"Способы решения логических задач"

Разделы: Информатика

Цели.

Образовательные:

  • познакомить с тремя способами решения логических задач;
  • познакомить со схемой решения логических задач;
  • закрепить практические навыки решения логических задач.

Развивающие:

  • способствовать развитию логического мышления, памяти, внимания.
  • научить правильно рассуждать и уметь давать ответы на поставленные вопросы.

Воспитательные:

  • способствовать интеллектуальному развитию учащихся;
  • достижение сознательного усвоения материала учащимися с применением полученных знаний на практике.

Требования к знаниям и умениям учащихся:

учащиеся должны знать:

  • основные понятия и определения алгебры логики;
  • основные законы алгебры логики;

учащиеся должны уметь:

  • упрощать логические выражения;
  • строить таблицы истинности;
  • записывать сложные высказывания в виде логических выражений.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование:

План урока:

I. Организационная часть.

II. Повторение пройденного.

III. Изучение нового материала.

IV. Закрепление изученного.

V. Подведение итога урока. Оценивание.

VI. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационная часть

  • приветствие;
  • объявление темы и целей урока.

Учитель:

– Решать логические задачи очень увлекательно. В них вроде бы нет никакой математики нет ни чисел, ни функций, ни треугольников, а есть только лжецы и мудрецы, истина и ложь.

– Сегодня на уроке мы узнаем, как разными способами можно решать логические задачи. Оказывается таких приемов несколько, они разнообразны и каждый из них имеет свою область применения.

Но сначала повторим пройденный материал.

II. Повторение пройденного.

(Приложение 1)

№ 1.

Дано тождественно-истинное логическое выражение:

(A /\ B) \/ (¬B /\ ¬C /\ D) = 1,

где A, B, C, D – логические переменные.

Определить, сколько решений оно имеет. В качестве ответа нужно указать только количество наборов значений A, B, C, D.

Решение:

Выражение будет тождественно-истинным в случае, если хотя бы одно из выражений (A /\ B) или (¬B /\ ¬C /\ D) истинно. Первое выражение истинно только при А = 1 и В = 1, значение D в этом случае может быть как 0, так и 1. Получаем два набора.

Второе выражение истинно при В = 0, С = 0 и D = 1, значение А в этом случае может быть и 0, и 1. Получаем еще два набора.

Ответ: 4.

(Приложение 1)

№ 2.

Формулой логического высказывания «Мы поедем в Санкт-Петербург, и если встретимся там с друзьями, то интересно проведем время» является:

1. A /\ (B → C)

2. (A /\ B) → C \/ D

3. (A /\ B) ↔ (C /\ D)

4. A /\ B → C

Ответ: 1.

III. Изучение нового материала.

Учитель. Разнообразие логических задач очень велико. Способов их решения тоже немало. Но наибольшее распространение получили следующие три способа решения логических задач:

  • с помощью рассуждений;
  • табличный;
  • средствами алгебры логики.

Познакомимся с ними поочередно. (Слайд 2)

Решение логических задач с помощью рассуждений (Слайды 3, 4, 5)

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Кто есть кто?

В одном доме живут три товарища – школьника: Коля, Роман и Саша.

Один из них играет в футбольной команде, другой пишет стихи, а третий лучше своих друзей играет в шахматы.

Известно, что:

1) Друг Романа с огорчением сказал: «Вчера я не сумел реализовать пенальти»;

2) товарищ поэта сказал: «Саша! Написал бы ты стих и для нашей футбольной команды».

Назовите имена футболиста, поэта и шахматиста.

Решение.

Из условия (1) видно, что Роман не является футболистом, а из условия (2), что Саша - поэт и, значит, не футболист.

Ответ: Коля - футболист, Саша - поэт, Роман - шахматист.

Решение логических задач табличным способом. (Слайды 6, 7, 8, 9)

При использовании этого способа условия, которые содержит задача, и результаты рассуждений фиксируются с помощью специально составленных таблиц.

В конкурсе «А ну-ка, парни!» в финал вышли четыре мальчика: Никита, Руслан, Сергей и Толя. Девочки решили поделиться своими предположениями об итоговом распределении мест:

Оля: Сережа точно будет вторым. А Толик – четвертым.

Аня: Уверена, что Никита будет первым, а вторым – Руслан.

Кристина: Ерунда. Это Никита будет вторым, а Толик - третьим.

Когда подвели итоги, оказалось, что каждая девочка была права только в одном из своих прогнозов. Какое место заняли Никита, Руслан, Сергей и Толя? (В ответе перечислить подряд без пробелов места мальчиков в указанном порядке имен)

Решение.

Ответ: 1423.

Решение логических задач средствами алгебры логики. (Слайды 10, 11, 12, 13, 14)

Обычно используется следующая схема решения:

  • изучается условие задачи;
  • вводится система обозначений для логических высказываний;
  • конструируется логическая формула, описывающая логические связи между всеми высказываниями условия задачи;
  • определяются значения истинности этой логической формулы;
  • из полученных значений истинности формулы определяются значения истинности введённых логических высказываний, на основании которых делается заключение о решении.

Задача.

Три свидетеля дорожного происшествия сообщили сведения о скрывшемся нарушителе. Боб утверждает, что тот был на красном «Рено», Джон сказал, что нарушитель уехал на синей «Тойоте», а Сэм показал, что машина была точно не красная, и по всей видимости, это был «Форд».

Когда удалось отыскать машину, выяснилось, что каждый из свидетелей точно определил только один из параметров автомобиля. А в другом ошибся, какая и какого цвета была машина у нарушителя?

Ответ записать в виде двух слов, разделенных пробелом: МАРКА, ЦВЕТ.

Решение.

Обозначим высказывания:

A = «машина красного цвета»;

B = «машина была «Рено»;

C = «машина синего цвета»;

D = «машина была «Тойота»;

E = «машина была «Форд».

Согласно условию:

из показаний Боба следует, что A \/ B истинно;

из показаний Джона следует, что C \/ D истинно;

из показаний Сэма следует, что ¬A \/ E истинно.

Следовательно, истинна конъюнкция (A \/ B) /\ (C \/ D) /\ (¬A \/ E) = 1

Раскрывая скобки, получаем:

(A \/ B) /\ (C \/ D) /\ (¬A \/ E) = (A /\ C \/ A /\ D \/ B /\ C \/ B /\ D) /\ ( ¬A \/ E) =

A /\ C /\ ¬A \/ A /\ D /\ ¬A \/ B /\ C /\ ¬A \/ B /\ D /\ ¬A \/ A /\ C /\ E \/ A /\ D /\ E \/ B /\ C /\ E \/ B /\ D /\ E = 1.

Из полученных восьми слагаемых семь (согласно условию) являются ложными. Остается единственное истинное слагаемое:

B /\ C /\ ¬A = 1.

Значит, нарушитель скрылся на автомобиле «Рено» синего цвета.

Ответ: РЕНО, СИНИЙ.

IV. Закрепление изученного.

Решить задачу самостоятельно удобным способом:

Задача. (Слайд 15)

На перемене в кабинете биологии 8 ребят баловались и разбили дорогой микроскоп. Их всех вызвали к директору и выслушали:

Ира: Это Антон разбил.

Наташа: Нет, Антон не бил!

Сергей: А я тоже знаю, что это Наташа разбила!

Антон: Нет, ни Наташа, ни Сергей этого не делали!

Оля: А я видела, что разбил Сергей!

Максим: Это кто-то чужой!

Костя: Это либо Наташа, либо Сергей – больше некому!

Кто разбил микроскоп, если известно, что из этих восьми высказываний истинны только два?

Ответ записать в виде первой буквы имени.

Проверка решения: (Антон).

V. Подведение итога урока. Оценивание.

Учитель. Сегодня мы научились решать логические задачи с помощью рассуждений, табличным способом и средствами алгебры логики.

Поставить оценки наиболее активным учащимся.

VI. Домашнее задание.

Задачник Семакина И.Г., часть 1: с. 59 № 42, 43.

Решить задачи всеми тремя известными нам способами и сравнить результаты.