"Задачи на проценты"

Разделы: Математика

Тип урока: урок систематизации, обобщения и развития знаний.

Цели урока:

  1. дидактические:
    • закрепить знания, умения и навыки выполнения  различных операции с процентами: нахождение процента от числа, числа по его проценту, процентного отношения, изменение величины в процентах, процентного роста;
    •  формирование умения применять полученные знания при решении задач повышенного уровня сложности;
  2. развивающие:
    • развитие интеллектуальных умений: анализа условия задачи, логического мышления при построении алгоритма решения задач, вариативности выбора способа решения, систематизации задач по способам решения;
    • развитие математической речи;
    • формирование навыков проектной деятельности;
  3. воспитательные:
    • воспитание познавательной активности;
    • формирование навыков самоконтроля и самооценки;
    • патриотическое воспитание;
    • воспитание понимания и осознания хрупкости мира и необходимости бережного отношения к природе ;

Оборудование: интерактивная доска, ноутбук, мультимедийный проектор.

Дидактические материалы: презентация, раздаточный материал (листы опор, уровневые балльные самостоятельные работы, подготовительный материал контрольной работы)

Формы работы: парная, индивидуальная, коллективная.

Ход урока

1. Организационный момент. Актуализация знаний. (Слайды 1–3)

Сообщение дидактических целей, этапов урока, проблемы.

Каждому ученику выдан дидактический материал: опорные листы, подготовительный вариант контрольной работы, текст с двумя вариантами самостоятельной работы.

Проблема: «Почему умения решать задачи на проценты столь необходимы в повседневной жизни?»

В ходе опроса учащиеся контролируют свои знания пометками на полях «+» или «-». В конце урока при подведении итога по их количеству ученик выставляет себе оценку по следующей шкале: 9, 10+ – оценка 5; 7, 8+ – оценка 4; 5, 6+ – оценка 3

Энергизатор: «Поднимите руку у кого сегодня хорошее настроение? Давайте переведём это количество в процент.  Хотелось бы чтобы это количество не уменьшилось к концу урока»

Историческая справка о введении символа %. (Слайд 4)

2. Повторение и систематизация знаний.

1) Проверка теоретических знаний. (Парный взаимоопрос с контролем знаний.) (Слайды 5–6)

2) Устный счёт:

  • «Замечательные дроби»: 25% =…; 50% =…%; 75% =…; 20% =..; 33(1/3)%=... (Слайды 7–10)
  • Блиц-опрос (Слайды 11–16): 
    1. Перевести процент в число: 24%, 3,6%, 1(1/2)%
    2. Перевести число в процент: 1; 2,4; a
    3. Найти 25% от 44, 20% от 4,5; 2% от 10
    4. Найти число, если 33(1/3)% его составляет 4; 42% его составляет 2
    5. Сколько % составляет 4 от 5? 2 дм от 2 м?
    6. На сколько % 4 больше 5; 5 меньше 4?
    7. Увеличить 24 на 25%; уменьшить 35 на 40%

3.  Развитие знаний. Решение задач повышенного уровня сложности. Задачи систематизированы по практической направленности использования процентов. Поиск способов решения проводится коллективно, либо индивидуально в зависимости от пожеланий учащихся. Если ученик решил задачу самостоятельно или  нашёл иной способ решения, то его работа поощряется определённым количеством баллов, по которым формируется в конце урока оценка, либо выставлением высокой оценки за догадку и новизну.

  • В жизни проценты применяются для сравнения, сопоставления величин для остроты восприятия их значимости. (Слайды 17–27)

Например, медуза, состоит на 98% из воды. Тогда напрашивается вопрос: «А человек?» «Человек состоит на 66%» из воды Ежедневное употребление примерно 2 л воды является нормой для человеческого организма для нормального его функционирования, в противном случае резко возрастают риски различных заболеваний. Водная часть Земли составляет 70% от суши, и только 3% от неё является пресной,  1% от всей пресной воды является пригодной для питья.  За последние 40 лет количество питьевой воды уменьшилось на 60%. А  в последующие 25 лет по данным НИИ её запасы сократятся в 2 раза (т.е. на 50%). Уже сейчас 80 стран в мире испытывают резкую нехватку питьевой воды. Среди них такие развитые страны, как Япония, Китай. Уже в крупных городах в России очищенную питьевую воду продают в магазинах, в нашем крае вода является одной из самых экологически чистых. Богатство России в скором будущем будет состоять не в уровне добычи нефти, а в запасах питьевой воды, поскольку 20% всей пресной воды в мире, доступной для освоения, содержится в озере Байкал. Одно озеро содержит столько пресной воды, сколько не содержат все 5 великих озёр Америки. Почему говорят «доступной для освоения»? Потому, что 75% всей пресной воды содержится в ледниках.

Удивительное свойство воды открыл японский учёный Масару Эмото: он проводил различные опыты с молекулярными свойствами воды и сделал выводы, что вода – живой организм, она способна реагировать на звуки, человеческую речь, музыку. Учёный на одну и ту же воду воздействовал различным образом, затем замораживал воду и изучал её кристаллы под микроскопом.   Поскольку человек на 66% состоит из воды, вы можете сделать выводы, какую разрушительную или созидательную силу может нести наше слово.

(Этот этап урока выполняет несколько функций, в том числе имеет здоровьесберегающий фактор)

Задача 1. В Москве прежний уровень потребления воды, равный 400 л, снизился в среднем на  200 л на человека в сутки, а в Сиднее при норме 500 л снижение произошло на 315 л. Где экономия воды значительнее? (Слайд 28)

Решение. Найдём процентное отношение изменения в каждом из случаев:

(200/400) · 100% = 50% – на столько снизился уровень потребления воды в Москве;

(315/500) · 100% = 63% – на столько снизился уровень потребления воды в Сиднее;

50% < 63%.

Ответ: экономия воды значительнее в Сиднее

  • В повседневной жизни широкое применение проценты имеют в экономике. (Слайд 29)

Задача 2. В первом банке при вкладе 2000 рублей клиент получил 3000 рублей, а во втором банке при вкладе 5000 рублей клиент получил 7000 рублей через такой же срок. В какой банк выгоднее вкладывать деньги?(Слайд 30)

Решение: Выгоду можно определить с помощью процентного изменения величины.

((3000-2000)/2000) · 100% = 50% – на столько увеличился вклад в 1 банке.

((7000-5000)/5000) · 100% = 40% – на столько изменился вклад во 2 банке.

Ответ: в первый банк выгоднее вкладывать деньги.

Задача 3. Цена товара сначала повысилась на 25%, затем понизилась на 20%. Как изменилась цена? (Слайд 31)

Решение: Первый способ – «метод отрезков» (Записывается непосредственно на слайде, используя возможности интерактивной доски)

25% = 1/4 Изобразим отрезок, состоящий из 4 частей:

25%

/____/____/____/____/      – было

Повысить на 25%, значит добавить ещё одну часть

/____/____/____/____/____/ – после повышения на 25%

Понизить полученную величину на 20%, значит убрать 1 часть из 5, так как 20% = 1/5, т.е. получим

/____/____/____/____/ – окончательная цена, т.е. она не изменилась.

Второй способ: (Слайд 31)

1) 100% + 25% = 125% – составляет цена после повышения

2) 125% - (1/5) · 125% = 100% – составляет окончательная цена

3)  100% - 100% = 0% – на столько изменилась цена

Ответ: цена не изменилась.

  • В повседневной жизни проценты используются для анализа величин (Слайд 32):

Задача 4. Заработная плата в декабре повысилась на 25%. На сколько процентов в ноябре она была меньше, чем в декабре? (Слайд 33)

Решение:  Первый способ – «метод отрезков» (Записывается непосредственно на слайде, используя возможности интерактивной доски)

/____/____/____/____/ – в ноябре

/____/____/____/____/____/ – в декабре

Первая величина меньше, чем вторая на 1/5 = 20%

Второй способ.  (Слайд 33)      

В ноябре – 100%

В декабре – на 25% больше

1) 100% + 25% = 125% – в декабре

2) (25/125) · 100% = (1/5) ·100% = 20%

Ответ: на 20% заработная плата в ноябре была меньше, чем в декабре.

Задача 5. Свежий арбуз, масса которого равна 10 кг, содержит 98% влаги, а после усушки влажность понизилась до 96%. Чему равна масса арбуза после усушки? (Слайд 34)

Решение:

 

М (масса смеси)

Р (концентрация)

m (масса вещества)

Свежий арбуз

10 кг

Влага 98%

Сухое вещество?

 

Всего 100%

Влага

Сухое вещество?

(не меняется)

Арбуз после усушки

? кг

 Влага 96%

Сухое вещество?

 

Всего 100%

Влага

Сухое вещество?

(не меняется)

1) 100% - 98% = 2% – составляет сухое вещество в свежем арбузе

2) 0,02 · 10 = 0,2 (кг) – масса сухого вещества в свежем арбузе

3) 100% - 96% = 4% – составляет сухое вещество в арбузе после усушки или 0,2 кг

4) 0,2 : 0,04 = 5 (кг) весит арбуз после усушки

Ответ: 5 кг.

4. Контроль знаний. Самостоятельная работа по выбору предлагается в двух вариантах. (Слайд 35)

Первый вариант облегчённый. Чтобы получить высокую оценку, необходимо выполнить большой объём простых задач.

Второй вариант усложнённый, но объём небольшой. Сложность каждого задания оценивается баллами. Учащиеся имеют возможность использовать листы опоры в случае затруднения.

Вариант 1.

  1. Найти 40% от числа 25 (1б)
  2. Найти число, если 20% его составляют 33 (1б)
  3. Сколько процентов составляет 20 рублей от 40 рублей (1б).
  4. На сколько процентов 30 рублей больше, чем 20? (1б)
  5. Увеличить число 60 на 33(1/3)% (1б)
  6. Дважды уменьшить число 100 на 25%. (1б)

Вариант 2.

  1. Число в больше числа а на 33(1/3)%. На сколько процентов а меньше в? (2б)
  2. Цена товара сначала снизилась на 20%, затем повысилась на 50%. Как изменилась цена? (2б)
  3. Влажность свежего винограда, массой 8 кг  составляет 99%, а в сушёном виде – 50%. Какова масса винограда в сушеном виде? (2б)

Проверка работы производится учителем по ходу её выполнения. В конце урока учащиеся знакомятся с правильным решением.

Подсчитывается общее количество баллов. Тетради сдаются на проверку.

5. Подведение итогов урока. Презентация проектной работы ученика «Проценты в нашей жизни», обсуждение проблемного вопроса урока. (Слайды 36–44)

6. Домашнее задание. (Слайд 45)

1) Выполнить подготовительный вариант контрольной работы. (Приложение 1)

2) По желанию подготовить презентацию на тему «Удивительные факты в процентах» (Можно как в электронном виде, так и в форме доклада».)

3) Исследовательский проект: Выяснить, как влияет увлечённость компьютерными играми на успеваемость учащегося. (Проект долгосрочный, выполняется группой учеников, изъявивших желание.)

Вопрос на внимательность: «Что «сказала» нам эта молекула воды?» (Слайд 45)

Приложение 1

Подготовительный вариант контрольной работы по математике – 6

Тема: «Задачи на проценты»

  1. Найти: а) 25% от числа 40; б) 2,1% от числа 4(1/2) ; в) 300% от числа а.
  2. Найти число: а) 75% которого составляют 3/4;  б) 150% которого составляет а
  3. Сколько процентов составляет: а) 2 от 3; б) 5 дм от 10 м; в) 10 копеек от 1 рубля?
  4. На сколько процентов  100 рублей больше, чем 20?
  5. Увеличить число 24 на 50%.
  6. Уменьшить число а на 40%
  7. Цена товара сначала повысилась на 10%, затем понизилась на 20%. Как изменилась цена?
  8. Число в больше, чем а на 33(1/3) %. На сколько % а меньше, чем в? (Решить задачу двумя способами)
  9. В 6а классе обучаются 20 человек, а в 6б – 25. Первую четверть окончили без двоек в 6а – 19  учеников, а 6б -  24 ученика. В каком классе выше результаты успеваемости?
  10.  Найти число 50% которого равны числу, 25% которого составляет 18.

Приложение 2

Опорный лист

Тема: «Проценты»

  • Перевод числа в проценты:

а = а · 100%   

Пример: 3,6 = 3,6 · 100% = 360% (при умножении десятичной дроби на 100 запятая переносится на две цифры вправо)

Реши самостоятельно: Перевести в проценты числа: а) 2,6; б) 5; в)1/2; г) 1/4.

  • Перевод а % в число:

а% = a / 100

Пример: 40% = 40/100  (символ % заменяем знаменателем 100)

Реши самостоятельно: Перевести проценты в числа: 2,3%; 43%; 3(1/2) %

  • Найти процент от числа:

а% от в = (a/100) · в

Пример: 23% от 4 = 0,23 · 4 = 0,92

Реши самостоятельно: Найти 25% от 44; 3% от 5; 100% от 4,7

  • Найти число по его проценту:

а% которого составляет в (25% которого составляет 28)

Решение:  в: (a/100) (28 : (25/100) = 28 · (100/25) = 28 · 4 = 112)

Реши самостоятельно: Найти число, 40% которого составляют число 24

  • Сколько процентов составляет число а от в? (3 от 5)

a/в · 100%;

Пример: (3/5) · 100% = 60%

Реши самостоятельно: Сколько процентов составляет 4 от 6;  5 от 2?

  • На сколько %  а больше в?

(a - в)/ в · 100%

Пример: На сколько% 8 больше 5: 

Решение: (8 - 5)/5 · 100% = 60%

Реши самостоятельно: На сколько %  25 больше 20?

  • На сколько %  а меньше в?

(в - a)/ в · 100%

Реши самостоятельно: На сколько %  20 меньше 25?

  • На сколько % изменилась величина:
формула1

Реши самостоятельно: На сколько процентов изменилась цена товара, если старая цена – 5000 руб, а новая – 7000 руб?

  • Увеличить число а на в%:

а + (в/100) · a

Пример: увеличить 60 на 42%: 60 + (42/100) · 60 = 60 + 25,2 = 85,2

Реши самостоятельно: Увеличить 400 на 10%

  • Уменьшить число а на в%:

а - (в/100) · a

Пример: уменьшить число 60 на 20%:     

Решение: 60 - (20/100) · 60 = 60 - 12 = 48

Реши самостоятельно: Уменьшить число 48 на 40%

Комментарии к уроку: Данный урок является структурной единицей авторской программы «Развивающее обучение на уроках математики». Но содержание этого урока может быть использовано при освоении различных учебных линий  математики 5-6 классов, кроме того оно может применяться при повторении на последующих этапах обучения, а также при подготовки к экзаменам в форме ЕГЭ.

Применение  ИКТ оправдано по следующим критериям:

  • экономия времени при подготовки доски к уроку, а также рациональное использования рабочей зоны доски;
  • эффективное использование рабочего времени урока;
  • возможность применения данного материала в дальнейшей работе;
  • наглядность, зрелищность, эстетичность восприятия;
  • формирование ключевых компетентностей учащихся при подготовке проектных работ и составлении их презентации.

При подготовке к уроку были использованы:

Фото и медиматериалы из Интернет-ресурса:

  1. Олимпиада «Сократ» www.math-on-line.com,
  2. « Живая вода» http://www.wateroflive.ru/fotov.php,     
  3. «Факты о воде» http://crazys.info.

Литература:

  1. Сборник нормативных документов. Математика. Федеральный компонент государственного стандарта Дрофа, Москва – 2007;
  2. «Развивающее обучение в современной школе». Сборник для учителей математики. Авторы: Матвеева Л.А., Щербулова Н.В. и др. Издательство : Департамент социального развития Петропавловск-Камчатского городского округа. Отдел образования. 2008 г.