Тема: « Площадь треугольника».
Цель: Обобщение и углубление знаний по теме «Площадь треугольника», применение основных формул к решению задач повышенной сложности, развитие познавательной деятельности учащихся, положительного отношения к решению геометрических задач.
План занятия:
I. Устная работа.
II. Повторение теории. Решение задач.
III. Проверочная работа.
Ход урока
I. Устная работа
1. Повторить формулы площади треугольников.
а) Sтр = ½ ah; б) Sтр = ½ ab sin γ; в) Sтр = abc / 4R; г) Sтр = pr;
д) Sтр = 
; е) S прям тр = ½ ab; ж) S равн тр = a² √3/4.
2. Вычислить устно площадь треугольника.
а) |
|
д) |
б) |
|
е) |
в) |
|
ж) |
г) |
|
|
II. Теория
Свойство 1. Отношение площадей треугольников, имеющих общий угол равно отношению произведений сторон.
Свойство 2. Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту равно отношению оснований.
Свойство 3. Обобщенная теорема Фалеса. Если на одной прямой отложить пропорциональные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то они отсекут на другой прямой пропорциональные между собой отрезки.
Свойство 4. Свойство биссектрисы угла треугольника.
Решение задач
1. На сторонах АВ, ВС и АС остроугольного треугольника АВС взяты соответственно точки K, L, M таким образом, что АК:КВ=2:3, BL:LC=1:4, АМ:МС=3:7. Найти отношение площадей треугольников ВМК и ALM.
Дано: ∆АВС; AK:КB=2:3;
BL:LC=1:4; АМ:МС=3:7
Найти: 
Решение:
1. Проведем высоты BN и LP, CQ и MS. ∆LPC ∞ ∆BNC, ∆ASM ∞ ∆AQC (по 2-м углам);
; 
2. Пусть LP=4x, BN=5x, MS =3y, QC=10y, тогда
;
;
Ответ: 0,75.
2. В треугольнике АВС прямая АМ пересекает ВС в отношении СМ:МВ=2:1. Прямая CN пересекает АМ в точке О и делит ее в отношении АО:ОМ=2:1. Найти площадь треугольника АВС, если площадь треугольника ANO равна 8.
Дано: ∆ АВС; СМ:МВ=2:1; АМ∩CN=О;
АО:ОМ=2:1; SANO=8
Найти: SABC
Решение:
1. MP//CN; AN=2y, NP=1y, BP=1x, NP=2x, AN=4x;
2. 
;
; SABM = 21;
3. 
; 
; SABC=63.
Ответ: 63.
3. В треугольнике АВС на стороне АС выбраны точки Е и К так, что Е лежит между А и К и АЕ:ЕК:КС=3:5:4. Медиана AD пересекает отрезок ВЕ в точке L, а отрезок BK в точке М. Найти отношение площади треугольника BLM и площади треугольника АВС.
Дано: ∆АВС; АЕ:ЕК:КС=3:5:4; AD – медиана;
AD∩BE=L; BD∩AK=M
Найти: 
Решение:
1. ES//AD; KQ//AD; ES∩BK=P; DS=3y, SQ=5y, QC=4y, BD=12y;
2. BM=12n, MP=3n, PK=5n; BL=12m, LE=3m;
3. 
;
4. 
; 
;
5. 
; 
Ответ: 0,2.
4. В треугольнике ABC на стороне BC выбрана точка D, а на стороне AB точка К так, что BD:DC=2:1 и ВК:КА=3:1. Отрезки AD и СК пересекаются в точке Е. Найти отношение площадей треугольника АВС и четырехугольника KBDE.
Дано: ∆АВС; BD:DC=2:1; BK:KA=3:1; AD∩CK=E
Найти: 
Решение:
1. DQ//CK; KQ=1m; QB=2m; AE=1n; ED=1n;
2. 
; 
;
3. 
;
4. 
; 
;
5. 
; 
Ответ: 12/7
III. Проверочная работа
Вариант I
В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка D так, что BD:DC=1:2. Медиана СЕ пересекает отрезок AD в точке F. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника AEF. (Ответ: 0,1)
Вариант II
В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и CE. Найдите длину отрезка DE, если АС=6, АЕ=2, CD=3. (Ответ:
)