Понятие функции является одним из основных понятий математики. Учащиеся впервые с ним знакомятся в VI классе средней школы. Понятно, что уровень знаний учащихся на этой ступени обучения не позволяют воспринять определение понятия функции в полном объеме.
Понятие, говорил Ф.Энгельс, - это мысленное отображение вещей, оно выделяет в вещах и явлениях существенное [1, 49 стр.]. Всякое понятие объединяет в себе множество объектов или отношений (объем понятия) и совокупность существенных свойств, присущих всем элементам этого множества, и только им (содержание понятия).
Рассмотрим варианты конструирования понятий [1, 51 стр.]. В одной из них понятие функции рассматривается как логическая функция, заданная на множестве суждений и принимающая значение "истинно" или "ложно". В другой утверждается, что "определение понятия - это предложение, в котором раскрывается содержание понятия, т.е. совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения классов объектов, принадлежащих данному понятию". Это означает, что если определение дано правильно, то условий, указанных в определении, достаточно для однозначного определения объекта, подлежащего этому определению. На практике ни одно, ни другое определение в чистом виде не используется.
В действующем в Республике Казахстан учебнике математики [2, стр258] определение функции вводится как зависимость одной переменной от другой:
"Зависимость, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, называется функциональной зависимостью или функцией.
Независимую переменную называют аргументом.
Зависимая переменная называется функцией этого аргумента".
Что же на самом деле называется функцией: "зависимость" или "зависимая переменная"?
Основные определения математики, тем более на начальной стадии знакомства с понятием, должны быть строго однозначны, чтобы не вводить в заблуждение учащихся.
Тогда, если вернуться к указанной "зависимости
одной переменной от другой", то можем ли мы
говорить о зависимости в определении функции 
? Ведь каковы бы
ни были значения переменной х значение
функции 
не
зависит от значений переменной х, Тогда
определение, данное в [2,стр258] не обеспечивает
определение любой функции (т.е. функции вообще).
Каким же образом должно быть определено понятие функции?
В начальной стадии знакомства с понятием функции можно говорить о соответствии (определение в полном объеме может быть сложно для усвоения учащимися среднего звена).
Идея соответствия возникла еще в конце XIХ века. В 70-х годах ХХ века в связи с внедрением в школьную математику теоретико-множественного подхода функцию определяли именно как соответствие между элементами двух множеств, наглядно иллюстрируя это с помощью рисунков, таблиц или графика.
История развития понятия функции - свидетельство того, как меняются определения в связи с развитием математики как науки.
Основной набор школьных функций - числовые. Один из подходов (алгоритмический) к определению числовых функций рассмотрен в работе [3]. Таким образом, функцию можно определить как алгоритм.
Изучение физических, химических процессов и природных явлений открывает взаимосвязь между различными величинами, которые имеют некоторую закономерность. Придавая некоторые значения одной величине можно найти соответствующее значение другой величины. Эта взаимосвязь выражается в законах, которые могут быть записаны с помощью символов (формулой) или словесно.
Тогда (уже в старших классах) общее определение функции можно сформулировать следующим образом [4, стр 58]:
Пусть даны два множества D и В произвольной природы. Правило (закон, алгоритм) f, согласно которому каждому (произвольному) элементу x из множества D ставится в соответствие точно один элемент из В (этот элемент обозначают f(x), как символическую запись того, что элементу x применено правило f и результат есть f(x)) называют функцией, определенной на множестве D и принимающей значения из множества В.
Работа с данным определением функции, ключевыми понятиями, входящими в определение функции, подробно описана в [5] .
Определить понятие - это значит перечислить его существенные свойства, используя изученные ранее понятия. Этот способ определения понятия называется определением через ближайший род или видовые отличия. Итак, чтобы сконструировать определение таким способом нужно:
- Указать род, в который определяемое понятие входит как вид?
- Указать видовые отличия и связь между ними.
Объединение видовых отличий осущестляется посредством конъюнкции или дезъюнкции.
В данном случае видовыми отличиями в определении являются условия каждому (произвольному) элементу x из множества D и ставится в соответствие точно один элемент из В, объединенные между собой конъюнкцией, т.е. если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то рассматриваемый объект (правило, закон, алгоритм) не является функцией.
Как же в методической литературе дается концепция формирования математических понятий? Авторы А.Я.Блоха, Е.С.Канина и др. в "Методике преподавания математики в средней школе" рассматриваются содержание и объем понятия, формирование понятия, способа определения, требования к определениям, структуры определений, примеры, придерживаясь второй логической схемы. В работе с аналогичным названием авторы В.А.Оганесян, Ю.М.Колягин и др.рассматривают различные способы введения понятий, содержание и объем понятий, но не рассматривают этапы формирования понятий.
Г.И.Саранцев [1, 63стр.] предлагает следующую схему этапов формирования понятий:
- Мотивация введения понятия?
- Выделение существенных свойств понятия?
- Синтез выделенных свойств, формулировка определения понятия?
- Понимание смысла слов в определении понятия?
- Усвоение логической структуры определения понятия?
- Запоминание определения понятия?
- Применение понятия?
- Установление связей изучаемого понятия с другими понятиями.
Реализация этих этапов при определении понятий осуществляется при помощи упражнений
- на применение ранее изученных понятий и теорем?
- практического характера?
- на построение объектов, удовлетворяющего указанным свойствам?
- с моделями фигур?
- на распознавание объектов, принадлежащих объему понятия?
- на выделение следствий из определения понятия?
- на составление родословной понятия?
- на применение понятия в различных ситуациях?
- на систематизацию понятия.
Сочетание этих упражнений на каждом этапе может быть различным.
При введении различных понятий какие-то этапы и соответственно задачи могут выпадать из этой цепочки- это зависит от содержания понятия.
В предлагаемой нами методе введение понятия функции имеет следующую последовательность:
Примеры к каждому этапу приведены в работе [5].
Если же перейти к определению элементарных функций, например, степенной, показательной или логарифмической, то следует отметить, что структура определения остается той же самой. Только в каждом случае правило f действительной переменной (аргументу) х ставит в соответствие не просто какое-то число, а соответственно
- действительную степень а числа х , т.е.
для
степенной функции - степень х действительного числа а (а
1, а>0), т.е. 
для
показательной функции - логарифм действительного числа х по
основанию а (а 1, а>0), т.е
для логарифмической функции
Но, прежде чем определять таким образом элементарные функции, учащиеся должны знать, что такое
- действительная степень а числа х, т.е.
- степень х действительного числа а (а 1, а>0), т.е.
- логарифм действительного числа х по
основанию а (а 1, а>0), т.е
Для определения этих понятий используется
подробное изучение определение степени числа.
Степени есть действия над числами. Данное
положительное число х записывается в виде
степени ас с заданным основанием а (а>0,
а 1),
показатель степени с и есть определяемый
логарифм.
Тогда в определении степени фиксируя показатель степени и беря основание в виде аргумента, получаем степенную функцию, поступая наоборот - показательную. В логарифме считая записываемое в виде степени число за аргумент, получаем логарифмическую функцию.
В рамках данной статьи не рассматриваем тригонометрические функции, т.к. они требуют рассмотрения арифметизации окружности и являются темой для отдельной статьи.
Предлагаемый способ введения элементарных функций требует хорошей теоретической подготовки учителя, выходящую за рамки школьного учебника
Литература.
- Саранцев Г.И., Методика обучения математике в средней школе, М.,Просвещение, 2002
- Алдамуратова А. Математика 6, А., "Атам?ра", 2002.
- Воказе К. Алгоритмический подход к изучению числовых функций в средней школе. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок", 2009, http:\\1 september. ru\\
- Темиргалиев Н., Аубакир Б., Баилов Е., Потапов М. К., Шерниязов К. Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. А., "Жазушы", 2002.
- Воказе К. Урок по теме:"Функция: её определение и обсуждение". Фестиваль педагогических идей "Открытый урок", 2008, http:\\1september. ru\\