Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений. Алгебра (8-й класс)

Цель урока

- отработка навыков решения задач на составление дробных рациональных уравнений;

- знакомство с геометрическим способом решения уравнений;

- развитие способности к содержательному обобщению и рефлексии;

- развитие алгоритмического мышления;

- повышение интереса к решению математических задач

- показать связь с другими предметами, с жизнью.

Пусть математика сложна,
Ее до края не познать
Откроет двери всем она,
В них только надо постучать.

Чтобы двери в мир математики открывались как можно легче мы сегодня будем учиться… Чему?

Ребус этот разреши,
А ответ нам напиши
Сей ответ встречаешь часто,
Не решаешь их напрасно.

- Правильно, наш урок посвящен задачам, и не простым, а задачам на составление дробных рациональных уравнений.

I. Актуализация опорных знаний.

1. Большинство задач на составление дробных рациональных уравнений в результате сводится к решению квадратных уравнений. Большой вклад в решение уравнений внес французский математик - … Как его звали? - Франсуа Виет “вызывает вас на соревнование, предлагая для решения следующие уравнения:

(На экране и на партах уравнения)

- Как называются такие уравнения?

- С помощью какой теоремы решим данные уравнения?

- Какое свойство коэффициентов квадратного уравнения можно использовать при решений некоторых уравнений?

В-1

1. Х² + 7Х +10 = 0
2. Х²- 19 Х+18=0
3. Х²+9Х+20=0
4. Х²-17Х+30=0
5. 13Х²-29Х+16=0
6. 17Х²-19Х-36=0

В-2

1. Х² + 7Х-8 = 0
2. Х²+ 17Х-18=0
3. Х²-15Х+50=0
4. Х²+13Х+30=0
5. 12Х²-35Х+23=0
6. 100Х²+150Х+50=0

А сейчас поменяйтесь работами с соседом по парте, делаем проверку, выставляем оценку (ответы на экране) Собираем работы, чтобы я тоже могла посмотреть и выставить оценки.

2. Проверка домашнего задания с последующим использованием для углубленного изучения темы:

- нужно оформить решение домашней задачи № 610 на доске (1 ученик);

- а мы поработаем устно.

1) Верно ли решены уравнения?

А) х₁ =1, х₂=4

Ответ: нет, корень х=1 - посторонний.

Почему?

Б) х=1

Ответ: нет, есть еще один корен Х=2.

Какой вывод нужно сделать?

2) Найти общий знаменатель дробей в каждом из уравнений:

Ответ: 5х-2 или 2-5х 

Ответ: у²-4

 

Ответ: х(x+2)

II. Поиск задач, математическими моделями которых являются дробные уравнения.

- Мы научились решать дробные уравнения.

А для чего они нужны? Какие задачи приводят к их появлению?

- Такие ,в которых одна величина выражается через другие при помощи дробного выражения.

Например: время =; ;

Cторона прямоугольника=;

;

и другие.

Итак, вы могли убедиться, что людям разных профессий приходится иметь дело с задачами на дробно-рациональные уравнения.

И на свете нет профессий
Вы заметьте-ка
Где бы нам не пригодилась Ма-те-ма-ти-ка!

III. Решение задач + рисунок.

Проверим домашнюю задачу № 610. Поезд опаздывал на 1 час,чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 10 км/час на перегоне в 720 км. Найти скорость поезда по расписанию.

720х+7200-720х-х2-10х=0

х ² +10х-7200=0

Х₁=80 х₂= -90 (не удовлетворяет условию задачи).

80 км/час- скорость поезда по расписанию.

Ответ: 80 км/час.

Вы решили эту задачу алгебраическим методом. Я предлагаю решить используя геометрический метод

2. Геометрический метод.

Экскурс в историю. Геометрический метод решения задач появился во времена Евклида ( 3 век до нашей эры) и использовался не только в геометрии, но и в алгебре. Развивалась геометрическая алгебра. В старинных индийских сочинениях этого времени доказательство или решение сводилось к чертежу, подписанному одним словом “Смотри!”. Решение алгебраической задачи геометрическим методом осуществляется в три этапа:

1) построение геометрической задачи, то есть перевод ее на язык геометрии,

2) решение получившейся геометрической задачи,

3) перевод полученного ответа с геометрического языка на естественный.

АВ=х –скорость поезда по расписанию (км/час).

АД – время движения поезда по расписанию (ч).

SАВСД = АВ х АД =720

Так как поезд увеличил скорость на 10 км/час, то прибавим к отрезку АВ отрезок ВЕ, условно изображающий 10 км/час. C увеличенной скоростью поезд прошел весь путь на 1 час быстрее, поэтому вычтем из отрезка АД отрезок ДК, условно изображающий 1 час.

S AEFK=SАВСД =720

S1+S3=S2+S3 —> S1=S2. S1 = Х и S2 =10 х EF.

Отсюда

Получили, что используя что S 1=S2 получим уравнение:

Решив это уравнен мы узнаем, что скорость поезда по расписанию была 80 км/час

Уравнения могут быть такими:

Обратите внимание, что переход к квадратному уравнению от первого и последнего уравнений осуществляется быстрее, чем в случае с другими составленными уравнениями.

IV.Физкультминутка (упражнение для глаз).

V. Задача ( ЕГЭ) В9.

Одна мастерская должна была изготовить 420 деталей, другая, за тот же срок 500 деталей. Первая выполнила свою работу на 4 дня раньше срока, а вторая на 7. Сколько деталей в день изготовляла вторая мастерская, если известно, что ежедневно она изготовляла на 5 деталей больше, чем первая?

- О чем идет речь в задаче? (О двух мастерских)

- Значит имеем: 1 и 2 мастерские

- Чем занимались эти мастерские ?

- Что спрашивается в задаче?

Пусть х (х>0)l деталей в день изготавливала П мастерская, тогда 1 изготавливала (Х-5) деталей в день. Сколько дней работала каждая мастерская?

- Какая из них быстрее справилась с работой?

- На сколько? (На 3 дня раньше чем 1 мастерская)

Получим уравнение х(х-5)

420х?-500(х-5)-3(х?-5х)=0

420х-500х +2500-3х?+15х =0

-3х? -65х -2500=0

Д=4225 +30000=34225=185?

Х ₁ =

Х₂= (не удовлетворяет условию задачи)

- Значит 2 мастерская изготавливала в день 20 деталей.

Ответ: 20 деталей.

VI. Домашнее задание: (заранее написать на доске) № 609.

(Придумать задачу по уравнению и решить ее )

VII. Самостоятельно решить задачу № 615.

12(Х+10)+12Х-(х²+10Х)=0

12Х+120+12Х-х²-10Х=0

Х² -14Х-120=0 Д=196+480=676=26? Х₁=

Один из рабочих выполнит работу за 20 дней, а другой за 30 дней. Ответ: 20 дней и 30 дней.

Итог урока: Общеизвестно высказывание: “Решение математической задачи можно сравнить со взятием крепости”.

После данного урока решение большинства задач, я надеюсь,со взятием крепости уже не ассоциируется. Вы согласны со мной, ребята?

Математика всегда

То интересна, то сложна.
Получается задача -
Радуется душа.

Пусть вам будут по плечу любые задачи. Успехов!

Спасибо за урок!

Использованная литература

1. Алгебра 8-й класс. Авторы Ю.Н.Макарычев и другие.
2. Дидактические материалы к урокам алгебры. Авторы Асташкина И.С., Бубличенко О.А.
3. Материалы ЕГЭ 2008.
4. Статья “Решение задач с помощью рациональных уравнений”. Автор О.Охтеменко.

Приложение