Некоторые вопросы методики обучения решению тестовых задач в 5-м классе

Текстовые задачи занимают особое место в школьном курсе математики. Общеизвестно, что решение текстовых задач способствует развитию мышления учащихся, более глубокому усвоению идеи функциональной зависимости, повышает вычислительную культуру. В процессе решения текстовых задач у учащихся формируются умения и навыки моделирования реальных объектов и явлений. Решение задач способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, умению самостоятельно осуществлять небольшие исследования. Однако опыт показывает, что это традиционно трудный материал для значительной части школьников.

По мнению Л.М. Фридмана [1], традиционная методика обучения решению текстовых задач использует несколько методов обучения:

1. Все задачи, которые считается необходимым перерешать с учащимися, разбиваются на многочисленные виды (число этих видов может быть различным). Для каждого вида задач разрабатывается типовой способ решения, который учитель подробно демонстрирует. Затем учащиеся решают большое число задач этого вида на уроках и дома.
2. В процессе обучения решается кроме типовых задач большое число разнообразных (развивающих) задач.
3. Учащимся даются общие эвристические схемы процесса решения задач или поиска способа решения.

Если целью обучения математике ставить формирование у учащихся общего подхода, общего умения решать любые математические задачи, то наиболее привлекательным, на мой взгляд, является третий из описанных выше методов. Использование этого метода при обучении решению текстовых задач дает наиболее ощутимый эффект, и текстовая задача перестает быть нелюбимой.

Практически все авторы, посвятившие свои работы методике обучения решению задач, единодушны в том, что процесс решения математических задач состоит из четырех основных этапов:

1. анализ текста задачи;
2. поиск способа решения и составление плана ее решения;
3. осуществление найденного плана;
4. изучение (анализ) найденного решения.

К сожалению, не сразу, но я пришла к выводу, что учащихся необходимо вооружить алгоритмом решения задач на составление уравнения, в котором бы нашли отражение основные этапы решения задачи.

Хочу предложить алгоритм решения задачи на составление уравнения, который был выработан на уроках математики с пятиклассниками:

Алгоритм решения текстовой задачи:

I этап. Работа над условием задачи

1. Внимательно прочесть условие задачи.
2. Выяснить, какие объекты (или процессы) описывает данная задача.
3. Выяснить, какие величины характеризуют данный объект (процесс).

II этап. Поиск способа решения задачи

4. Установить зависимость между величинами, о которых идет речь в задаче.
5. Выбрать способ решения задачи и наметить план ее решения.

III этап. Реализация намеченного плана решения.

IV этап. Проверка решения

V этап. Исследование полученного решения.

Остановимся более подробно на первых двух этапах решения задачи и рассмотрим, как происходит работа над задачей по предложенному алгоритму.

Анализ условия задачи

Большинство школьных задач решается по определенному алгоритму. Быстрое их решение зависит от знания формул и умелого их применения, что достигается решением громадного количества однотипных задач. Многие этапы решения у школьников приобретают автоматический характер, и они не задумываются над каждым из них. Отсюда возможны ошибки, и в итоге неправильный результат. А иногда, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, ребята не знают, как к ней подступиться, с чего начать решение, и после нескольких неудачных попыток отказываются от дальнейших поисков.

В своей работе приходится сталкиваться с тем, что чаще всего ребята забывают о самом первом этапе решения любой задачи – анализе условия.

Отсутствие краткой записи условия задачи сигнализирует о том, что ученик либо игнорирует, либо формально подходит к первому этапу решения задачи. Своим ученикам я стараюсь внушить мысль, что работа над условием задачи – самый важный (основной) этап ее решения.

Работа над условием задачи в классе осуществляется через систему вопросов учителя. И здесь очень важно выработать правильную систему вопросов. Вопросы типа: «кто знает, как решить задачу?», «как мы будем решать эту задачу?» не помогут ученику проанализировать ситуацию. Не достигают цели и вопросы «о ком (о чем) говориться в задаче?» Очень часто можно услышать в ответ: «О Пете и Маше», или: «О поездах».

В данном случае система вопросов может быть такой:

1. О каких объектах (процессах) идет речь в задаче?
2. Сколько таких объектов (процессов) описано в задаче?
3. Какими величинами характеризуется данный объект (процесс)?

Предложенная система вопросов не гарантирует получение правильных ответов от учеников, если не проведена соответствующая подготовительная работа. Ученик 5-го класса вообще может не понять, о чем его спрашивают, т.к. имеет достаточно смутное представление о таких понятиях, как «процесс», и «величина». Наибольшую трудность вызывает необходимость выделения величин, о которых идет речь в задаче.

В школьном курсе математики понятием величины пользуются без определения. Изучению общих свойств величин уделяется недостаточное внимание. Поэтому учащиеся имеют слабые общие представления о понятии величины, ее измерениях. Понятие величины тесно связано с понятием измерения. Результат измерения выражается числовым значением величины. Очень часто ученики путают понятия «величина» с понятием «единица измерения величины». В результате, в ответ на вопрос, о каких величинах идет речь, можно услышать: «о килограммах».

Однако введение какого-либо формального (аксиоматического) определения понятию величины будет недоступно для учащихся. Поэтому задача состоит в том, чтобы выработать интуитивное представление о скалярных величинах. Процесс изучения понятия о скалярной величине начинается с 1 класса и продолжается в течение всего обучения в школе. Это задача не одного урока. Однако для реализации наших целей полезна будет небольшая беседа о понятии «величина» следующего содержания:

1) Каждый объект имеет много различных свойств (качественных и количественных). Например:

• Квадрат: количество сторон, углов, вершин; длина стороны; периметр; площадь.
• Человек: рост, вес, воля, смелость, возраст и т.д.

2) Некоторые свойства объектов мы умеем измерять.

Например:

• Периметр – в см, мм, дм, м, км.
• Возраст – в годах, месяцах днях, веках.

3) Математика – наука о величине. Между некоторыми величинами установлены определенные зависимости.

Например: S = v * t; A = v * t и т.д.

Учащиеся охотно включаются в беседу и сами приводят необходимые примеры. Процесс отыскания величин, о которых идет речь в задаче, заметно упрощается, и предложенная система вопросов не вызывает затруднений. Особенно если результаты такой беседы оформить в таблице – помощнице (см. Приложение 1) .

Возьмем в качестве примера задачу № 103(3) учебника для 5 класса (ч. 1) Г.В. Дорофеева. Л.Г. Петерсон:

Задача. Машинистке надо перепечатать рукопись. Она рассчитала, что печатая в час 8 страниц, она закончит работу на 4 часа раньше чем, если будет печатать в час по 6 страниц. Сколько страниц в рукописи?

На предложенные вопросы должно получить следующие ответы:

1. Процесс – работа
2. Описано 2 процесса:
   • работа со скоростью 8 страниц в час;
   • работа со скоростью 6 страниц в час.
3. Процесс характеризуется тремя величинами:
   v – скорость работы (производительность);
   t – время работы;
   А – результат работы (количество работы)

Выполненный анализ (для учащихся – 2 шаг алгоритма) позволяет составить таблицу:

3 шаг алгоритма предполагает заполнение полученной таблицы, для чего обычно необходимо еще несколько раз прочесть условие задачи. Система вопросов учителя зависит от конкретной фабулы задачи. В дальнейшем необходимость задавать вопросы отпадает, т.к. учащиеся с этим этапом справляются достаточно легко.

Применительно к данной задаче можно сформулировать следующий ряд вопросов:

1. С какой скоростью могла работать машинистка в 1 случае? во 2 случае?
2. Сколько времени понадобилось бы машинистке в 1 случае? во 2 случае?
3. В каком случае времени понадобилось бы больше?
4. Какую работу машинистка выполнила бы в 1 случае? во втором случае?
5. В каком случае машинистка выполнила бы больший объем работы?
6. Какая неизвестная величина является в задаче искомой?

В результате ответов на поставленные вопросы учащиеся получают таблицу:

На этом первый этап решения задачи можно считать выполненным. Умение самостоятельно составлять такую таблицу говорит о том, что ученик усвоил условие и требование задачи и только сейчас (!) может приступить к поиску ее решения.

Поиск способа решения

Этап поиска способа решения – главный и наиболее сложный в процессе решения задачи, от его выполнения зависит, сможет ли ученик решить задачу или нет. Четвертый и пятый шаги алгоритма описывают, по сути, механизм поиска решения задачи. В пятом классе учащиеся овладевают еще одним способом решения задач: с помощью уравнения. Необходимо дать учащимся систему ориентиров для правильного выполнения действия.

В этом случае наш алгоритм можно уточнить:

4. Установи зависимость между величинами, о которых идет речь в задаче.
5. Одну из неизвестных величин обозначь буквой и вырази остальные величины через эту величину.
6. Найди условие задачи, которое ты до сих пор не использовал, и с его помощью составь уравнение.

Поиск решения задачи состоит в записи ответов на вопросы, которые содержит таблица. В результате таблица как модель поиска решения позволяет получить соответствующие выражения или уравнения.

Однако успешное выполнение школьниками этого этапа решения задачи также невозможно без определенной пропедевтической работы. Здесь можно выделить два направления:

1. Формирование у учащихся общеучебных и математических навыков: умение внимательно читать текст задачи; умение оформлять краткую запись текста задачи; умение выполнять чертеж (рисунок) по тексту задачи.
2. Обучение пониманию учащимися способов словесного выражения изменения величин и фиксации их в виде математических выражений или уравнений.

Для этого в учебниках содержатся следующие упражнения:

1. Даны два числа 57 и 19. Запиши: а) произведение суммы данных чисел и большего из них; б) произведение разности данных чисел и меньшего из них.

2. Прочитай буквенные выражения:
   а) 6 – a;
   б) m + n;
   в) d : 2;
   г) 3bc;
   д) a(b + c) и т.д.

3. Переведи на математический язык (тремя способами):
   а) m на 5 больше, чем n;
   б) с в 7 раз меньше, чем d;
   в) a на 9 меньше, чем b;
   г) х в 3 раза больше, чем y.

4. Составь выражение для решения задачи:
   а) Отец старше сына в 4 раза. Сколько лет отцу, если сыну m лет?
   б) Оля с Дашей пошли в лес за грибами. Оля нашла 28 грибов, а Даша – на 15 грибов больше. Сколько всего грибов нашли обе девочки?

Составить уравнение - значит выразить математическими символами условие, сформулированное словами, т.е. осуществить перевод с обычного языка на математический. Трудности, которые могут возникнуть при составлении уравнения, являются трудностями перевода. Поэтому роль пропедевтической работы заметно возрастает. И если учащиеся хорошо справляются с заданиями типа 1-4, то пошаговое выполнение предложенного алгоритма вызывает меньше затруднений.

4 шаг. Установи зависимость между величинами, о которых идет речь в задаче. Типичным отношением, связывающим между собой величины, является зависимость a * b = c. Эта зависимость имеет большое число проявлений, уже знакомых ученикам из курса начальной школы, например:

1. Связь пройденного пути, времени и скорости равномерного движения S = v * t.
2. Связь стоимости, цены и ширины изделий С = Ц * К
3. Связь площади, длины и ширины прямоугольника S = a * b
4. Связь между количеством выполненной работы, производительностью и временем ее выполнения A = v * t
   и т.д.

В нашем примере ученики легко узнают последний случай и устанавливают зависимость: A = v * t.

5 шаг. Одну из неизвестных величин обозначь буквой и вырази остальные неизвестные величины через эту величину.

Считаю. Что на начальном этапе обучения решению задач на составление уравнения директировать, что буквой обозначаем меньшую из неизвестных величин, не нужно. Учащиеся сами должны прийти к этому выводу. В нашем примере возможны несколько вариантов, которые желательно рассмотреть с учениками:

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Таким образом, таблица поиска решения задачи заполнена и 5 шаг алгоритма выполнен.

6 шаг алгоритма предлагает найти условие задачи, которое не было использовано при заполнении таблицы, и с его помощью составь уравнение. Это наиболее сложный этап поиска решения, т.к. именно здесь и возникают трудности перевода условия на математический язык. В зависимости от варианта выполнения 5 шага алгоритма, можно получить уравнения:

Вариант 1. 8x = 4(x + 4);8x – 4( + 4) = 0.
Вариант 2. 8(y – 4) = 4y; 8(y – 4) – 4y = 0.
Вариант 3. m : 4 – m : 8 = 4; m : 4 – 4 = m : 8;m : 4 = m : 8 + 4.

Важно добиться, чтобы учащиеся могли осуществлять перевод условия задачи на математический язык несколькими способами. Это даст им в дальнейшем возможность выбора наиболее рационального способами решения задачи.

На этом поиск решения задачи закончен. Для того, чтобы учащиеся имели возможность сосредоточить все свои способности и внимание на главном – на поиске способа решения, они должны иметь прочные навыки в выполнении всех элементарных действий и операций, которые придется применять в процессе решения задачи. Не стоит отвлекать их внимание от главного. Поэтому, например, в ч.1 гл.II учебного пособия для 5 класса Г.В. Дорофеева, Л.Г. Петерсон предлагается задание составить математическую модель задачи, а не решить задачу, дабы сосредоточить внимание учеников именно на приобретении соответствующего навыка.

В данной работе подробно рассматриваются первые два из пяти этапов решения задачи: анализ текста задачи, поиск способа решения и составление плана ее решения, т.к. методы и приемы обучения учащихся осуществлению плана и анализ найденного решения – тема отдельного разговора.

Предлагаемый алгоритм отвечает основным требованиям: он понятен школьникам, содержит последовательность указаний, каждое из которых приводит к выполнению одного шага (дискретность), обеспечивает возможность получения результата (решения задачи). Алгоритм применим для решения практически всех задач школьного курса (см. Приложение 2).

В процессе работы над алгоритмом с учащимися отрабатывается каждый шаг, каждое действие соотносится с требованиями алгоритма. Стимулируется постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач и выделению в ней общих подходов и методов.

В результате учащиеся, во-первых, знакомятся с общей схемой процесса решения задач, во-вторых, получают систему ориентиров для правильного решения текстовых задач. У учащихся вырабатываются умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач.