 мин=1/5ч) больше, чем предусмотрено расписанием.
Рис.2
2. Пусть х – первоначальная скорость поезда (в км/ч). Тогда t1 =60/x, t2 = 60/(х+15), t1– t2 =1/5
3. Составим и решим уравнение: 60/х – 60/(х+15) =1/5, х1 = 60, х2 = –75 – не удовлетворяет условию задачи, так как скорость – величина неотрицательная.
Ответ. 60 км/ч.
Движение из разных пунктов навстречу друг другу.
Задача 3.
В один и тот же час навстречу друг другу должны были выйти A из поселка M и B из поселка K. Но A задержался и вышел позже на 6 ч. При встрече выяснилось, что A прошел на 12 км. Меньше, чем B. Отдохнув, они одновременно покинули место встречи и продолжили путь с прежней скоростью. В результате A пришел в K через 8 ч., а B пришел в M через 9 ч. После встречи. Определить расстояние MK и скорости пешеходов.
Решение.
1. Пусть vА=x (км/ч.), SКД=8x (км); vВ=y(км/ч), SМД=9y(км). Тогда t = 9y/x ч– время, которое затратит A на путь из M в D; tВ =8х/у ч – время, которое затратит В на пути из К в D (см. рис)
Рис.3
2. Из условия задачи следует, что 8x – y =12. Так как пешеход B вышел раньше, чем A, на 6 часов, то на основании этого составим второе уравнение: 8x/y – 9y/x = 6
Составим систему уравнений и решим ее:
Расстояние МК = 8*6 + 9*4 = 84 км.
Ответ. 84 км; 6 км/ч; 4 км/ч.
Основные компоненты движения заданы в общем виде.
(Задачи с параметрами.)
Задача 4.
Поезд был задержан на t часов. Увеличив скорость на a км/ч, машинист на перегоне в s км ликвидировал опоздание. Определить, какую скорость должен был иметь поезд на этом перегоне, если бы не было задержки.
Решение.
Полагая, что скорость поезда по расписанию x км/ч, имеем:
2. Теперь следует выяснить, оба ли корня уравнения удовлетворяют условию задачи:
Движение по водному пути.
Задача 5.
В 9ч самоходная баржа вышла из А вверх по реке и прибыла в пункт В; 2ч спустя после прибытия в В эта баржа отправилась в обратный путь и прибыла в А в 19ч 20мин того же дня. Предполагая, что средняя скорость течения реки 3 км/ч и собственная скорость баржи все время постоянна, определить, в каком часу баржа прибыла в пункт В. Расстояние между А и В равно 60 км.
Решение.
1. Для решения этого типа задач следует использовать указание 5 (см. выше)
2. Обозначим собственную скорость баржи через x км/ч. Тогда время, затраченное на движение по течению реки, составляет 60/(x+3) часов, а против течения реки
60/(x-3) часов.
Всего было затрачено времени (в ч)
х1 =15, х2 = –0,6 (не удовлетворяет условию).
3. Время, затраченное на движение против течения реки, 60/(15 – 3) = 60/12 = 5 ч. Следовательно, баржа прибыла в пункт В в 14 ч.
Ответ. В 14 часов.
Определение скорости при встречном прямолинейном движении тел.
Задача 6.
Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость этого поезда 40 км/ч. Как только мимо окна начал проходить встречный поезд, пассажир пустил секундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо окна в течение 3 с. Определить скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75 м.
Решение.
1. Пусть скорость встречного поезда х м/с. Скорость поезда, в котором ехал пассажир, 40 км/ч = 40000/3600 = 100/9 м/с.
2. Встречный поезд за 3 с прошел 3 х м, а поезд с пассажиром – (3*100)/9 = 33
3. Всего оба поезда прошли по условию 75 м, следовательно,
Ответ. 50 км/ч.
Составление неравенств.
Задача 7.
Велосипедист отправляется из А в В. Расстояние от А до В равно 60 км; скорость велосипедиста постоянна. Не задерживаясь в В, он едет обратно с той же скоростью, но через час после выезда из В делает остановку на 20 мин. После этого он продолжает путь, увеличив скорость на 4 км/ч. В каких границах заключена скорость v велосипедиста, если известно, что на обратный путь от В до А он потратил времени не более, чем на путь от А до В?
Решение.
1. Пусть х (в км/ч) – первоначальная скорость велосипедиста.
Рис. 4
2. Особенность задачи в том, что для решения требуется составить неравенство.
Решая это неравенство, получим
(х2 +16х – 720)/(х(х + 4)) ≤ 0, (х – 20)(х + 36)/х(х + 4) ≤ 0.
Следовательно, 0<x≤20
Ответ. 0<v≤20 км/ч.
Пройденный путь принимается за 1, а единственной данной величиной является время.
Задача 8.
Два пешехода вышли одновременно друг другу и встретились через 3 ч 20 мин. Сколько времени понадобиться каждому из них, чтобы пройти все расстояние, если первый пришел в то место, из которого вышел второй, на 5 ч позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый?
Решение.
1. Особенностью этой задачи является то, что в ней нет никаких данных о пройденном расстоянии. В таких случаях удобно все расстояние принять за 1, тогда скорость v1 =1/х, v2 =1/у (где х часов – время в пути первого пешехода, а у часов – время второго пешехода).
2. Из условия задачи составим систему уравнений
3. Решая эту систему, получим у=5, х=10
Ответ.10 ч; 5 ч.
Скорость выражена косвенно через время.
Задача 9.
Два велосипедиста выехали одновременно из двух пунктов в третий, куда они договорились прибыть одновременно. Первый прибыл на место встречи через 2 ч, а второму, чтобы прибыть вовремя, надо было проезжать каждый километр на 1 мин быстрее первого, так как его путь был длиннее на 6 км. Какова скорость каждого велосипедиста?
Решение.
1. Особенностью этой задачи является не прямое, а косвенное указание скорости велосипедистов.
2. Пусть первый велосипедист проезжал каждый километр за х мин, то есть его скорость была 60/х км/ч. Тогда скорость второго 60/(х-1) км/ч
3. Составим уравнение и решим его:
60/(х – 1)*2 – (60/х)*2 = 6; х1 = 5, х2 = –4 (посторонний корень)
4. Следовательно, v1 =12 км/ч, v2 = 15 км/ч
Ответ.12 км/ч; 15 км/ч.
Вот основные типы задач на движение, их классификацию можно дать учащимся на факультативе.