Серия уроков по теме "Логарифмы"

Цели:

общеучебная: расширить понятие функции; познакомить учащихся с показательной функцией, ее свойствами, показательными уравнениями и неравенствами, методами их решений; логарифмической функцией, ее свойствами, графиками; уравнениями и неравенствами, методами их решений. Натуральный логарифм.

воспитательная: развивать навыки самостоятельной работы, умения преодолевать трудности.

развивающая: развивать логическое мышление, умение анализировать, синтезировать, выделять главное, обобщать.

“3” - иметь представление что такое степень с иррациональным показателем; показательная функция, ее график, перечислять ее свойства; логарифмическая функция, ее свойства, график; что такое логарифм числа, десятичный логарифм, характеристика и мантисса логарифма; натуральный логарифм; экспонента, логарифмическая кривая. Знать формулы, связанные с понятием логарифма; нахождения производной и первообразной показательной и логарифмической функции.

“4” - понимать что такое степень с иррациональным показателем; показательная функция, ее график, перечислять ее свойства; логарифмическая функция, ее свойства, график; что такое логарифм числа, десятичный логарифм, характеристика и мантисса логарифма; натуральный логарифм; экспонента, логарифмическая кривая. Знать и доказывать формулы, связанные с понятием логарифма; нахождения производной и первообразной показательной

“5” - активно оперировать понятиями степень с иррациональным показателем; показательная функция, ее график, перечислять ее свойства; логарифмическая функция, ее свойства, график; что такое логарифм числа, десятичный логарифм, характеристика и мантисса логарифма; натуральный логарифм; экспонента, логарифмическая кривая. Знать и доказывать формулы, связанные с понятием логарифма; нахождения производной и первообразной показательной

• Математика для абитуриентов TechPro
• Презентации:
• Понятие логарифма
• Логарифмическая функция
• Свойства логарифмов
• Логарифмические уравнения
• Логарифмические неравенства

Введение

Для чего были придуманы логарифмы? Конечно, для ускорения и упрощения вычислений. Изобретатель первых логарифмических таблиц, Непер, так говорит о своих побуждениях: “Я старался, на сколько мог и умел, отделаться от трудностей и скуки вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики”.

В самом деле, логарифмы чрезвычайно облегчают и ускоряют вычисления, не говоря уже о том, что они дают возможность производит такие операции, выполнение которых без их помощи очень затруднительно (извлечение корня любой степени).

Но без основания писал Лаплас, что “Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов”. Великий математик говорит об астрономах, так как им приходится делать особенно сложные и утомительные вычисления. Но слова его с полным правом могут быть отнесены ко всем вообще, кому приходится иметь дело с числовыми выкладками.

Нам, привыкшим к употреблению логарифмов и к доставляемым ими облегчением выкладок, трудно представить себе т изумление и восхищение, которое вызвали они при сове появлении. Современник Непера, Бригг, прославившийся позднее изобретение десятичных логарифмов, писал, получив сочинение Непера: “Своими новыми и удивительными логарифмами Непер заставил меня усиленно работать головой и руками. Я надеюсь увидеть его летом, так как никогда не читал книги, которая нравилась бы мне больше и приводила бы в большее изумление”. Бригг осуществил свое намерение и направился в Шотландию, чтобы посетить изобретателя логарифмов. При встрече Бригг сказал: “Я предпринял это долго путешествие с единственной целью видеть вас и узнать, помощью какого орудия остроумия и искусства были вы приведены первой мыслью о превосходном пособии для астрономии – логарифмах. Впрочем, теперь я больше удивляюсь тому, что никто не нашел их раньше, - насколько кажутся они не простыми после того, как о них узнаешь”.

История логарифмов

Принцип, лежащий в основе любой системы логарифмов, известен очень давно и может быть прослежен в глубь истории вплоть до древневавилонской математики (около 2000 до н.э.). В те времена интерполяция между табличными значениями целых положительных степеней целых чисел использовалась для вычисления сложных процентов. Гораздо позже Архимед (287–212 до н.э.) воспользовался степенями числа 10⁸ для нахождения верхнего предела числа песчинок, необходимого для того, чтобы целиком заполнить известную в те времена Вселенную. Архимед обратил внимание на свойство показателей степеней, лежащее в основе эффективности логарифмов: произведение степеней соответствует сумме показателей степеней. В конце Средних веков и начале Нового времени математики все чаще стали обращаться к соотношению между геометрической и арифметической прогрессиями. М.Штифель в своем сочинении Арифметика целых чисел (1544) привел таблицу положительных и отрицательных степеней числа 2:

Штифель заметил, что сумма двух чисел в первой строке (строке показателей степени) равна показателю степени двойки, отвечающему произведению двух соответствующих чисел в нижней строке (строке степеней). В связи с этой таблицей Штифель сформулировал четыре правила, эквивалентных четырем современным правилам операций над показателями степеней или четырем правилам действий над логарифмами: сумма в верхней строке соответствует произведению в нижней строке; вычитание в верхней строке соответствует делению в нижней строке; умножение в верхней строке соответствует возведению в степень в нижней строке; деление в верхней строке соответствует извлечению корня в нижней строке.

По-видимому, правила, аналогичные правилам Штифеля, привели Дж. Непера к формальному введению первой системы логарифмов в сочинении Описание удивительной таблицы логарифмов, опубликованном в 1614. Но мысли Непера были заняты проблемой превращения произведений в суммы еще с тех пор, как более чем за десять лет до выхода своего сочинения Непер получил из Дании известие о том, что в обсерватории Тихо Браге его ассистенты располагают методом, позволяющим превращать произведения в суммы. Метод, о котором говорилось в полученном Непером сообщении, был основан на использовании тригонометрических формул типа:

,

поэтому таблицы Непера состояли главным образом из логарифмов тригонометрических функций. Хотя понятие основания не входило в явном виде в предложенное Непером определение, роль, эквивалентную основанию системы логарифмов, в его системе играло число (1 – 10^–7)x10⁷, приближенно равное .

Независимо от Непера и почти одновременно с ним система логарифмов, довольно близкая по типу, была изобретена и опубликована Й.Бюрги в Праге, издавшем в 1620 г. Таблицы арифметической и геометрической прогрессий. Это были таблицы антилогарифмов по основанию (1+10^–4)x10⁴, достаточно хорошему приближению числа e.

В системе Непера логарифм числа 10⁷ был принят за нуль, и по мере уменьшения чисел логарифмы возрастали. Когда Г.Бриггс (1561–1631) навестил Непера, оба согласились, что было бы удобнее использовать в качестве основания число 10 и считать логарифм единицы равным нулю. Тогда с увеличением чисел их логарифмы возрастали бы. Таким образом мы получили современную систему десятичных логарифмов, таблицу которых Бриггс опубликовал в своем сочинении Логарифмическая арифметика (1620). Логарифмы по основанию e, хотя и не совсем те, которые были введены Непером, часто называют неперовыми. Термины “характеристика” и “мантисса” были предложены Бриггсом.

Первые логарифмы в силу исторических причин использовали приближения к числам 1/e и e. Несколько позднее идею натуральных логарифмов стали связывать с изучением площадей под гиперболой xy = 1 (рис. 1). В XVII в. было показано, что площадь, ограниченная этой кривой, осью x и ординатами x = 1 и x = a (на рис. 1 эта область покрыта более жирными и редкими точками) возрастает в арифметической прогрессии, когда a возрастает в геометрической прогрессии. Именно такая зависимость возникает в правилах действий над экспонентами и логарифмами. Это дало основание называть неперовы логарифмы “гиперболическими логарифмами”.

Понятие логарифма. Приложение

Логарифмические неравенства. Приложение 1

Свойства логарифмов.  Приложение 2

Натуральные логарифмы. Приложение 3

Решение логарифмических уравнений. Приложение 4

Дифференцирование показательной и логарифмической функции. Приложение 5