1. Презентация опыта
Мир, в котором мы живем, становится все более
сложным и противоречивым. Одной из важнейших
задач современной школы является
интеллектуальное (умственное) воспитание
учащихся.
Я полностью согласна с высказыванием В.А.
Сухомлинского, который писал: «Невежда опасен
для общества… Невежда не может быть
счастливым сам и причиняет вред другим. Вышедший
из стен школы может и чего-то не знать, но
обязательно должен быть умным человеком».
Я работаю в классах, где дети углубленно изучают
английский язык, немецкий или французский языки,
латынь. Подготовка к таким урокам занимает у них
много времени. И поэтому мне важно спланировать
учебные занятия так, чтобы они проходили
увлеченно, максимально развивая учащихся.
В этом смысле наиболее эффективной в практике
моей работы стало использование «обогащающей
модели» обучения, разработанной авторским
коллективом под общим руководством профессора
Э.Г. Гельфман (Россия, г. Томск). Ее основное
назначение – интеллектуальное воспитание
учащихся на основе обогащения индивидуального
ментального опыта каждого ребенка в процессе
изучения математики.
Интеллектуальное воспитание – это такая форма организации учебного процесса и внешкольной деятельности учащихся, в рамках которой каждому ребенку оказывается индивидуализированная педагогическая помощь с целью совершенствования его интеллектуальных возможностей.
Обогащение ментального опыта означает, во-первых, формирование основных его компонентов, а, во-вторых, рост его индивидуального своеобразия.
Использование «обогащающей модели» обучения позволило мне создать актуальный педагогический опыт «Организация учебно-исследовательской деятельности учащихся 5-11 классов при обучении математике в гимназии как средства формирования умений самостоятельной творческой деятельности», который был обобщен на областном уровне (2008 год).
Интерес к такой проблеме обусловлен
несколькими причинами.
Во-первых, общенациональные интересы страны
требуют формирования у молодого поколения
умений самостоятельной творческой деятельности.
Во-вторых, предложенный опыт формировался в
условиях опытно-экспериментальной работы
инновационного учреждения, лингвистической
гимназии №23 им. А.Г. Столетова г. Владимира по
проблеме «Педагогические условия и средства
развития аксиологической культуры учителей и
учащихся в гимназии».
В-третьих, актуальность решения этой проблемы
была потребностью самих учащихся.
Внедряя в практику своей работы элементы
«обогащающей модели» обучения, я
добиваюсь высоких результатов в обучении
математике. Эффективность применения
подтверждается результатами экзаменов в 9-ых и
11-ых классах, поступлением выпускников в лучшие
вузы страны.
2. Представление системы занятий
Обогащение ментального опыта выступает в качестве психологической основы интеллектуального воспитания учащихся. Одним из компонентов ментального опыта является метакогнитивный опыт.
Метакогнитивный опыт – это психические механизмы, обеспечивающие управление собственной интеллектуальной деятельностью. Его составляющие:
- интеллектуальный контроль (контроль работы собственного ума);
- метакогнитивная осведомленность (представления об устройстве научных знаний);
- открытая познавательная позиция (вариативность и разнообразие способов анализа происходящего).
Психологическая линия «обогащающей модели» обучения в 5-6 классах представлена психологическими практикумами по темам:
- «Зачем нужны образы?»,
- «Какая у тебя память»,
- «Что такое внимание?»,
- «Как работает наша мысль?»,
- «Что значит понять?»,
- «Правила поведения исследователя»,
- «Что такое признак?».
На таких уроках мои ученики приобретают знания
об определенных проявлениях человеческого
интеллекта на материале нематематического
содержания.
В 7-ом классе психологическая линия
представлена на более высоком уровне и на
математическом материале в виде «Бесед
математика» «От частного к общему», в которых
учащиеся обобщают опыт работы с тождествами,
знакомятся с биномом Ньютона, треугольником
Паскаля, разложением на множители двучленов вида
хn ± уn.
Учебное занятие строится по определенной схеме:
3. Проведение имитационной игры
Уважаемые друзья! После изучения формулы
квадрата суммы двух одночленов встает вопрос о
направлении, в котором можно обобщить полученные
результаты.
Во-первых, можно
увеличивать число слагаемых в основании степени:
(а + b)2; (а + b + с)2; (a + b + с + d)2;…
Во-вторых, можно
увеличивать значение показателя степени
(а + b)2; (а + b)3; (а + b)4;...
Учащиеся вспомнят, что мы уже предпринимали попытки движения по первому направлению и сделали шаг во втором направлении. Обращение к прошлому опыту детей необходимо при формировании метакогнитивной осведомленности.
Сегодня мы продолжим работу во втором направлении.
Вы уже знаете тождества:
(а + b)2 = а2 + 2аb + b2;
(а + b)3 = а3 + 3а2b + 3аb2 + b3.
Могли ли бы вы раскрыть скобки в выражении (а + b)4?
Спрогнозируйте:
- количество слагаемых,
- значения коэффициентов,
- поведение показателей степеней.
Проверьте себя одним из способов:
(а + b)4 = (а + b)3(а + b) = …;
(а + b)4 = ((а + b)2)2 = …;
(а + b)4 = (а + b)2(а + b)2 = …
Опять я обращаюсь к прошлому опыту детей.
Если вы были внимательны, то получили тождество (а + b)4 = а4 + 4а3b + 6а2 b2 + 4аb3 + b4.
Подтвердился ли ваш прогноз?
Выявите характерные признаки этого тождества.
Учащиеся заметят, что:
- При переходе от одного слагаемого к следующему показатели степени а убывают, а показатели степени b возрастают.
- Степень каждого одночлена, входящего в многочлен равна 4.
- Число слагаемых многочлена на единицу больше, чем показатель степени двучлена.
- Первый, отличный от единицы, коэффициент совпадает с показателем степени двучлена.
- Коэффициенты многочлена симметричны.
Обращение к прошлому опыту детей –
работа над признаком с предложенным тождеством.
Работа над понятием «признак» была проведена в
рамках психологического практикума по теме
«Что такое признак?» в начале седьмого класса на
нематематическом материале.
Спрогнозируйте, пользуясь наблюдением, стандартный вид многочлена в правой части формулы
(а + b)5 = …
Такая форма как «прогноз» применяется для поиска закономерностей.
Существует ли закономерность, позволяющая записать коэффициенты, не производя алгебраические преобразования?
Выпишем коэффициенты многочленов, тождественно равных степеням двучлена а + b:
(а + b)1 1 1
(а + b)2 1 2 1
(а + b)3 1 3 3 1
(а + b)4 1 4 6 4 1
(а + b)5 1 5 10 10 5 1
Существует ли связь между коэффициентами различных степеней двучлена, т.е. между строками этой таблицы? Можно ли каждую следующую строку таблицы записать, зная предыдущую?
Запись коэффициентов в виде треугольной таблицы создает оптимальные условия для наблюдения с целью установления закономерностей.
Учащиеся заметят, что:
- таблица «ограничена» единицами;
- каждое число, стоящее внутри таблицы, представляет собой сумму чисел, стоящих слева и справа над ним (в предыдущей строке):
4 =
1 + 3; 6 = 3 + 3; 4 = 3 + 1.
5 = 1 + 4; 10 = 4 + 6; 10 = 6 + 4; 5
= 4 + 1.
Если к имеющимся строкам добавить сверху строку из одной единицы, то получим треугольник коэффициентов.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
………………………..
Итак, мы нашли закономерность
образования коэффициентов степени двучлена.
Сами коэффициенты называют биноминальными,
от слова «бином», двучлен.
Этимология слова «бином»:
заимствовано в первой половине 19 века из
французского языка, где родилось сложением
латинского bi («двое, дважды») и греческого nome
(«часть, доля»).
А треугольник биноминальных коэффициентов
называют треугольником Паскаля в честь
Блеза Паскаля (1623-1662) – французского философа,
физика, математика, хотя еще за сто лет до него
арабский математик и астроном ал-Каши
составил точно такую же таблицу.
Применение новых знаний в различных ситуациях
1. Запишите многочлен, тождественно равный (а
+ b)6.
2. Запишите всю строку треугольника Паскаля,
не восстанавливая предыдущие:
а) 1, 7, 21, 35, … ;
б) 1, 8, 28, 56, 70, …
3. Запишите тождества для степеней двучлена,
соответствующие строкам коэффициентов а) и б).
4. Найдите сумму чисел, стоящих в каждой из
пяти первых строк треугольника Паскаля.
5. Найдите закономерность, которой связаны
сумма чисел в строке и номер этой строки.
О тождествах можно говорить долго, очень долго, бесконечно долго, но никогда нельзя сказать всего. Свои тайны мир тождеств открывает нам постепенно. Сегодня мы приоткрыли одну из них.
4. Моделирование
Уважаемые коллеги! Перед вами представлена
модель учебного занятия «От частного к общему».
Данную модель можно использовать при проведении
уроков разных предметов. Попробуйте
смоделировать учебное занятие по обобщению
тождества а2 – b2 = (а – b)(а + b)
в направлении увеличения показателя степени
одночленов.
Вариант начала моделирования
1) Обращение к прошлому опыту детей
Вам известно, что
а2 – b2 = (а – b)(а + b),
а3 – b3 = (а – b)(а2 + аb + b2).
Можно ли продолжить этот ряд? Иными словами, можно ли разложить на множители двучлены:
а4 – b4, … , аn – bn , …?
Если разложение возможно, то как по одному множителю в правой части найти остальные?
Разделите а4 – b4 и а5 – b5 на а – b.
2) Работа над признаком. Прогноз.
Спрогнозируйте частное от деления а6
– b6 и а7 – b7 на
а – b.
Проверьте результат делением или умножением.
Выделите признаки частного от деления а3
– b3 ,а4 – b4 на а
– b.
Сколько членов в частном?
3) Создание оптимальных условий для поиска закономерностей.
а2 – b2 = (а – b)(а + b),
а3 – b3 = (а – b)(а2 + аb + b2).
а4 – b4 = (а – b)(а + b),
а5 – b5 = (а – b)(а2 + аb + b2) и т. д.
5. Рефлексия
В течение мастер-класса мы обменивались своими
знаниями и опытом, и моделирование своего
урока уже было первой ступенькой присвоения
знаний.
Я думаю, что все мы согласны с высказыванием
французского философа-математика М. Монтеня:
«Мозг, хорошо устроенный, стоит больше, чем мозг,
хорошо наполненный».